考題中線性阻力的常用規(guī)律分析

張金榮 李有福

(個(gè)舊市第一高級(jí)中學(xué) 云南 紅河 661000)

在高考試題中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)接觸到與物體下落的深度成正比或者與物體的速度成正比的線性阻力，即形如f=-ky(式中y是物體下落的深度，k為比例系數(shù))或者f=-kv(式中v是物體運(yùn)動(dòng)的速度，k為比例系數(shù)).那么在這些力的作用下，物體的運(yùn)動(dòng)遵循哪些常見的規(guī)律，現(xiàn)就此問(wèn)題展開分析，并舉例應(yīng)用.

情形1:f=-ky

形如f=-ky的情形在考題中經(jīng)常會(huì)碰到，常見的題型場(chǎng)景如錘子打木樁過(guò)程中，木樁所受的阻擊與深度近似成正比；再如，圓柱形物體浸沒(méi)液體過(guò)程中，所受浮力f=-ρ液gV排=-ρgSy也與浸入的深度y成正比；以及物體與彈簧接觸時(shí)所受的彈簧阻力f=-kx(x此時(shí)指形變量)等等.下面是線性阻力f=-ky中常用的幾個(gè)規(guī)律.

規(guī)律1：某段時(shí)間內(nèi)，阻力f所做的功

式中y1，y2分別表示始、末位置的坐標(biāo)，若y1=0，則阻力f所做的功為

證明：由f=-ky繪制出f-y圖，如圖1所示.若物體開始時(shí)位置坐標(biāo)為y1，經(jīng)時(shí)間Δt后變?yōu)閥2，根據(jù)圖與橫軸所圍成的面積表示力所做的功，可得

圖1

規(guī)律2：若物體初速度為v0，且僅受阻力f作用，則物體下落深度y與時(shí)間關(guān)系式滿足

物體停止所用時(shí)間為

證明：由-ky=ma可得

移項(xiàng)并積分

最后求出關(guān)系式

至于停止所用時(shí)間,可先由動(dòng)能定理求出物體停止時(shí)的深度

代入下落深度與時(shí)間的關(guān)系式，求出停止所用時(shí)間

【例1】如圖2所示,在光滑水平面上勁度系數(shù)為κ=10 N/m的輕質(zhì)彈簧一端固定，一端與質(zhì)量為m=100 g的木塊相連，木塊起始位置為彈簧的自由伸展位置A，現(xiàn)給木塊一水平向右的初速度v0=10 m/s，求木塊將彈簧壓縮至最短位置B所用時(shí)間.

圖2

證明：設(shè)每次做功為W0，則

W0∶(2W0)∶(3W0)∶…∶(nW0)

故

Δy1∶Δy2∶Δy3∶…∶Δyn=

(1)若以后每次都使鐵錘從同一高度下落，則釘子全部釘入須錘擊多少次；

解析：(1)由克服阻力做功相同時(shí)

可得

故

(2)要使釘子每次釘入的深度相同則需克服阻力做功之比為1∶3∶5，故每次鐵錘錘擊釘子前的速度之比為

規(guī)律4：若物體運(yùn)動(dòng)中除受到阻力f作用還受到恒驅(qū)動(dòng)力F0(F0可以為幾個(gè)力的合力)作用，且初速度為零，則物體停止時(shí)必滿足

f=-2F0

深度為

【例3】打樁機(jī)錘的質(zhì)量為m=10 t，將質(zhì)量M=24 t,橫截面積S=0.25 m2(正方形截面),長(zhǎng)l=38.5 m的鋼筋混凝土樁打入地層，單位面積上所受的泥土阻力為K=2.65×104N·m-2.問(wèn):

(1)樁依靠自身重能下沉多少？

(2)在樁穩(wěn)定后，將錘提升至離樁頂面1 m處讓其自由下落擊樁，假定錘與樁發(fā)生完全非彈性碰撞，第一錘能使樁下沉多少？

解析：(1)樁底面邊長(zhǎng)為0.5 m，設(shè)樁下沉了y，則樁所受到的泥土阻力為f=-2Ky=-ky，其中

k=2K，依據(jù)規(guī)律4樁下沉的深度為

代入數(shù)據(jù)得

y=8.88 m

(2)錘子碰樁前速度為v,則

(1)

錘與樁發(fā)生完全彈性碰撞后共同速度為v同，有

mv=(M+m)v同

(2)

