從一道變質(zhì)量問(wèn)題區(qū)分牛頓定律與動(dòng)量定理解題的不同

史 博 陶宗明 張 輝 麻曉敏

1 引言

在動(dòng)力學(xué)中常常會(huì)遇到變質(zhì)量問(wèn)題，例如，一輛裝煤的車以水平速率v從煤斗下經(jīng)過(guò)，每秒落入車廂的煤質(zhì)量為Δm，如果車廂速率保持不變，應(yīng)用多大的力牽引車廂？（忽略車廂與鋼軌間的摩擦）

此題可以落下的煤為研究對(duì)象，運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理；也可以煤和車為系統(tǒng)，運(yùn)用系統(tǒng)的動(dòng)量定理．當(dāng)以煤和車系統(tǒng)為研究對(duì)象時(shí)，是否也可以運(yùn)用動(dòng)量定理的微分形式即牛頓第二定律呢？即

（車的速率保持不變）

由此得到的結(jié)果與運(yùn)用系統(tǒng)的動(dòng)量定理得到的結(jié)果是一致的，但這類變質(zhì)量問(wèn)題是否可以應(yīng)用這一形式的牛頓定律呢？由此想到，低速條件下對(duì)于運(yùn)動(dòng)速度不變而質(zhì)量變化的物體，牛頓定律是否可以寫(xiě)成如下的形式呢？

2 討論

2．1 這一形式的牛頓定律是不對(duì)的

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的牛頓定律而言，在低速情況下質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是不變的，不能因?yàn)槲矬w的合并、分離就把它看成變質(zhì)量問(wèn)題；而對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的牛頓定律即質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，物體的合并和分離要考慮質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)情況，而不是部分的運(yùn)動(dòng)情況．

2．2 引言中的問(wèn)題純屬巧合

引言中給出的例題中，下落的煤落在車上前水平方向的速率為零，但如果下落的煤在水平方向上有初始速率v1（設(shè)v1＜v），這一形式的牛頓定律還能解決此問(wèn)題嗎？

討論如下，此時(shí)可以在水平方向上運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)或系統(tǒng)的動(dòng)量定理．如運(yùn)用系統(tǒng)的動(dòng)量定理，設(shè)Δt時(shí)間內(nèi)落下了質(zhì)量為Δm的煤，車和落下的煤這個(gè)系統(tǒng)水平方向的初始動(dòng)量為m v＋Δm v1，以共同速率v運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)量為（m＋Δm）v，動(dòng)量增量為Δm（v－v1），則FΔt＝Δm（v－v1），得到

2．3 關(guān)于其他變質(zhì)量問(wèn)題

例如，質(zhì)量為m的均勻軟鏈條，長(zhǎng)為L(zhǎng)，上端懸掛，下端剛和地面接觸，由于懸點(diǎn)松脫使鏈條自由下落，試求鏈條落到地面上的長(zhǎng)度為l時(shí)，對(duì)地面的作用力．

圖1

如圖1所示，落在地面上的鏈條質(zhì)量在不斷變化，此類問(wèn)題屬于變質(zhì)量問(wèn)題，同樣可以通過(guò)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理解決．

方法1：在豎直方向上進(jìn)行分析，選擇向下為正方向．當(dāng)已落下的鏈條長(zhǎng)度為l時(shí)，設(shè)其對(duì)地面的作用力設(shè)為N1，則

在豎直方向上運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理

得到微元受到地面的作用力

而dm對(duì)地面的作用力

地面受到的總的作用力

方法2：與方法1相同首先得到

以落在地上的鏈條和其后dt時(shí)間內(nèi)落下的鏈條系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)初動(dòng)量

p0＝0＋vdm

末動(dòng)量 p＝0

其中

設(shè)系統(tǒng)受到地面的沖力為N′2，在豎直方向上運(yùn)用系統(tǒng)的動(dòng)量定理，則

得到系統(tǒng)受到地面的沖力

而系統(tǒng)對(duì)地面的作用力

地面受到的總的作用力

通過(guò)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理都可以解決此類問(wèn)題，但卻不能直接在豎直方向上運(yùn)用牛頓第二定律F＝這一形式．

3 結(jié)束語(yǔ)

引言中的問(wèn)題很容易形成誤導(dǎo)，使人認(rèn)為對(duì)于速度不變而質(zhì)量改變的系統(tǒng)，運(yùn)用F＝很簡(jiǎn)單就可以解決，但此問(wèn)題可以運(yùn)用F＝得到正確結(jié)果只是巧合而已，對(duì)其他變質(zhì)量問(wèn)題卻不適用．通過(guò)討論給出了牛頓定律與動(dòng)量定理解題的不同，同時(shí)可得到這樣的啟示，對(duì)問(wèn)題的研究、思考要深入，不能只看表面，也不能只跟著感覺(jué)走．

1 張三慧．大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)（上）．北京：清華大學(xué)出版社，2010 ．69 ～72

2 陶宗明．大學(xué)物理（第1版）．上海：上海交通大學(xué)出版社，2000 ．42 ～45

3 屈志紅．關(guān)于動(dòng)量定理的應(yīng)用．錦州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003 （1）：88 ～89