《向量》章節(jié)復習課教學的探索與實踐

蘇建全

摘 要：復習是一種重要的學習活動，是知識的再學習，是對已有知識經(jīng)驗的再加工，是通過尋找知識的橫向、縱向聯(lián)系，構建知識網(wǎng)絡，形成知識板塊，從而使凌亂的知識條理化、系統(tǒng)化. 通過這一過程，可以把支離破碎、雜亂無章的知識變得少而精，完成知識由厚到薄的轉(zhuǎn)化. 在新課程的理念下，復習課與新授課一樣是教學的重要組成部分，通過復習，使學生對所學知識加深理解，查漏補缺，系統(tǒng)掌握，全面提高；通過復習課的教學不僅可以培養(yǎng)學生的歸納整理能力，提高學生對整體知識的認識水平，還可以培養(yǎng)學生綜合運用知識來分析和解決問題的能力.

關鍵詞：復習課；合作交流；集體智慧；展示分享；探究創(chuàng)新

根據(jù)教學的需要，常把復習課分為四類：經(jīng)常性復習、章節(jié)性復習、階段性復習和高考總復習. 筆者根據(jù)自己剛剛上過的一堂《向量》的章節(jié)復習研究課，談談對章節(jié)性復習課的設計、探索和實踐.

■設計意圖及流程

現(xiàn)實中的高中數(shù)學復習課教學中，很多教師并沒有給予復習課以必要的重視，上復習課無非就是“三部曲”：羅列基礎知識，講解“典型”例題，布置課后作業(yè). 這樣的復習課學生沒有完全參與到課堂活動中來，他們的創(chuàng)新精神、實踐能力沒有得到充分的培養(yǎng)，而且教學往往陷入到拼時間、低效率競爭的怪圈之中，教師教得累，學生學得苦，而且收效欠佳. 這樣僅僅以獲取知識、技能、技巧為目的的復習課教學，摧殘和扼殺了學生的天性和創(chuàng)造力，不能培養(yǎng)出時代所需要的創(chuàng)新型人才，不符合當今教育的要求. 在新課程的理念下，為了改善學生的學習方式，優(yōu)化學生的學習品質(zhì). 讓學生通過親身體驗、動手實踐、歸納整理、合作交流、自我展示、分享成果，從而培養(yǎng)學生積極主動、勇于探索的學習方式. 基于此，筆者設計了如下的教學流程.

1. 課前準備作業(yè)

①每位學生獨立梳理本章知識；

②找出平時學習的疑難點；

③收集平時學習中的典型題目；

設計意圖：培養(yǎng)學生收集、歸納、整理資料的能力，以及查漏補缺的意識.

2.？搖小組討論

①前一天晚自習，將本班學生分成8個學習小組，每組推選出一名小組長，小組內(nèi)同學們相互交流、討論，分享各自的歸納小結. 在教師的指導下優(yōu)化總結，形成集體成果.

②學生將自己的疑難問題相互商討，若仍不能解決，在課堂提出，與教師一道研討.

③教師整理出學生提出的典型題目，并篩選其中最有代表性的題目放在第二天課堂上研究.

設計意圖：增強學生合作交流的意識.

3.？搖課堂設計

①教師在深入研究小組集體總結成果的基礎上，由小組長推選出一名學生來詳盡講解本章基礎知識.

②每小組提出本章學習中的疑難點，與教師和同學在課堂一起解答.

③學生講解典型題目，教師參與并歸納提升.

設計意圖：讓學生的才能得到充分的展示，并體驗分享、探究的快樂.

■課堂實踐

（一）學生甲積極主動展示總結成果，并詳細解讀如下：

1.？搖向量的概念：向量、零向量、單位向量、共線向量、相等向量.

2.？搖向量的表達方式：

（1）有向線段：■，a；

（2）坐標表示：a=（x，y） .

3.？搖兩個定理：

（1）共線向量定理：

若a≠0，那么b∥a？圳b=λa（λ存在且唯一）；

若a=（x1，y1），b=（x2，y2），b∥a？圳x1y2-x2y1=0.