設(shè)樁依靠自身重力下沉了y1，錘子擊后又下沉了Δy，則由規(guī)律1得

(3)

將y1=y=8.88 m，以及式(1)、(2)帶入式(3)求得

Δy=0.2 m

情形2:f=-kv

對(duì)于f=-kv的題型學(xué)生在高中經(jīng)常會(huì)碰到.例如，根據(jù)斯托克斯公式,當(dāng)物體在流體(氣體或液體)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，都會(huì)受到流體的阻力作用,一般說(shuō)來(lái)，流體阻力的大小與物體的尺寸、形狀、速率以及流體的性質(zhì)有關(guān)，且當(dāng)速率不太大時(shí)，對(duì)于球形物體，所受粘滯阻力為f=-6πrηv=-kv(η為粘滯系數(shù))[1].再如，如圖3所示，水平光滑的平行金屬導(dǎo)軌上跨著質(zhì)量為m的金屬棒，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng),金屬棒電阻為R，現(xiàn)將該裝置置于通有垂直紙面向里的勻場(chǎng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，給金屬棒一初速度為v0，則金屬棒會(huì)受到安培力的作用，且安培力為

圖3

下面是線性阻力f=-kv中常用的幾個(gè)規(guī)律.

若還受到恒驅(qū)動(dòng)力F0(F0可以為幾個(gè)力的合力)，則速度與時(shí)間的關(guān)系式為

(4)

此式中若取初速度為零，則

圖4

利用MATLAB繪制v-t圖像如圖5所示.

圖5

由圖5可以看出當(dāng)t→時(shí)，這時(shí)物體的速度達(dá)到極限值實(shí)際上，一般認(rèn)為當(dāng)時(shí)，物體的速度已經(jīng)達(dá)到極限值速度了.

【例3】跳水運(yùn)動(dòng)員從高于水面H的跳臺(tái)自由落下，運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為m，其體形可等效為長(zhǎng)度為l,直徑為d的圓柱體，略去空氣阻力，運(yùn)動(dòng)員在水中所受的阻力大小為kv，其中k為常量.若當(dāng)運(yùn)動(dòng)員完全浸沒(méi)時(shí)，瞬時(shí)速度為v1，求：

(1)此過(guò)程中水的阻力所做的功；

解析：(1)跳水運(yùn)動(dòng)員接觸水面時(shí)的速度為v0,有

(5)

運(yùn)動(dòng)員在浸沒(méi)過(guò)程中受到重力G，浮力F及阻力f的作用，設(shè)運(yùn)動(dòng)員浸入水里深度為y，則

(6)

將式(5)代入式(6)即可求出

(2)運(yùn)動(dòng)員完全浸沒(méi)后受到的浮力為恒力

規(guī)律2：若物體初速度為v0且僅受f作用，位移與時(shí)間的關(guān)系式為

積分

【例5】如圖6所示，由兩光滑平行金屬導(dǎo)軌所構(gòu)成的軌道分為兩部分，傾角為θ的斜面軌道與長(zhǎng)為d的水平軌道，導(dǎo)軌間距都為L(zhǎng),導(dǎo)軌上端與電動(dòng)勢(shì)為ε，內(nèi)阻為r的電源相連，整個(gè)軌道都處在豎直向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻場(chǎng)磁場(chǎng)中，當(dāng)在斜面軌道上垂直導(dǎo)軌放一質(zhì)量為m，電阻為R的金屬棒ab后，發(fā)現(xiàn)金屬棒向下運(yùn)動(dòng).求：

(1)金屬棒在斜軌上所能獲得的最大速率vm與最大電流im;

圖6

解析：(1)金屬棒從靜止開始向下運(yùn)動(dòng)后，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與電源的電動(dòng)勢(shì)的方向在回路中是一致的，設(shè)某時(shí)刻t回路中的電流為i，金屬棒獲得的速度為v，由于金屬棒切割磁感線的有效速度為vcosθ，故E感=BLvcosθ，由牛頓第二定律及歐姆定律得

mgsinθ-BiLcosθ=ma

(7)

(8)

把式(8)帶入式(7)并化簡(jiǎn)得

式中

由規(guī)律1可知

將F0，k代入得

此時(shí)對(duì)應(yīng)

式中

求出

將vm與k代入上式得

參考文獻(xiàn)

1 馬文蔚.物理學(xué).北京：高等教育出版社，1999.48～49