例談培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的重要性

李新成

摘要：結(jié)合一些具體實(shí)例討論了如何通過培養(yǎng)和提高中學(xué)生建模能力，去加強(qiáng)學(xué)生認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而更好地增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能動(dòng)性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模能力 培養(yǎng)興趣 學(xué)習(xí)的能動(dòng)性

一、引言

2003年教育部頒布的中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)里，數(shù)學(xué)建模成了十分重要的組成部分，標(biāo)志著數(shù)學(xué)建模正式進(jìn)入我國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。中學(xué)生接觸的大多數(shù)是傳統(tǒng)的文字應(yīng)用題，帶有很強(qiáng)的人工化，形式化，對(duì)數(shù)學(xué)建模相對(duì)生疏。課本上傳統(tǒng)的文字應(yīng)用題往往條件清楚準(zhǔn)確、不多不少、結(jié)果唯一確定，解出的結(jié)果很少要求學(xué)生思考是否符合實(shí)際。因此，就更加不會(huì)去考慮是否需要調(diào)整和修改已有的模型。而這些正是數(shù)學(xué)建模過程的難點(diǎn)和重點(diǎn)。數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，提倡的是“想用、能用、會(huì)用”的“用”數(shù)學(xué)的意識(shí)。這正是新課標(biāo)指出的：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境， 引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流，獲得知識(shí)，形成技能，發(fā)展思維，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，促使學(xué)生在教師指導(dǎo)下生動(dòng)活潑地、主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí)?！?/p>

二、如何培養(yǎng)和提高中學(xué)生建模能力

數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)結(jié)合正常的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行切入，把培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)落實(shí)在平時(shí)的教學(xué)過程中，以教材為載體，以改革教學(xué)方法為突破口，通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)加工、處理和再創(chuàng)造達(dá)到在學(xué)中用，在用中學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的用數(shù)學(xué)意識(shí)以及分析和解決實(shí)際問題的能力。要教會(huì)學(xué)生建模，培養(yǎng)學(xué)生如下幾方面的能力是關(guān)鍵。

（一）培養(yǎng)“翻譯”能力

1.審題。包括對(duì)題意的整體理解和局部理解，以及分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)。就是弄清題目所述的事件和研究對(duì)象；抓住題目中的關(guān)鍵字句，正確把握其含義；根據(jù)題意，弄清題中各有關(guān)量的數(shù)量關(guān)系；抓住題目中的主要問題，正確識(shí)別其類型。

2.問題轉(zhuǎn)化。將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建模的直接準(zhǔn)備就是審題的最后階段從各種關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，將此關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號(hào)表示出來，即可得到解決問題的數(shù)學(xué)模型。一般有關(guān)系分析法，列表分析法和圖像分析法。

（二）培養(yǎng)用數(shù)學(xué)分析意識(shí)和創(chuàng)造能力

第一，教師在教學(xué)中應(yīng)注意在從具體到抽象的學(xué)習(xí)過程中， 讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈有著清晰的認(rèn)識(shí)，而非橫空出世。即要結(jié)合學(xué)生熟悉的事物善于深入淺出地提出數(shù)學(xué)問題、講解數(shù)學(xué)問題，把數(shù)學(xué)與生活緊密地結(jié)合起來；第二，教師要合理引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造過程，從而自我建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)思想方法的活動(dòng)。即要營造一個(gè)激勵(lì)探索和理解的氣氛，讓學(xué)生在觀察體驗(yàn)、動(dòng)手實(shí)踐的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)把眼前的問題與自己已有的知識(shí)體驗(yàn)之間發(fā)生關(guān)聯(lián)，從中有效地學(xué)習(xí)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想，學(xué)習(xí)建模思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想和概率統(tǒng)計(jì)思想等方法。

（三）培養(yǎng)想象力

想象力是人類特有的一種思維能力，是人們?cè)谠兄R(shí)的基礎(chǔ)上，將新感知的形象與記憶中的形象相互比較、重新組合、加工處理，創(chuàng)造出新形象的能力。愛因斯坦曾說過：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉?！?/p>

實(shí)例一：某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時(shí)間？

這是一個(gè)測(cè)試想象能力的簡(jiǎn)單題目，似乎條件不夠，無法回答。但只要換一種想法，問題就迎刃而解了。假設(shè)他的妻子遇到他后載著他仍舊開往會(huì)合地點(diǎn)，那么他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘從何而來？顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。

（四）培養(yǎng)發(fā)散性思維及創(chuàng)新能力

所謂發(fā)散性思維，是指針對(duì)同一問題，沿著不同的方向去思考，從不同角度、不同側(cè)面對(duì)所給信息或條件加以重新組合，橫向拓展思路、縱向深入探索研究、逆向反復(fù)比較，從而找出多種合乎條件的可能答案、結(jié)論或假說的思維過程和方法，即常說的“條條道路通羅馬”。

