利用“數(shù)形結(jié)合”思想解函數(shù)問題

著名的數(shù)學家華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休?！庇行┓彪y的代數(shù)題，若我們能借助于圖形的性質(zhì)，可以使許多抽象的概念及復雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、簡單化，從而探索出巧妙的解法。幾何問題比較直觀，代數(shù)問題比較抽象，抽象的代數(shù)問題一旦與幾何圖形結(jié)合就往往使問題簡便，易猜測結(jié)果。而且一些純代數(shù)問題結(jié)合圖形來解，顯得特別容易，“腦中有圖象，直觀又形象”。數(shù)形結(jié)合方法作為高中數(shù)學一種解題策略思想，能最直接揭示問題的本質(zhì)，直觀地看到問題的結(jié)果。

一、利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的定義域

面對求函數(shù)的定義域問題，有些人常常是顧此失彼，所以在看到題目后，首先的應(yīng)該把所有使函數(shù)有意義的條件列出，待求出所有滿足條件的解后用相應(yīng)的圖形表示出來，再逐一判斷，這樣才能盡量避免失誤，得出正確的答案。

例1：已知函數(shù)f（x）的定義域是[a，b]其中a<0b，求函數(shù)g（x）=f（x）+f（-x）的定義域。

分析：若g（x）的定義域為M，f（x）f（-x）的定義域分別為A、B，則有M=A∩B，利用數(shù)軸分析得知，陰影部分即為所求。如圖

解：∵函數(shù)f（x）的定義域為[a，b]

∴a≤x≤b

若使f（x）e有意義，必須有a≤-x≤b，即有-b≤x≤-a

∵a<0

又∵|a|>b>0 ∴.a<-b

∴函數(shù)g（x）的定義域{x|a≤x≤b}∩{x|-b≤x≤-a}={x|-b≤x≤b}

二、利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域

對于一些給了定義域求值域的函數(shù)，若只采用代數(shù)的方法思考問題，往往會太過于抽象或無從下手。但如果根據(jù)函數(shù)的定義，引入圖象，使所求的問題具體化，可從圖中一目了然，則達到事半功倍的效果。

例2：求函數(shù)y=|x+3|-|x+1|的值域。分析：就自變量x的范圍討論去掉絕對值，將函數(shù)表示為分段函數(shù)，畫出分段函數(shù)的圖象，由圖象即可得y的范圍

函數(shù)的圖象如圖，由圖象即可得y∈[-2，2]。

三、利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例3：設(shè)函數(shù)f（x）= x2-2|x|-1 （-3≤x≤3）.指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間并說明在各個區(qū)間上f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)。

解：當x≥0時，f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2

當x<0時，f（x）=x2+2x-1=（x+1）2-2

即

根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象，如圖

函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間為[-3，-1），[-1，0），[0，1）， [1，3]。

由圖形可看出函數(shù)在區(qū)間[-3，-1），[0，1）上為減函數(shù)，在區(qū)間 [-1，0），[1，3]上為增函數(shù)。

四、利用數(shù)形結(jié)合解與方程有關(guān)的問題

在考試大綱上，函數(shù)方程所涉及的不是一個具體的知識內(nèi)容，而是一種有指導性、帶全局性的數(shù)學思想。 因此，高考中的“函數(shù)方程考題”是跨考點、跨板塊、跨題型的、考查數(shù)學思想的深層試題。比如：

例4：方程sinx=lgx的實數(shù)根的個數(shù)是 （ ）.

A.1 B.2 C.3 D.大于3

分析： 如圖在同一直角坐標系內(nèi)分別 畫出函數(shù)y1=sinx和y2=lgx的圖象，

由于y2=y1=sinx≤1，所以當x大于10時兩個函數(shù)不可能有交點，即交點的橫坐標只能在10以內(nèi)，通過觀察易知兩個函數(shù)曲線相交有三個交點. 故選（C）

五、利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值

求函數(shù)的最值的類型題有很多種，例如：給出函數(shù)，根據(jù)其定義域求最值。這種題型與求函數(shù)的值域是相類似的，另一種類型的求最值的題型則是給出x，y所滿足的方程，再求另一個關(guān)于x，y的函數(shù)式的最值，我們常用數(shù)形結(jié)合來解這類問題，正確地作出圖像，必要時還要配合一定的計算。

例5：求函數(shù) 的最大值和最小值

分析：對于這種特殊的函數(shù)，應(yīng)注意觀察，利用其特殊的性質(zhì)，把函數(shù)看作是定點（-3，-2）與單位圓上的點P（cosx，sinx）連線的斜率。

解： 這可以看作是定點A（-3，-2）與單位圓上的點P（cosx，sinx）連線的斜率。因此，y的最值就是當直線AP與單位圓相切時的斜率。

∵單位圓x2+y2=1中斜率為k的切線方程為

由于該切線過點A（-3，-2），故-2=-3k±

∴

∴

。

六、利用數(shù)形結(jié)合解與不等式有關(guān)的問題

例6：

解析：

.

總之，“數(shù)”和“形”是高中數(shù)學學習的兩個基本對象，設(shè)法從“形”的角度去構(gòu)造直觀圖形來刻劃問題的條件和結(jié)論，能使錯綜復雜的關(guān)系變得清晰可辨，解題思路頓開。