小小中點，大有文章

八年級11班是我校八年級中的實驗班，學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，學(xué)習(xí)踏實、認真，基礎(chǔ)知識、基本的能力和方法掌握得都較好。但學(xué)生因為在實驗班，有較強的優(yōu)越感，對基礎(chǔ)知識和基本方法沒有足夠的重視，所以一些對能力有較強要求的題目處理起來又有些吃力。

在《四邊形》一章的章節(jié)測驗中，11班學(xué)生得分率最低的兩題都是關(guān)于中點的問題，而問題主要出在不能準確地添加輔助線解題。為了解決這個問題，我設(shè)計了這樣一節(jié)課“小小中點，大有文章”，目的以專題的形式，比較完整的強化有關(guān)中點的問題。

學(xué)生最早接觸“中點”是在七年級，線段中點的定義、三角形的中線。

在《四邊形》一章中，學(xué)生又學(xué)習(xí)到了三個關(guān)于中點的重要定理：“三角形中位線定理”“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”“梯形中位線定理”。以上定理都關(guān)系到一個很重要的點：中點。

與中點有關(guān)的問題一般都要做輔助線，構(gòu)造三角形中位線、直角三角形斜邊中線、中心對稱的三角形全等……所以有關(guān)中點的輔助線就成了學(xué)生面臨的一個難點。

為了解決學(xué)生的這一問題，我選取了近幾年中考和數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)的關(guān)于中點的題目，對初中幾何中三角形的特殊圖形、基本圖形進行歸納，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及主動思考的積極性，力爭使學(xué)生在解幾何綜合體和添加輔助線方面有所收獲和突破。以下就是我這一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計。

一、教學(xué)目標(biāo)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生在遇到有關(guān)中點問題時，學(xué)會構(gòu)造基本圖形，能夠比較順利地添加輔助線。

二、教學(xué)重難點

重點：學(xué)生見到有關(guān)中點的條件或問題能夠想到有關(guān)中點的基本圖形，再結(jié)合題目的其他條件，快速、準確地添加出輔助線。

難點：正確添加輔助線，構(gòu)造基本圖形

三、教學(xué)過程

教師活動：出示例題

《四邊形》一章已經(jīng)結(jié)束，在章節(jié)測驗中，有兩個題的得分率遠遠低于其他題目，分析后發(fā)現(xiàn)，這兩道題都涉及到了四邊形章節(jié)中的有關(guān)三角形的性質(zhì)：三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。

當(dāng)在復(fù)雜的幾何圖形中遇到中點問題時應(yīng)考慮到哪些基本圖形？

在以上的幾個基本圖形中，重點都在中點，既有數(shù)量上的一半關(guān)系，又在位置上涉及到平行，它起著傳遞角的位置關(guān)系和線段的數(shù)量關(guān)系的功能，在證明與計算中，都有著很廣泛的應(yīng)用。

解下列各題，并思考：見到中點，應(yīng)如何構(gòu)思輔助線？

1.如圖，一根長為2a的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻上，設(shè)木棍的中點為P，若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑動，在滑動的過程中OP的長度（ ）

A.減小 B.增大 C.不變 D.先減小后增大

第1題圖 第2題圖 第3題圖

2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A在x軸運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點O的最大距離為_________。

3.如圖，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F(xiàn)、G分別為BC、DE的中點，若ED=10，則FG的長為_____________。

4.（2012·黑龍江）如圖，在四邊形ABCD中，點P是對角線BD的中點，點E、F分別是AB、CD的中點，AD=BC，∠PEF=30°，則∠PFE的度數(shù)是________。

5.（2008·揚州）如圖，已知四邊形ABCD中，R，P分別是BC，CD上的點，E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點，當(dāng)點P在CD上從C向D移動而點R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（ ）

A.線段EF的長逐漸增大 B.線段EF的長逐漸減小

C.線段EF的長不變 D.線段EF的長與點P的位置有關(guān)

第4題圖 第5題圖 第6題圖

6.（2013·淄博）如圖，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC=10，則PQ的長為_______。

7.（2010·錦州）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分別是AB，AC的中點，D，E為BC上的點，連接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，則圖中陰影部分的面積為_________。

第7題圖

學(xué)生活動總結(jié)：小小中點，應(yīng)如何把握？思考曾經(jīng)遇到的與中點有關(guān)的內(nèi)容和基本圖形。

學(xué)習(xí)效果檢測

通過學(xué)習(xí)，學(xué)生基本能夠在見到中點的條件時反應(yīng)出已經(jīng)學(xué)過的幾個與中點有關(guān)的基本定理和基本圖形，并結(jié)合題目中的其他條件，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線。