“幾何直觀”在一次函數(shù)實(shí)際問題中應(yīng)用的探究

潘天平

摘 要：幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行思考和想象.這里所指的直觀不僅僅是直接看到的幾何圖象，更重要的是依托現(xiàn)在看到的和以前看到的圖象進(jìn)行思考、想象.一次函數(shù)是學(xué)生所認(rèn)識(shí)的第一類函數(shù)，它的實(shí)際問題的應(yīng)用也是學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文所闡述的內(nèi)容就是如何應(yīng)用“幾何直觀”來解決相關(guān)問題.

關(guān)鍵詞：幾何直觀；解決；一次函數(shù)；實(shí)際問題

一次函數(shù)是學(xué)生所認(rèn)識(shí)的第一類函數(shù)，它的實(shí)際問題的應(yīng)用是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，從課標(biāo)中相應(yīng)內(nèi)容的四維目標(biāo)來看，對(duì)學(xué)生提出了較高的要求，而且如果學(xué)生掌握了函數(shù)圖形進(jìn)行分析的能力和技巧，必將對(duì)今后學(xué)好其他類型的函數(shù)知識(shí)提供經(jīng)驗(yàn)和幫助.從一次函數(shù)的實(shí)際問題的課堂教學(xué)情況來看，學(xué)生在分析問題時(shí)顯得較為吃力，特別是在數(shù)學(xué)建模時(shí)，往往著重于從“數(shù)”的角度入手而忽視于“形”.20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特在其巨著《直觀幾何》一書中談到：圖形可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果.幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行思考和想象.這里所指的直觀不僅僅是直接看到的幾何圖象，更重要的是依托現(xiàn)在看到的和以前看到的圖象進(jìn)行思考、想象 [1 ].借助幾何直觀可以使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)明、形象，也有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.而圖象是函數(shù)的一種重要的呈現(xiàn)方式，很多圖象內(nèi)在隱含的本質(zhì)也已直觀呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析已呈現(xiàn)的函數(shù)本質(zhì)特征，可為解決一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的問題提供很大幫助.在一次函數(shù)實(shí)際問題的教學(xué)中，幾何直觀可以應(yīng)用在以下幾種常見的題型中.

一、關(guān)于當(dāng)運(yùn)動(dòng)的速度為勻速時(shí)，路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用的題型

在一次函數(shù)的圖象信息題中，路程問題是比較常見的題型，其圖象的直觀性尤為明顯：自變量時(shí)間為0時(shí)其對(duì)應(yīng)的圖象的點(diǎn)即為出發(fā)點(diǎn)，時(shí)間終止時(shí)其對(duì)應(yīng)的圖象的點(diǎn)即為終點(diǎn).當(dāng)運(yùn)動(dòng)的速度為勻速時(shí)，其圖象為直線，兩條直線的交點(diǎn)能明晰地體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)者相遇的時(shí)間和地點(diǎn).正是因?yàn)橛羞@些鮮明的直觀性，很多路程的問題都可借助函數(shù)圖象來解決.

案例1：甲、乙兩輛摩托車從相距20公里的A，B兩地相向而行，如圖1，l1，l2分別表示甲、乙兩輛摩托車離開A地的距離s（km）與行駛時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系.

（1）哪輛摩托車的速度較快？

（2）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，甲車行駛到A，B兩地的中點(diǎn)？

（3）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，兩車相距5 km？

分析：在思考第（3）小題的解題思路時(shí)，可以從“數(shù)”的角度去解決：這是一個(gè)路程方面的相遇問題，乙車速度=20/0.5=40 km/h，兩車第一次相距5km時(shí)，兩車共走了20-5=15km，則經(jīng)過的時(shí)間為15/（40+100/3）=9/44 小時(shí)；兩車第二次相距5km時(shí)，兩車共走了20+5=25km，則經(jīng)過的時(shí)間為25/（40+100/3）=15/44 小時(shí).

