探究高考立體幾何命題變化趨勢(shì)

宋雅銳

摘要：在新課程實(shí)施的大背景下，立體幾何高考命題是一道最富有特色的亮麗風(fēng)景線，同時(shí)隨著新課程改革的不斷深入，立體幾何無(wú)疑又成為高考數(shù)學(xué)學(xué)科命題的突破口、試驗(yàn)田，有時(shí)還會(huì)成為風(fēng)向標(biāo)。這些改革嘗試的目的在于激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，從數(shù)學(xué)角度去發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題并加以探索和研究，有利于提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。本文結(jié)合實(shí)例解讀立體幾何命題的兩大變化趨勢(shì)。

關(guān)鍵詞：存在性 運(yùn)動(dòng) 變化 傳統(tǒng)法 向量法

在新課程實(shí)施的大背景下，立體幾何高考命題是一道最富有特色的亮麗風(fēng)景線，作為中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的主題內(nèi)容之一，立體幾何高考命題始終把空間的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，以及空間角、空間距離的計(jì)算作為考察重點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的空間想象能力，邏輯思維能力，演繹推理能力等傳統(tǒng)的考查方式仍相對(duì)穩(wěn)定。同時(shí)隨著新課程改革的不斷深入，立體幾何無(wú)疑又成為高考數(shù)學(xué)學(xué)科命題的突破口、試驗(yàn)田，有時(shí)還會(huì)成為風(fēng)向標(biāo)。這些改革嘗試的目的在于激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，從數(shù)學(xué)角度去發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題并加以探索和研究，有利于提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)?？v觀近幾年全國(guó)各地高考試題變化趨勢(shì)，我們可以清楚地看到傳統(tǒng)與創(chuàng)新的有機(jī)結(jié)合，正是在新課程理念下立體幾何命題的新的走向、新特色。

由于近幾年高考命題傾向于新教材內(nèi)容，因此同一道立體幾何綜合體，利用向量法比傳統(tǒng)法相對(duì)容易，尤其是確定點(diǎn)的位置或探索性的問(wèn)題，利用空間向量坐標(biāo)形式將體現(xiàn)出解法的優(yōu)越性。下面結(jié)合實(shí)例分析立體幾何命題兩大變化趨勢(shì)。

一、存在性問(wèn)題

例1：如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是地面邊長(zhǎng)的■倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大??；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由。

■

解法一：（Ⅰ）連接BD，設(shè)AC，BD交于O，由題意，SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD。

（Ⅱ）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則SD=■a，又OD=■a，所以∠SDO=60°，連接OP，由（Ⅰ）知，AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，AC⊥OD，所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角，由SD⊥平面PAC，已知SD⊥OP，所以∠POD=30°，即二面角P-AC-D的大小是30°。

（Ⅲ）在SC上存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC。

由（Ⅱ）知，PD=■a，故可在SD上取一點(diǎn)N，使PN=PD，過(guò)N作PC得平行線與SC的交點(diǎn)即為E，連接BN，在△BDN中BN//PO，由于NE//PC，故平面BEN//平面PAC，得BE//平面PAC，由于SN：NP=2：1，所以SE：EC=2：1。

解法二：（Ⅰ）連接BD，設(shè)AC，BD交于O，由題意，SO⊥平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，■，■，■分別為x軸，y軸，z軸正方向建立直角坐標(biāo)系如圖，

■

設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則SO=■a，于是S（0，0，■a），D（-■a，O，O），C（0，■a，0），■=（0，■a，O）， ■=（-■a，0，-■a）■·■=0所以O(shè)C⊥SD，從而AC⊥SD。

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，平面PAC的一個(gè)發(fā)向量■=（■a，0，■a）

平面DAC的一個(gè)發(fā)向量■=（0，0，■a），設(shè)所求二面角為？茲，

則cos？茲=■=■，？茲=30°，即二面角P-AC-D的大小是30°。

（Ⅲ）在SC上存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC

由（Ⅱ）知，■為平面PAC的一個(gè)發(fā)向量，■=（0，-■a，■a）

設(shè)■=t■，則■=■+■=■+t■=（-■a，■a（1-t），■a）

■·■=0？圳t=■，即當(dāng)SE：EC=2：1時(shí)，■⊥■

而BE不在平面PAC內(nèi)，所以BE∥平面PAC。

評(píng)析：向量法凸顯出解答立體幾何的優(yōu)越性，把是否存在一點(diǎn)E的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解的問(wèn)題，幾何推理轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。此類問(wèn)題將成為新的命題方向與熱點(diǎn)。

二、運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題

例2：如圖所示，五面體ABCDE中正△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE⊥平面ABC，CD∥AE，且CD=■AE

（I）設(shè)CE與平面ABE所成角為？琢，AE=k（k>0），若？琢∈■，■求k的取值范圍；

（II）在（I）的條件下，當(dāng)k取得最大值時(shí)，求平面BDE與平面ABC所成角的余弦值。

■

解：

（Ⅰ）取AB中點(diǎn)M，連結(jié)CM、EM，由△ABC為正三角形，得CM⊥AB，又AE⊥面ABC，則AE⊥CM，可知CM⊥面ABE，所以∠MEC為CE與平面ABE所成角，tan？琢=■=■，因?yàn)?？琢∈■，■，得tan？琢∈■，1，得■≤k≤■。

（Ⅱ）延長(zhǎng)AC、ED交于點(diǎn)S，連BS，可知平面BDE∩平面ABC=BS。由CD∥AE，且CD=■AE，又因?yàn)锳C=CS=BC=1，從而AB⊥BS。又AE⊥面ABC，由三垂線定理可知BE⊥BS，即∠EBA為平面BDE與平面ABC所成的角則tan∠EBA=■=■。

評(píng)析：運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，又是高考的一個(gè)新的命題趨勢(shì)，解答此類問(wèn)題首先從定性的角度分析，是“誰(shuí)”的變，引起了“誰(shuí)”的變，變化趨勢(shì)是怎樣的，無(wú)論是傳統(tǒng)法還是向量法，抽象出函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題。

（責(zé)編 趙建榮）