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    也談幾何直觀的培養(yǎng)

    2022-05-30 10:48:04程茂山
    關(guān)鍵詞:幾何直觀小學(xué)數(shù)學(xué)

    程茂山

    摘要:幾何直觀是根據(jù)非圖形表征的情境,作圖并用圖,也就是把圖形視為重要的語(yǔ)言,做好“圖形表征”和“圖形分析”。圖形語(yǔ)言具有直觀形象、簡(jiǎn)明扼要的特點(diǎn),可以很好地幫助理解知識(shí)和解決問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,培養(yǎng)圖形表征能力,需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境特征,確定圖形類型,以及把握?qǐng)D形本質(zhì),完善圖意表達(dá);培養(yǎng)圖形分析能力,則需要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)靜態(tài)觀察、動(dòng)態(tài)操作,感知、發(fā)現(xiàn)圖形要素之間的關(guān)系。

    關(guān)鍵詞:幾何直觀;圖形表征;圖形分析;小學(xué)數(shù)學(xué)

    作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提出的數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一,幾何直觀“主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣”,包括“感知各種幾何圖形及其組成元素,依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類;根據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)的圖形,分析圖形的性質(zhì);建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型;利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題,探索解決問(wèn)題的思路”,其“有助于把握問(wèn)題的本質(zhì),明晰思維的路徑”。中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022:8。

    從內(nèi)涵及要素的角度看,幾何直觀其實(shí)就是根據(jù)非圖形表征(包括動(dòng)作表征和符號(hào)表征等)的情境(包括現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境等),作圖并用圖,也就是把圖形視為重要的語(yǔ)言,做好“圖形表征”和“圖形分析”。從價(jià)值與作用的角度看,圖形語(yǔ)言具有直觀形象、簡(jiǎn)明扼要的特點(diǎn),可以很好地幫助理解知識(shí)和解決問(wèn)題,因此,回顧數(shù)學(xué)史不難發(fā)現(xiàn),“幾乎所有重要的概念最初都是從幾何(圖形)中來(lái)的”,“幾何(圖形)是數(shù)學(xué)思想的搖籃”。

    下面就從圖形表征和圖形分析兩個(gè)方面談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀的培養(yǎng)。

    一、圖形表征能力的培養(yǎng)

    (一)根據(jù)情境特征,確定圖形類型

    數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué),源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象。從表征的角度看,與數(shù)學(xué)有關(guān)的各種情境都可以利用圖形來(lái)表征或轉(zhuǎn)化為圖形表征。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同的情境,選擇不同的圖形來(lái)表征(當(dāng)然,情境特征和圖形類型不是嚴(yán)格一一對(duì)應(yīng)的,可以靈活選擇)。

    第一,現(xiàn)實(shí)情境中的事物可以用示意圖表征,如用一個(gè)點(diǎn)(或圓圈、方框、三角形等)代表一個(gè)事物,用兩個(gè)點(diǎn)之間的連線代表兩個(gè)事物之間的關(guān)系。由此,可以方便地發(fā)現(xiàn)事物的數(shù)量屬性及其關(guān)系。

    例如,“全班18人去公園劃船,租4只船剛好坐滿,每只大船坐5人,每只小船坐3人,則租的大船、小船各有多少只?”對(duì)此,可以畫(huà)出人坐船的示意圖(如圖1所示),從而很容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,得到“大船3只、小船1只”的結(jié)論。

    再如,“南山中心小學(xué)舉行足球賽,有4支球隊(duì)參加,分別是紅隊(duì)、黃隊(duì)、綠隊(duì)和藍(lán)隊(duì),如果每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng),則一共要比賽多少場(chǎng)?”對(duì)此,可以畫(huà)出4支球隊(duì)比賽關(guān)系的示意圖(如圖2所示),從而很容易數(shù)出一共要比賽6場(chǎng)。

    這里特別值得一提的是,現(xiàn)實(shí)情境除了用文字(符號(hào))語(yǔ)言來(lái)表征之外,也可以用真實(shí)或虛擬的場(chǎng)景或視頻來(lái)表征(本質(zhì)上屬于動(dòng)作表征)。對(duì)此,轉(zhuǎn)化為圖形表征雖然不能凸顯直觀形象的價(jià)值,但是可以發(fā)揮簡(jiǎn)明扼要的作用。

    第二,現(xiàn)實(shí)情境中事物的數(shù)量屬性、抽象之后數(shù)學(xué)情境中的數(shù),可以用幾何意義,如線段(或矩形、長(zhǎng)方體等,即滿足一定幾何度量的圖形)、數(shù)軸上的點(diǎn)(即基于某一“標(biāo)準(zhǔn)”的幾何位置,與其構(gòu)成一定的幾何度量關(guān)系)來(lái)表征。由此,很容易發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果。