實(shí)例二：華盛頓大學(xué)教授卡蘭得卡給學(xué)生出了一道題：“試證明怎么能夠用一個(gè)氣壓計(jì)測(cè)定一棟高樓的高度”。

一個(gè)學(xué)生給出了如下答案：“把氣壓計(jì)拿到高樓頂部，用一根長繩子系住氣壓計(jì)，然后把氣壓計(jì)從樓頂向樓下墜，直到墜到街面為止；然后把氣壓計(jì)拉上樓頂，測(cè)量繩子放下的長度。這長度即為樓的高度?！薄鞍褮鈮河?jì)拿到樓頂，讓它斜靠在屋頂?shù)倪吘壧?。讓氣壓?jì)從屋頂落下，用秒表記下它落下的時(shí)間，然后用落下的距離等于重力加速度乘以下落時(shí)間的平方的一半算出建筑物的高度。”“可以在有太陽的日子在樓頂記下氣壓表的高度和它影子的長度，又測(cè)出建筑物影子的長度，就可以利用簡(jiǎn)單的比例關(guān)系，算出建筑物的高度。”“還有一個(gè)最基本的測(cè)量方法。拿著氣壓表，從一樓登梯而上，登樓時(shí)，用符號(hào)標(biāo)出氣壓表上的水銀高度，這樣可以用氣壓表的單位得到這棟樓的高度。這個(gè)方法最直截了當(dāng)?！薄爱?dāng)然，如果還想得到更精確的答案，可以用一根弦的一端系住氣壓表，把它像一個(gè)擺那樣擺動(dòng)，然后測(cè)出街面和樓頂?shù)膅值 （重力加速度）。從兩個(gè)g值之差，在原則上就可以算出樓頂高度?！薄叭绻幌拗朴梦锢韺W(xué)方法回答這個(gè)問題，還有許多其他方法。例如，拿上氣壓表走到樓房底層，敲管理人員的門。當(dāng)管理人員應(yīng)聲時(shí)，你對(duì)他說下面一句話，‘親愛的管理員先生，我有一個(gè)很漂亮的氣壓表。如果你告訴我這棟樓的高度，我將把這個(gè)氣壓表送給您?！碑?dāng)然最后這個(gè)只不過是一個(gè)笑話。這種近乎抬杠的方法我們并不提倡，但他這種不被傳統(tǒng)固有知識(shí)所限制，舉一反三，努力提出新方案的思維方式，正是我們提倡的發(fā)散性思維。

（五）培養(yǎng)表達(dá)的能力

中學(xué)建模的結(jié)果常常需要以解題報(bào)告或論文的形式寫出來，這就要求教師引導(dǎo)學(xué)生逐步達(dá)到能夠?qū)⒆约核龅墓ぷ饔脺?zhǔn)確嚴(yán)密的語言表述出來，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的寫作和表達(dá)能力的鍛煉。教師可以通過一些具體的例子來分組鍛煉學(xué)生合作建模并表述建模過程，之后分組指導(dǎo)并改進(jìn)論文，選取較為優(yōu)秀的論文作為建模課程的范例進(jìn)行講解，引導(dǎo)學(xué)生展開討論，從而改進(jìn)建模方法和解題過程，提高學(xué)生的解題能力和寫作能力。

三、實(shí)例分析

（一）問題及分析

某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來運(yùn)送成品油的要求。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

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若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬元。 鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用為21.4（萬元/千米），油田設(shè)計(jì)院希望通過數(shù)學(xué)方法設(shè)計(jì)一種建設(shè)費(fèi)用最省方案。

（二）建立模型及求解

由于A廠、B廠與鐵路的位置一定，但由于A廠、B廠分別在郊區(qū)與城區(qū)，而鋪設(shè)在城區(qū)管線還需要增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用。故可按如下情形進(jìn)行討論：車站可能建在Ⅰ區(qū)，可能建在Ⅱ區(qū)。為此，分如下情形討論：

■

■

方案（1） 設(shè)AT=x，TM=y，則x■=25+CT■，CT=■，TD=20-■由Rt△FMT∽R(shí)t△BDT可得：■=■=■

則MD=20-■-y=5，BD=8，MF=■

可得 BF=BT-FT

=■■，

總費(fèi)用 W=7.2（AT+TB）+21.4BF

=7.2（x+■+21.4■■，

由于W為關(guān)于x的一元函數(shù)，為使總費(fèi)用最小，只需求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)等于零即可。即解方程■=0，則可得x即轉(zhuǎn)接點(diǎn)的位置，從而得到最佳設(shè)計(jì)方案及最省費(fèi)用。

由計(jì)算得：x=6.69，Wmin=294.43。

方案（2） 設(shè)MT=y，則DT=5-y，管線長度L=AQ+QT+BT，

由Rt△TQM∽R(shí)t△TAC可得： ■=■=■，

所以 TQ=■■，QM=■，

則AQ=AT-QT=■■，BT=■=■，

因此，總費(fèi)用 W=7.2（AT+TB）+21.4（QT+TB）=7.2（■+■）+21.4（■■+■）

由于W是關(guān)于y的一元函數(shù)，對(duì)y求導(dǎo)并令倒數(shù)等于零即可。

從而可以得到最佳設(shè)計(jì)方案及最省費(fèi)用：y■=0，W■=383.654。

四、結(jié)語

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想， 一方面能使學(xué)生逐步熟悉和掌握利用數(shù)學(xué)方法來解決實(shí)際問題。這將使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用產(chǎn)生興趣，并逐步提高解決實(shí)際問題的能力。另一方面對(duì)于從事多年傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的教師來說，也是一項(xiàng)轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，更新教學(xué)方法的實(shí)踐，能使教師的數(shù)學(xué)教學(xué)從與實(shí)際脫節(jié)的理論傳授方式向?qū)嶋H的應(yīng)用數(shù)學(xué)模式轉(zhuǎn)化。

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京： 高等教育出版社，2004.

[2]姜啟源.數(shù)學(xué)建模[M].北京： 高等教育出版社，2002.

（責(zé)編 趙建榮）