上述解法是數(shù)學(xué)邏輯思維在實(shí)際問題中的一個(gè)很好的應(yīng)用，但是學(xué)會(huì)用圖形思考、想象問題來研究數(shù)學(xué)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力.此題還可以引導(dǎo)學(xué)生觀察直觀的函數(shù)圖形想到：可以把直線l1，l2的函數(shù)解析式分別求出來：y1=-40x+20，y2=（100/3）x，設(shè)時(shí)間為a小時(shí)時(shí)兩車相距5 km，把a(bǔ)分別代入這兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求得對(duì)應(yīng)函數(shù)值即縱坐標(biāo)為：-40a+20和（100/3）a，根據(jù)兩車相距5 km可列出|（-40a+20）-（100/3）a|=5，從而求得a的值，即時(shí)間值也就相應(yīng)求出了.雖然學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)函數(shù)的內(nèi)容，還不太習(xí)慣這種解法，但在評(píng)析這個(gè)問題時(shí)，通過展示和比較這兩種解法，學(xué)生可以感受到后一種解法的直觀和簡(jiǎn)便.在平時(shí)的教學(xué)中，學(xué)生邏輯推理能力和幾何直觀能力應(yīng)共同培養(yǎng)，讓學(xué)生體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

二、物體的存儲(chǔ)或積蓄總量隨時(shí)間的變化而變化的函數(shù)關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用的題型

這種題型的函數(shù)圖像呈現(xiàn)的直觀性是：在函數(shù)圖像中可明晰的看出在某一時(shí)刻物體的存儲(chǔ)或積蓄總量.學(xué)生如果能利用好圖形，則可以從整體上把握或求出物體存儲(chǔ)或積蓄總量高于或低于某個(gè)量時(shí)的相應(yīng)時(shí)間段，對(duì)完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提供極大的幫助.

案例2：一個(gè)有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時(shí)刻開始的3分鐘內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的9分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分鐘的進(jìn)水量和出水量都是常數(shù).容器內(nèi)的水量y（單位：升）與時(shí)間x（單位：分）之間的關(guān)系如圖2所示.當(dāng)容器內(nèi)的水量大于5升時(shí)，求時(shí)間x的取值范圍.

這一題從“形”的角度看，y=5時(shí)有兩個(gè)不同的一次函數(shù)組成的分段函數(shù)的圖象中的相同函數(shù)值，把此值代入相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)解析式中，求出對(duì)應(yīng)的自變量的值，即橫坐標(biāo)的值，再求出這兩個(gè)橫坐標(biāo)的差值即可.從圖（2）可以直觀的看出，當(dāng)y等于5時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值有兩個(gè)，即當(dāng)容器內(nèi)的水量大于5升時(shí)，時(shí)間x的取值范圍就介于這兩個(gè)值之間.借助于恰當(dāng)?shù)膱D形幾何模型進(jìn)行解釋，能夠啟迪思路，幫助學(xué)生理解和接受抽象的內(nèi)容和方法 [2 ].

三、在不同的分段函數(shù)中，針對(duì)某一個(gè)自變量的值或范圍，比較相對(duì)應(yīng)的各函數(shù)值的大小的題型

在《一次函數(shù)與方程、不等式》這節(jié)教學(xué)內(nèi)容中，求解方程（組）或不等式就是通過 “形”來解決的，讓學(xué)生感受到用“形”解決“數(shù)”的問題的直觀性，但是在教學(xué)中也有不少學(xué)生在抱怨，他們認(rèn)為：用七年級(jí)所學(xué)的方法去解方程（組）或不等式就可以了，為什么偏偏要繞到“形”中去解決，不是把簡(jiǎn)單的問題復(fù)雜化了？事實(shí)上，在實(shí)際應(yīng)用的問題中，特別是分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的問題，如果能用這種直觀思想，則復(fù)雜的問題可以得到很好地解決.