（2）平行向量的基本定理：

已知e1，e2，是一組不共線的向量，那么對于平面內(nèi)任何一個向量a，有且僅有一對實數(shù)λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2.

4.？搖兩種運算：

（1）線性運算（加法、減法、數(shù)乘）

①加法的三角形法則，平行四邊形法則及注意點.

②減法的三角形法則.

③運算律：a+b=b+a（交換律）；（a+b）+c=a+（b+c）（結合律）；λ（μa）=μ（λa）=（λμ）a（結合律）；λ（a+b）=λa+λb（分配律）；（λ+μ）a=λa+μa（分配律）.

（2）？搖數(shù)量積的運算

a·b=abcosθ，其中bcosθ叫做b在a方向上的投影.

設a=（x1，y1），b=（x2，y2），那么a·b=x1x2+y1y2，

cosθ=■=■，

a=■=■，a，b≠0，那么a⊥b？圳a·b=0？圳x1x2+y1y2=0.

5.？搖兩種應用

（1）物理上的應用；

（2）幾何上的應用.

教師點評：該同學講解得很精彩，他帶領同學們對基本定理、公式、法則一起朗讀，并指出了注意之處（在預設之外）. 這說明給學生一粒種子，他會還給你一片森林. 相信我們的學生吧，他們的潛力和創(chuàng)造力是無限的. 我們根據(jù)該同學的總結，一起來提煉本章的知識結構及內(nèi)在聯(lián)系（如下圖1所示）. 從而引導學生學會將書本由厚讀薄.

教師：通過本章知識學習，還有哪些重要的數(shù)學思想方法呢？

學生：困惑……個別學生回答“數(shù)形結合”.

教師：還有嗎？

學生：困惑……

教師：線性運算及數(shù)量積運算的運算律我們是怎么得來的？

學生：哦，類比實數(shù)運算得來的.

教師：非常好，說明需要類比推理.那么數(shù)形結合又在哪些地方體現(xiàn)呢？

學生：向量的坐標表示及運算.

教師：數(shù)形結合及類比的思想，貫穿數(shù)學學習的始終.

反思：通過上述四個漸次上升的步驟，即學生獨立自主整理、小組內(nèi)合作交流、課堂展示和教師歸納提升，我們的學生對整章知識的認識由雜亂到清晰，將書本由厚讀薄，從而達到了構建知識網(wǎng)絡的目的；另外，在整個過程當中使學生不僅獲得了知識，更重要的是體驗到獲取知識的方法，增強了合作交流的意識，學會了借鑒他人的智慧，分享共同的成果. 這樣就可以改善學生原有的學習方式，變被動接受為主動參與，將個體勞動整合為集體智慧，進而優(yōu)化學生的學習品質(zhì)，讓學生的學習能力得到提升，實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展.

（二）學生提出的問題如下：

①學生乙：當a與b不共線時，若λa=μb？圳λ=μ=0. 為什么？

學生解答：λa與a共線，μb與b共線，但a與b不共線，要使λa=μb，只有λa與μb同時為0，即λ=μ=0.

教師解答：假設λ與μ不同時為0，那么，不妨假設μ≠0，則b=■a，所以b∥a，這與已知相矛盾. 所以假設不成立，故λ=μ=0.

教師點評：說明同一個問題，我們可以從正面去理解，也可以用反證法來加以證明.

②學生丙：a，b，c≠0，a·b=b·c，能否推導出a=c？

學生1解答：不能像實數(shù)一樣約去b，沒有解釋原因.

學生2解答：因為a·b-b·c=0，？搖b·（a-c）=0，所以b⊥（a-c）或a-c=0.

教師補充解答：a·b=abcosθ1，

b·c=bccosθ2，

a·b=b·c，

所以acosθ1=ccosθ2，

所以a與c在b方向上的投影相等，a與c并不一定相等.

教師總結：由此說明，向量運算是由實數(shù)運算類比而來的，與向量運算的結合律一樣，類比推理得出的結論并不一定成立.

③學生?。簽槭裁聪蛄繘]有除法？

教師：你為什么想到這個問題呢？

學生?。簩崝?shù)都有除法，可教材中的向量沒有除法.

學生3：向量有方向，方向不能相除，所以向量沒有除法.

