數(shù)學(xué)解題“四部曲”——閱讀、聯(lián)想、選定、反思

包新國

摘要：數(shù)學(xué)試題形式變化多樣，解題形成某種模式或思路，不僅可以幫助我們準(zhǔn)確解決問題，還能幫助我們提高解題效率，這一過程可以歸納為閱讀、聯(lián)想、選定、反思。通過融會(huì)貫通，我們一定會(huì)提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 解題 思路

在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，解題是最為重要的一環(huán)。因此，如何培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧和思考方法都一直是我們關(guān)注的重要方向。數(shù)學(xué)試題紛繁復(fù)雜，千姿百態(tài)，從題設(shè)到結(jié)論，從題型到內(nèi)容，條件豐富且變化多樣，但數(shù)學(xué)解題仍有通法可循。著名數(shù)學(xué)家波利亞對(duì)數(shù)學(xué)解題有這樣的描述：（1）弄清這是一道什么樣的題；（2）制定解題的計(jì)劃；（3）實(shí)施計(jì)劃，解決問題；（4）解題后反思。我就把數(shù)學(xué)家抽象的理論闡述為解題“四部曲”——閱讀、聯(lián)想、選定、反思。

一、閱讀

讀就是讀題目，閱讀理解，即審題。審題是我們解題的前奏工作，不可忽視，在解題前必須審清題意，分析條件和結(jié)論，并且根據(jù)條件和結(jié)論進(jìn)行聯(lián)想：以前遇到過類似或者部分類似的問題嗎？當(dāng)時(shí)是用什么方法解決的？在這里還有效嗎？通過聯(lián)想構(gòu)建解題思路，設(shè)計(jì)解題程序，把握解題要點(diǎn)，為正確快速解題掃清障礙，奠定基礎(chǔ)。審題是解題之始，認(rèn)真細(xì)致，全面準(zhǔn)確地審題，是解題成功的前提。第一遍讀大意，第二遍提煉關(guān)鍵詞，數(shù)量關(guān)系和信息，第三遍熟讀或復(fù)述，掌握條件、結(jié)論和問題中心。還要把握審題中的“三性”，即目的性、準(zhǔn)確性、隱含性。

（一）目的性

如在解決應(yīng)用問題和線性規(guī)劃問題時(shí)題目文字?jǐn)⑹鲚^長，閱讀中應(yīng)對(duì)題意整體把握和局部理解，進(jìn)而理解關(guān)系，領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)。

（二）準(zhǔn)確性

閱讀時(shí)應(yīng)該準(zhǔn)確弄清題目問的是什么，關(guān)鍵詞是什么。

例1：（1）解關(guān)于x的不等式■<0（a∈R）

該題是解關(guān)于x的不等式，而不是a的不等式。

（2）已知曲線y=■x3+■則過點(diǎn)P（2，4）切線方程是 。

該題的關(guān)鍵是點(diǎn)P在曲線上。

3.隱含性：要讀出題目的隱含條件。

（3）函數(shù)y=x2-lnx的單調(diào)區(qū)間是 （ ）

A（-■，0） B（-■，■）

C（■，+∞） D（-■，0）

該題由導(dǎo)數(shù)易得出錯(cuò)誤選項(xiàng)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。

二、聯(lián)想

充分聯(lián)想回憶基本知識(shí)和題型，按照波利亞的觀點(diǎn)，在解決問題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)和題型，題目中文字?jǐn)⑹鎏攸c(diǎn)，數(shù)學(xué)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，課本上的知識(shí)點(diǎn)，典型練習(xí)題，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，確定解題方向，從而解決現(xiàn)有的問題。

聯(lián)想的方式主要有以下形式：

（一）想文字?jǐn)⑹鎏攸c(diǎn)

例2：（1）橢圓■+■的焦點(diǎn)為F1、F2，且點(diǎn)P在橢圓上，若PF1=4，則∠F1PF2的大小為

。

該題中F1、F2為焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，可聯(lián)想到橢圓定義。

（二）想數(shù)學(xué)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

（2）求y=■的值域。

從函數(shù)結(jié)構(gòu)及三角函數(shù)可聯(lián)想到橢圓的參數(shù)方程及斜率公式。

（三）轉(zhuǎn)化聯(lián)想

在解決問題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，啟迪解題思路，以簡(jiǎn)馭繁，解出原題。

