三角形“四心”的向量視角

王立文

摘要：三角形“四心”與平面向量有機(jī)結(jié)合，可拓寬它的應(yīng)用范圍，使很多復(fù)雜的幾何問(wèn)題得以解決。若能記住有關(guān)三角形“四心”的性質(zhì)，這樣可以大大提高解題速度，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，總能起到事半功倍的作用。

關(guān)鍵詞：三角形 垂心 內(nèi)心 外心 重心 平面向量

三角形“四心”在歷年的高考試題和高考模擬試題中頻繁出現(xiàn)，它主要考查了平面向量與三角形的一些基本知識(shí)和基本理論，同時(shí)又考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題的基本能力。下面將三角形“四心”的基本性質(zhì)通過(guò)例題來(lái)闡述它的解題過(guò)程，方法和策略，希望對(duì)廣大學(xué)生和同行的學(xué)習(xí)和教學(xué)有所幫助。

一、有關(guān)重心的問(wèn)題

概念：三角形三邊中線的交點(diǎn)叫三角形的重心。

性質(zhì)：O是△ABC的重心的充要條件是■+■+■=0。

推論：P是△ABC所在平面上任意一點(diǎn)，■=■（■+■+■）？圳O是△ABC的重心。

例1：已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足■=■+λ（■+■），則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)△ABC的（ ）。

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

[點(diǎn)撥]：由■=■+λ（■+■）？圯■=λ（■+■），由平行四邊形法則和共線定理可知AP一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心，故選C。

例2：已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足■=■+λ（■+■） λ∈[0，+∞），則P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的（ ）

A.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心

[點(diǎn)撥]：在△ABC中，由正弦定理有■sin B=■sin C，令t=■sin B=■sin C，則■=■+■（■+■） ■∈[0，+∞）？圯■=■（■+■），由平行四邊形法則和共線定理可知AP是一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心的，故選A。

二、有關(guān)內(nèi)心的問(wèn)題

概念：三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心。

性質(zhì)：O是△ABC的內(nèi)心的充要條件是a■+b■+c■=■，（a，b，c是△ABC的A、B、C所對(duì)的三邊）?；颍骸觥ぃā?■）=■·（■-■）=■·（■-■）=0？圳O是△ABC的內(nèi)心。

例3：已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足■=■+λ（■+■），λ∈[0，+∞），則P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的（ ）。

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

[點(diǎn)撥]：由已知條件可得■=λ（■+■），λ∈[0，+∞），由向量平行四邊形法則可知P在△ABC的∠BAC的平分線上，故選B。

例4：已知非零向量■與■滿足（■+■）·■=0，且（■·■）=■，則△ABC為（ ）

A.三邊均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等邊三角形

D.等邊三角形

[點(diǎn)撥]：由命題，從（■+■）·■=0，可知∠BAC的平分線垂直對(duì)邊BC，故△ABC為等腰三角形；從（■·■）=■可知cosA=■，所以∠A=60°，故△ABC為等邊三角形，故選D。

三、有關(guān)外心的問(wèn)題

概念：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫三角形的外心；

性質(zhì)：O是三角形的外心？圳■=■=■或■■=■■=■■。

例5：已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足■=■+λ（■+■），λ∈[0，+∞），則P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的（ ）。

A.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心

[點(diǎn)撥]：取BC的中點(diǎn)D，則■=■，由已知條件可得■=λ（■+■），又因?yàn)椤觥ぁ?λ（■+■）=λ（■-■）=0，所以■⊥■，所以DP是BC的垂直平分線，所以P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的外心，故選D。

四、有關(guān)垂心的問(wèn)題

概念：三角形三邊上的高的交點(diǎn)，叫三角形的垂心。

性質(zhì)：O是△ABC的垂心的充要條件是

■·■=■·■=■·■

例6：已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，■=■+λ（■+■），λ∈[0，+∞），則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)△ABC的（ ）。

A.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心

[點(diǎn)撥]：由已知等式可知■=λ（■+■），在等式兩邊同時(shí)乘以■，即■·■=λ（■+■）=λ（-■+■）=0？圯AP⊥BC，

故P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)△ABC的垂心，故選B。

五、另外，還有三角形“四心”的結(jié)合應(yīng)用

例7：△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，■=m（■+■+■），則實(shí)數(shù)m=_____。

[點(diǎn)拔]：如圖，△ABC的外心為O，垂心為H，連接BO并延長(zhǎng)，交圓周于D，則∠BAD=∠BCD=90°，從而有DC∥AH，DA∥CH，故四邊形CDAH為平行四邊形。

所以■=■，所以■=■=■-■=■+■。

所以■=■+■=■+■+■，故m=1。

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（責(zé)編 趙建榮）