    例如,“星河小學(xué)美術(shù)組男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的25,已知女生有21人,男生有多少人?”對(duì)此,可以借助數(shù)的幾何意義畫(huà)出線段圖(如圖3所示),從而很容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,得到男生有21×23=14(人)。

    再如,計(jì)算12+14+18+116。對(duì)此,可以借助數(shù)的幾何意義畫(huà)出方塊圖(如圖4所示),從而很容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,得到結(jié)果為1-116=1516。

    又如,計(jì)算“頭同尾合十”的兩位數(shù)乘法(如22×28)時(shí),可以借助數(shù)及運(yùn)算的幾何意義畫(huà)出矩形圖(如下頁(yè)圖5所示),從而通過(guò)圖形變換(如下頁(yè)圖6所示),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律:兩個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘的結(jié)果就是積的末兩位的數(shù),十位上的數(shù)與比它大1的數(shù)相乘的結(jié)果就是積的末兩位前面的數(shù)。而且,利用兩數(shù)相乘的幾何意義,很容易說(shuō)明乘法交換律以及乘法對(duì)加法的分配律等。

    此外,在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的各種統(tǒng)計(jì)圖(條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖等)本質(zhì)上都是將數(shù)(數(shù)據(jù))用幾何意義來(lái)表征的。

    事實(shí)上,尤其是對(duì)小學(xué)生而言,抽象的數(shù)需要借助現(xiàn)實(shí)的情境(情境中的量)來(lái)理解(如1個(gè)人、2棵樹(shù)、3個(gè)石子、4個(gè)珠子)。而人類在數(shù)學(xué)史的探究過(guò)程中發(fā)現(xiàn),借助空間的度量來(lái)理解,既方便快捷,又符合自身感知的特點(diǎn)(視覺(jué)接受的信息最多,而且現(xiàn)代腦神經(jīng)科學(xué)研究表明,人類通常是通過(guò)“心理數(shù)軸”,基于直觀的空間及其變換來(lái)理解抽象的數(shù)及其關(guān)系與運(yùn)算的。因此,數(shù)和形的聯(lián)系不斷加強(qiáng),密不可分。這也就使看起來(lái)更像是物理學(xué)分支的幾何學(xué)(物理學(xué)主要研究真實(shí)存在的事物屬性,數(shù)學(xué)主要研究抽象之后的數(shù)量關(guān)系,而空間是真實(shí)存在的事物屬性——長(zhǎng)度、面積等度量是有單位的,其中可以抽象出數(shù)量關(guān)系),變成了數(shù)學(xué)的分支(形式化了的數(shù)量關(guān)系,不管原來(lái)表示哪種事物屬性——比如表示時(shí)間,都可以轉(zhuǎn)化為表示空間屬性——比如表示長(zhǎng)度)。

    第三,現(xiàn)實(shí)情境中事物的空間形式可以抽象為幾何圖(也是一種“示意圖”)。由此,更容易研究其中的數(shù)量關(guān)系。

    例如,“梅山小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形花圃,長(zhǎng)8米,在修建校園時(shí),花圃的長(zhǎng)增加了3米,這樣面積就增加了18平方米,那么原來(lái)花圃的面積是多少平方米?”對(duì)此,可以畫(huà)出原來(lái)花圃和后來(lái)花圃的幾何圖(如圖7所示),從而很容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,得到原來(lái)花圃的面積為8×183=48(平方米)。

    此外,小學(xué)數(shù)學(xué)中有一類典型的問(wèn)題,即行程問(wèn)題,描述的也是事物的空間形式,也可以抽象為幾何圖(一般為線段圖)來(lái)解決。

    (二)把握?qǐng)D形本質(zhì),完善圖意表達(dá)

    為了更好地理解和分析圖形中的數(shù)量關(guān)系,確定好圖形的類型后,教師需要引導(dǎo)學(xué)生充分把握情境信息,準(zhǔn)確、全面地構(gòu)造圖形。

    首先要把握?qǐng)D形本質(zhì)。無(wú)論用圖形表示事物本身、數(shù)量屬性,還是空間形式,都要把握?qǐng)D形所表示內(nèi)容的本質(zhì)——數(shù)量關(guān)系。因此,具體形式是點(diǎn)是線、是方是圓等并不重要,但數(shù)量關(guān)系一定要準(zhǔn)確反映,不能畫(huà)多了或少了。比如,畫(huà)圖表示14,可以畫(huà)大小不同的多種圖形(正方形、長(zhǎng)方形、圓等),可以按不同的方式分所畫(huà)的圖形(橫、豎、橫豎交叉等),但是都要平均分成4份,表示出其中的1份。