（3）當(dāng)m取何值時(shí)方程x2-2mx+m+1=0的一個(gè)根大于5，而另一個(gè)根小于5？

該題很容易應(yīng)用一元二次方程的判別式及求根公式，這樣運(yùn)算復(fù)雜，容易出錯(cuò)，聯(lián)想函數(shù)，應(yīng)用數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想方法，借助函數(shù)y=x2-2mx+m+1的圖像就能準(zhǔn)確得出m的取值范圍。

三、選定

就是根據(jù)聯(lián)想到的知識(shí)點(diǎn)，感知題目考察的知識(shí)點(diǎn)，選擇相關(guān)的概念、定義、公式、結(jié)論、方法和思想，確定解題計(jì)劃和解題過程中的要點(diǎn)，進(jìn)而實(shí)施規(guī)范完整的解題，解答（證明）題更應(yīng)這樣。

（一）根據(jù)題目考查的知識(shí)點(diǎn)，選擇解題的數(shù)學(xué)模型

例3：（1）已知函數(shù)f（t）=■，g（x）=cosx·f（sinx）+sinx·f（cosx），x∈（ π，■]，求g（x）的最值。

通過已知及所求結(jié)論，可選定用y=Asin（？棕x+？漬）+B的性質(zhì)來解決。

（二）選定的基礎(chǔ)是腦海中儲(chǔ)存或積累足夠多的概念、定義、公式、結(jié)論、常見題模式和數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)行合理聯(lián)想，選定考查點(diǎn)

（2）矩形ABCD和梯形BEFC在平面互相垂直，BE∥CF， ∠BCF=■AD=■，CF=1，AD 與EF所成角為■。

（Ⅰ）求證：AE∥平面 DCF。

（Ⅱ）當(dāng)二面角A-EF-C的大小為■時(shí)，求四棱錐 F-ABCD的體積。

通過審題，根據(jù)題目模型與對(duì)幾何關(guān)系及空間向量的理解程度，在解決該題時(shí)可選定幾何方法或空間向量方法。

四、反思

反思有兩層含義，一是解題中的反思，做完每一個(gè)解題計(jì)劃中的要點(diǎn)時(shí)，及時(shí)回頭看，穩(wěn)扎穩(wěn)打；二是解題后的反思，從考試的角度可檢查解題是否正確，從學(xué)習(xí)的角度可以反思，提煉和總結(jié)方法。

例4：已知橢圓C：■+■（ a>b>0）C的離心率為■，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為■。

（Ⅰ）求橢圓C的方程。

（Ⅱ）設(shè)直線L與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線L的距離為■，求△AOB的面積。

解（Ⅱ）時(shí)往往設(shè)直線方程為y=kx+b，而忽視了斜率k的存在性，導(dǎo)致解題過程不完整，從而要反思直線斜率的存在性。

做完題目后，要注意“反思”這一環(huán)節(jié)，首先要反思題意；其次要反思錯(cuò)誤，有時(shí)需要從不同的角度去思考，不同的方法去演算更能發(fā)現(xiàn)問題；再次要反思方法，解完題后再思考，由于對(duì)這個(gè)問題的認(rèn)識(shí)有了一定的高度，所以思考出的新方法常常更為簡(jiǎn)捷，巧妙；最后還要反思變化，聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，鏈接相似問題，聯(lián)想類似方法，注意解題思路優(yōu)化，要把解題的過程進(jìn)行抽象形成思維模塊，注意對(duì)方法的遷移和問題的拓展。

總之，在數(shù)學(xué)解題中，把閱讀、聯(lián)想、選定、反思融會(huì)貫通，練中學(xué)，學(xué)中悟，這樣，我們解一題會(huì)一類，并訓(xùn)練了探究、創(chuàng)新能力，相信一定會(huì)提高我們的解題能力和解題效率。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論.西安：陜西師范師范出版社，2004.

[2]G.波利亞，閻育蘇譯.怎樣解題[M].科學(xué)出版社，1982.（責(zé)編 趙建榮）