學生4：由b=λa（a≠0）為什么不可以定義λ=■呢？

教師：首先，對于b=λa（a≠0）的問題，教材是這樣定義的：

當λ>0時，則λ=■；

當λ<0時，則λ=-■；

當λ=0時，則b=0.

其次，對于你所說的：向量為何沒有定義除法，如果大家有興趣可以從數(shù)學推理的確定性和函數(shù)確定性兩方面著手查閱資料，我們可以課下一起探討.

……

反思：學生通過類比推理提出來這樣一個具有創(chuàng)造性和挑戰(zhàn)性的問題，課前教師沒有預設，課堂上也沒有給學生以正面解答，給學有余力的學生留下了探究的空間.

（三）能力訓練

根據(jù)各小組選出的典型題目，教師仔細研究了一下，有代表性的一個題目如下，讓我們來一起分享它的解答.

題目：已知正方形ABCD的邊長為2，點P為對角線AC上一點，則（■+■）·（■+■）的最大值為多少？

學生甲：（學生踴躍回答）以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸建立直角坐標系. 設P（x，x），則向量■，■，■，■ 的坐標均能表示出來. 所以（■+■）·（■+■）=4（x-x2）.

教師：你怎么想到用坐標法？

學生?。阂驗橄蛄坑袃煞N表現(xiàn)方式，而此題題設為正方形，自然想到了用坐標法.

教師：非常好.

學生戊：（■+■）·（■+■）

=（■+■）·（■-■+■-■）

=（■+■）（■+■-2■）

=（■+■）·（■-2■）

=■·■-2■2+■·■-2■·■（■，■與■垂直）

=■·■-2■2.

設■=x，

原式=4x-4x2=-4x-■2+1≤1.

教師：你怎么想到此方法的？

學生戊：我通過分析發(fā)現(xiàn)■，■都可以化為■，■，■；■+■=■；而■，■與■垂直，此式可以化簡.

教師：非常好. 還有沒有其他方法？

隨后，又有兩位同學提出了自己的見解，都非常精彩，但思路、方法與學生戊類似，只是在技巧上有差異，在這里不逐一介紹了.

教師：同學們，剛才四位同學與大家一起分享了他們的研究成果，我們有什么體會？

學生5：向量有兩種表現(xiàn)方式，因此，我們可以從兩個角度來研究與向量有關的問題.

教師：這些同學的講解很精彩，希望其他同學向他們學習（掌聲）.

反思：講解環(huán)節(jié)學生非常踴躍，但有的學生在講解過程中只注重“這個題怎么做”，而未能講出“為什么這樣做”，即忽視了解題思路和方法. 教師在聆聽學生講解的基礎上，要適時地給予點評和補充，并提煉、歸納出解決向量問題的基本方法：向量法和坐標法.

■總結

最初學生的自主歸納是獨立完成的；然后小組討論，教師參與其中，大家彼此分享，相互交流、學習，修改和完善自己的小結，上升到小組同學們的集體智慧；最后，學生上臺講解，自我展示. 在整個復習階段，教師都重在搭建平臺，引導和組織學生進行復習，學生的主體地位得到了充分的體現(xiàn)，合作交流的意識得到增強，綜合素質(zhì)得到全面提高. 這種由學生主動整理獲得的知識，激發(fā)了學生對數(shù)學學習的興趣，從而形成積極探索的態(tài)度，養(yǎng)成良好的學習習慣. 由于該課開放程度較高，對教師也是一個考驗和促進.

不足之處：少部分學生整理知識水平有待提升，交流協(xié)作不夠積極主動，學生在解決分析題目時語速過快，少部分學生沒有完全融入其中. 分享型復習的方式有待進一步改進與完善.

通過本堂復習課的實踐，筆者感觸頗多：本堂課學生的天性得到了充分的釋放，我們的學生潛力無限、創(chuàng)造力無限. 筆者深深地感到，原有的教學方式限制了學生的潛力與創(chuàng)造力，以傳授知識及技能的教學方式確實需要改進，只有這樣才能培養(yǎng)出適應時代發(fā)展的創(chuàng)新型人才.