一道中考?jí)狠S題的多種解法與教學(xué)思考

☉山東省水發(fā)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉增元

綜合運(yùn)用函數(shù)、圖形變換、求最值等知識(shí)的動(dòng)點(diǎn)問題成為近幾年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)題型，備受一線教師的關(guān)注.下面以菏澤市2018年中考?jí)狠S題（第24題）為例，提供多種解法，并跟進(jìn)教學(xué)思考，分享給大家.

一、試題呈現(xiàn)與解析

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2＋bx-5交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B（-5，0）和點(diǎn)C（1，0），過點(diǎn)A作AD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D.

（1）求此拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在直線AD上，求△EAD的面積；

（3）若點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，△ABP的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△ABP的最大面積.

圖1

圖2

思路分析：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線y=ax2＋bx-5，用待定系數(shù)法可求出拋物線的表達(dá)式.

（2）求△EAD的面積，必須確定其底和高.因?yàn)榫€段AD的長度可求，且平行于x軸，可作為底，然后根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和軸對稱求出AD邊上的高，進(jìn)而求出△EAD的面積.

（3）求△ABP的最大面積，基本方法有兩種.一種是幾何法.由題意可知線段AB的長度一定，所以求出動(dòng)點(diǎn)P到直線AB的最大距離，就能求出△ABP的最大面積.當(dāng)把直線AB向下平移，和拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離達(dá)到最大，此時(shí)可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△ABP的最大面積.另一種是解析法.設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用面積割補(bǔ)轉(zhuǎn)化法，即把不可直接求（或表示）的三角形面積轉(zhuǎn)化為可求（或可表示）的面積的和、差，然后借助函數(shù)求最值.

解：（1）拋物線y=ax2＋bx-5過點(diǎn)B（-5，0）、C（1，0），則解得a=1，b=4.

所以拋物線的表達(dá)式為y=x2＋4x-5.

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=x2＋4x-5=-5，則A（0，-5）.

因?yàn)辄c(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F在直線AD上，且AD∥x軸，所以EF⊥DA，EF=10.

由x2＋4x-5=-5，解得x1=-4，x2=0，則AD=x2-x1=4，故S△EAD=×4×10=20.

（3）（幾何法）如圖2，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx＋b.

所以直線AB的表達(dá)式為y=-x-5.

過拋物線上的點(diǎn)P作直線MN∥AB分別交x、y軸于點(diǎn)M、N.設(shè)直線MN的表達(dá)為y=-x＋b.

由x2＋4x-5=-x+b，得x2+5x-5-b=0.當(dāng)直線y=-x+b與拋物線y=x2＋4x-5只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，Δ=25-4（-5-b）=0，則b=-，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-，縱坐標(biāo)為-，所以點(diǎn)直線MN的表達(dá)式為y=-，它與y軸交

作AH⊥MN，垂足為H.

因?yàn)镺A=OB=5，則∠BAO=45°，∠MNA=45°.

注：求△ABP邊AB上的高，也可過點(diǎn)O作平行線AB與MN的垂線，利用垂線段的差來求，限于篇幅，這里不再贅述.

試題點(diǎn)評：本題作為壓軸題有以下特點(diǎn).

（1）題干字符簡潔，問題梯度分明，由易到難，由靜到動(dòng)，思維水平逐級(jí)提高，使不同水平的學(xué)生到達(dá)問題的不同深度，體現(xiàn)了新課標(biāo)的基本理念“面向全體學(xué)生”“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.

（2）以函數(shù)為主脈，由簡單到復(fù)雜，涵蓋了待定系數(shù)法、圖形變換、圖形與坐標(biāo)、配方法、數(shù)形結(jié)合、化歸、函數(shù)與方程和函數(shù)建模等主要數(shù)學(xué)思想方法的考查，實(shí)現(xiàn)了函數(shù)與幾何的有機(jī)結(jié)合.

（3）問題前后關(guān)聯(lián)，解法多樣，通性、通法與技巧相結(jié)合，探究持續(xù)進(jìn)行.問題（1）是問題（2）和（3）的解題基礎(chǔ)，問題（2）和（3）看似沒有關(guān)聯(lián)，但實(shí)質(zhì)上問題（2）是為問題（3）做鋪墊，問題（3）在試題解析中用了幾何法，還可以用解析法，即在平面直角坐標(biāo)系中，學(xué)生可以結(jié)合自己的解題經(jīng)驗(yàn)從不同角度將△ABP的面積割補(bǔ)轉(zhuǎn)化，然后利用函數(shù)求出△ABP的最大面積.解法多樣，豐富多彩，這些正體現(xiàn)了命題者的匠心.

二、本題第（3）小題解析法賞析

解法1：如圖3，過點(diǎn)P作PE⊥OB，PG⊥AB，垂足分別為E、G，PE交AB于點(diǎn)F.

由幾何解法可知直線AB的表達(dá)式為y=-x-5.

設(shè)點(diǎn)P（m，m2＋4m-5），則點(diǎn)F（m，-m-5）、E（m，0）.

故PF=（-m-5）-（m2＋4m-5）=-m2-5m.

因?yàn)镺A=OB=5，PE∥OA，所以∠PFA=∠BAO=45°.

解法2：如圖3，過點(diǎn)P作PE⊥OB，垂足為E，交AB于點(diǎn)F.

設(shè)點(diǎn)P（m，m2+4m-5），由解法1可知：PF=-m2-5m.

圖3

圖4

解法3：如圖4，連接OP.

設(shè)點(diǎn)P（m，m2+4m-5）.

解法4：如圖5，作PE⊥OB，垂足為點(diǎn)E.

設(shè)點(diǎn)P（m，m2+4m-5）.

圖5

圖6

解法5：如圖6，作PQ⊥y軸，垂足為點(diǎn)Q.

設(shè)點(diǎn)P（m，m2+4m-5）.

解法6：利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.

先求出直線AB的表達(dá)式為y=-x-5.

設(shè)點(diǎn)P（m，m2+4m-5）.

因?yàn)?5＜m＜0，所以m2+5m＜0.點(diǎn)P到直線AB的距離d=

△ABP

三、教學(xué)思考

1.注重?cái)?shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，只有掌握了數(shù)學(xué)思想方法，才能體會(huì)到數(shù)學(xué)的奧妙，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的精髓，因此教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅僅是讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)，還要著重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，把數(shù)學(xué)思想方法的滲透和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累貫穿于教學(xué)全過程，使學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)掌握數(shù)學(xué)思想方法，并通過不斷積累運(yùn)用，內(nèi)化為自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在遇到“陌生”的問題時(shí)，會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法和自己的經(jīng)驗(yàn)解決問題.

2.重視解題反思，勤于歸納、梳理

對于數(shù)學(xué)試題中的壓軸題，不能僅僅滿足于解出答案這一最低層次，更要善于解后反思.首先，要深入思考試題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，解法如何自然生成，與以前哪些試題結(jié)構(gòu)類似，解題思想方法是否相同，并對反思進(jìn)行歸納、梳理，研究解決一類問題的通性通法，以達(dá)到對一類問題的深刻理解.其次，要挖掘試題的潛在功能和作用，進(jìn)行一題多解、一題多變、多題歸一，在變式教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，逐步提升解決問題的能力.