    其次要完善圖意表達(dá)。構(gòu)圖的過(guò)程實(shí)際上是細(xì)致梳理、再次明確情境信息的過(guò)程。在把握?qǐng)D形本質(zhì)的基礎(chǔ)上,要注意完善圖意表達(dá),以全面展現(xiàn)情境信息。首先,要在圖上標(biāo)出已知(圖形表示)的每個(gè)數(shù)據(jù)。其次,要適當(dāng)?shù)貥?biāo)示隱含的信息。例如,針對(duì)“一個(gè)直角三角形,兩個(gè)銳角相差30°,求這兩個(gè)角的度數(shù)”這一問(wèn)題,畫(huà)出直角三角形后,除了標(biāo)出直角以及“兩個(gè)銳角相差30°”這個(gè)已知數(shù)據(jù)之外,最好再標(biāo)示“兩個(gè)銳角和為90°”這個(gè)隱含的信息。

    此外需要指出的是,對(duì)于信息比較多的情境,應(yīng)該完整閱讀情境信息,整體把握?qǐng)D形各部分的關(guān)系,再?gòu)暮诵脑爻霭l(fā),補(bǔ)充次要元素,以合理的順序畫(huà)出全部的圖形,從而確保圖形構(gòu)造的準(zhǔn)確、全面。例如,利用線段圖解決行程問(wèn)題時(shí),要在明確運(yùn)動(dòng)時(shí)間、運(yùn)動(dòng)方向和起止地點(diǎn)的基礎(chǔ)上構(gòu)圖,表示出研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)軌跡。

    二、圖形分析能力的培養(yǎng)

    經(jīng)過(guò)圖形表征,情境中的數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)為圖形要素(包括其中的基本圖形)之間的關(guān)系。為了更好地感知、發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,需要分析圖形要素之間的關(guān)系。其具體方式大致可以分為靜態(tài)觀察、動(dòng)態(tài)操作兩種。

    (一)靜態(tài)觀察圖形

    一個(gè)圖形通常包含諸多要素。教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形,從不同角度抽取要素,感知、發(fā)現(xiàn)(猜測(cè))它們之間的關(guān)系,得到有用的結(jié)論。

    例如,面對(duì)問(wèn)題“如圖8所示,矩形ABCD的邊長(zhǎng)為1和x,分別以B、C為圓心,以1為半徑的兩段圓弧交于點(diǎn)M,若圖中的兩個(gè)陰影部分的面積相等,則x=”,教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn),這一問(wèn)題中的基本圖形除了矩形,還有兩個(gè)半徑為1、圓心角為90°的扇形;除了兩個(gè)面積相等的陰影部分,還有兩個(gè)面積相等的“扇形剩余部分”。由此,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn),兩個(gè)面積相等的陰影部分分別加上一個(gè)“扇形剩余部分”,得到的兩個(gè)圖形(如圖9所示)面積依然相等,而這兩個(gè)圖形加在一起就是整個(gè)矩形。于是,學(xué)生便能夠基于這一數(shù)量關(guān)系,利用扇形面積公式和矩形面積公式,得到方程2×14π×12=1×x,從而解決問(wèn)題。

    (二)動(dòng)態(tài)操作圖形

    有時(shí),圖形要素之間的關(guān)系不夠明顯或簡(jiǎn)潔。這時(shí),教師可以引導(dǎo)學(xué)生操作圖形,讓圖形“動(dòng)”起來(lái),從而感知、發(fā)現(xiàn)(猜測(cè))圖形要素之間的關(guān)系,得到有用的結(jié)論。

    例如,常見(jiàn)的修路問(wèn)題“一塊長(zhǎng)方形地里有兩條小路(如圖10所示),路寬為2米,這塊地除了路之外還剩多少平方米?”這道題的核心數(shù)量關(guān)系是“總面積-路的面積=剩下的面積”。對(duì)此,一部分學(xué)生直接根據(jù)圖10先求出路的面積,再做減法;另一部分學(xué)生則通過(guò)平移操作得到圖11,發(fā)現(xiàn)剩下的面積就是除去路之后的長(zhǎng)方形面積,然后求得結(jié)果。顯然,第二種方法更加簡(jiǎn)潔,特別是在所修的路斜著(如圖12所示)時(shí)。

    此外,求三角形內(nèi)角和、平行四邊形等圖形的面積、圓柱等圖形的體積等,都離不開(kāi)讓圖形“動(dòng)”起來(lái)。

    最后需要指出的是,在信息技術(shù)不斷融入教育教學(xué)的當(dāng)下,圖形表征和圖形分析(尤其是圖形的拆分組合和運(yùn)動(dòng)變化等)都可以利用有關(guān)軟件來(lái)輔助,以實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)和高效。

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