案例3：人教版一次函數(shù)這一章中的第3節(jié)《課題學(xué)習(xí) 選擇方案》的問題1是關(guān)于對(duì)上網(wǎng)收費(fèi)的不同方案進(jìn)行合理選擇的問題，在建模時(shí)共列出了三個(gè)一次函數(shù)，其中列出的兩個(gè)函數(shù)是分段函數(shù)，如果是從“數(shù)”的角度去判斷的話，要比較yA、yB、yC的大小則要求解多個(gè)方程和不等式才能解決，其思路和運(yùn)算步驟都非常繁瑣，這無形中會(huì)給學(xué)生在學(xué)習(xí)上帶來巨大的思想壓力，但如果將這三個(gè)函數(shù)圖像在同一直角坐標(biāo)系中畫出，如圖3，根據(jù)《一次函數(shù)與方程、不等式》所學(xué)的知識(shí)，以交點(diǎn)為分界，在交點(diǎn)的兩側(cè)，利用結(jié)論：誰的圖象比較高，誰的函數(shù)值就比較大，即相對(duì)應(yīng)方案的收費(fèi)就比較貴，反之即較便宜，就非常輕松地把問題解決了.幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象直觀化、顯性化，因而尋找數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀模型是有效發(fā)揮幾何直觀的重要環(huán)節(jié)之一，這種解法正是利用了直觀模型，真正把握了學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，找準(zhǔn)真實(shí)的數(shù)學(xué)起點(diǎn)，為學(xué)生提升解決問題的能力，正確理解數(shù)學(xué)本質(zhì)奠定了基礎(chǔ).

四、利用題目所給的條件，為已有的圖形補(bǔ)充完善其直觀性，從而為解決實(shí)際問題提供更直觀幫助的題型

案例4：如圖4，點(diǎn)p（x，y）在第一象限，且x+y=8，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），設(shè)△OPA的面積為S.

（1）用含x的解析式表示S，寫出x的取值范圍，畫出函數(shù)S的圖象；

（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5時(shí)，△OPA的面積為多少？

（3）△OPA的面積能大于24嗎？為什么？

這一題如果僅僅從數(shù)的角度去分析題目，會(huì)給學(xué)生造成很茫然的感覺：點(diǎn)P只是在第一象限上的任意一點(diǎn)，除了這個(gè)之外，它還有什么其它特性？就題目所給的圖（圖4），對(duì)列函數(shù)關(guān)系式及求自變量的取值范圍作用不大.隨著幾何直觀在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用的能力的提升，如果能把題目所給的條件與以前學(xué)到的知識(shí)結(jié)合起來，通過思考想象猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這是在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)不斷培養(yǎng)的數(shù)學(xué)解題能力和思維，這一題由x+y=8想到函數(shù)y=-x+8，即意味著點(diǎn)P不僅在第一象限，而且它還是直線y=-x+8的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，補(bǔ)充完善該圖形，如圖5，從動(dòng)態(tài)的角度去看點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，則很清晰地知道自變量的取值范圍應(yīng)是什么，當(dāng)x=5時(shí)，點(diǎn)P應(yīng)在什么位置也一目了然，此時(shí)△OPA的面積顯然不可能大于24.這題正是因?yàn)槔昧祟}目的條件給原有的圖形增加了直觀性，讓要解決的問題在圖中直觀呈現(xiàn)和清晰易懂了.在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該建立和培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的感悟、觀念、意識(shí)、思想、能力，它們是學(xué)生在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這對(duì)學(xué)生的發(fā)展起著重要的作用.

總之，幾何直觀從不同程度上直接體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象、推理和模型的基本思想的要求，而圖象是一次函數(shù)的一種主要表現(xiàn)形式，在解決實(shí)際應(yīng)用的問題中，通過一次函數(shù)的圖象思考到了什么？想到了什么？這是數(shù)學(xué)非常重要而有價(jià)值的思維方式.當(dāng)然，幾何直觀僅僅是在一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用這個(gè)舞臺(tái)中的一個(gè)亮點(diǎn)，我們?cè)诮鉀Q一次函數(shù)的實(shí)際問題中，不能只關(guān)注一方而忽視另一方，只有從這兩個(gè)角度去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)對(duì)這兩者之間的化歸和轉(zhuǎn)化意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念與推理能力，促進(jìn)合情推理能力與邏輯推理能力協(xié)調(diào)發(fā)展 [3 ]，才能促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀 [M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：93.

[2]孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式 [J].課程·教材·教法，2012（7）：92～97.

[3]張和平，朱燦梅.新課程背景下初中幾何直觀性水平探析 [J].貴州教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2007，4（2）：23～27.