論培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想對學生產(chǎn)生的作用

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學思想，也是一種重要的解題方法，數(shù)形結(jié)合思想就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形位置關(guān)系結(jié)合起來，使到抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化，同時也使抽象思維與形象思維有機結(jié)合起來，在平時的教學中對學生注重數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，可以對學生產(chǎn)生積極的作用。

一、培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，可以加強學生數(shù)學知識的素養(yǎng)和數(shù)學語言的表達能力，夯實數(shù)學基礎(chǔ)

幾何圖形是對數(shù)學概念、性質(zhì)、定理的充分體現(xiàn)，是數(shù)學語言的形象反映，同時數(shù)學概念是數(shù)學邏輯的起點，是學生認知的基礎(chǔ)，是學生數(shù)學思維的核心，因此學生的識圖能力的大小反映了他的數(shù)學基本功是否扎實，數(shù)學語言的敘述是否精辟。從孩子懂事起，家長或幼兒園老師教數(shù)字1、2、3……時，豎起一根手指念“1”，再豎起兩根手指念“2” ……，這其實就是最早接觸的數(shù)形結(jié)合思想。

例1，如圖1，在一條數(shù)軸上畫有一個點A，你能夠得到什么信息嗎？

分析：數(shù)軸有三要素，即原點、正方向、單位長度。根據(jù)圖形可以得出第一個信息：點A表示的數(shù)是2；由于點A到原點的距離是兩個單位長度，因此可以得出第二個信息：2的絕對值是2，即 。

圖1

二、培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，可以提高學生的分析問題和解決問題的能力

華羅庚先生說過：“數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，切莫急，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離。”所以數(shù)形結(jié)合思想作為中學數(shù)學中的一種重要思想，在平時的教學中要積極向?qū)W生展示，在平時的練習中要積極向?qū)W生演示，使學生通過多練習 、探究數(shù)與形之間的聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化，以形助數(shù)或以數(shù)解形。摸索一條利用數(shù)形結(jié)合解決問題的新思路，并通過歸納總結(jié)，形成規(guī)律性的知識，再指導實踐。

例2，不解方程組求以下二元一次方程組 的解。

這道題目剛一看到時，有的學生就納悶了，不解方程組（是指不用加減消元法、代入消元法去解）怎么去求解呢？想不出來了。其實這道題也可以利用數(shù)形結(jié)合進行解決。我們知道，方程組的解就是這兩個二元一方程的公共部分，即公共解，于是可以利用圖象法解，這兩條直線的交點（公共點）就是這個二元一次方程組的解。

先把這兩個二元一次方程分別用x的代數(shù)式表示y就是：y=-3x+2和 ，它們都是一次函數(shù)，把它們的圖象都畫在同一直角坐標上，如圖2

圖2

根據(jù)圖象可以發(fā)現(xiàn)，這兩條直線的交點坐標是（0，2），所以二元一次方程組的解是 。

上述例子，看上去復雜，但利用以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合去解決，就顯得很簡單，從而提高了學生分析問題和解決問題的能力。

三、培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想，可以發(fā)展學生的空間想象力，有利于增強學生抽象思維和形象思維的能力

在平時的課堂教學中，教師要通過例題或練習滲透數(shù)形結(jié)合的思想、開闊學生的視野，鍛練學生的思維，但更重要的是給學生更大的空間，讓學生養(yǎng)成自主探索、合作交流的學習習慣，增強對數(shù)形結(jié)合思維模式的認識，利用數(shù)形結(jié)合，為概念賦予圖形信息，逐漸體會圖形教學中對數(shù)學知識形成的意義，關(guān)注學生數(shù)形結(jié)合思維能力的提高，從而培養(yǎng)圖形與空間觀念的認識能力，同時教師幫助學生通過合理的引導，理解抽象的數(shù)，以數(shù)解形。只有經(jīng)過長期的有效的訓練，我相信學生就會形成很好的利用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題的習慣，從而增強學生的抽象思維和形象思維的能力，有助于拓展學生尋找解決問題的途徑。

例3，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點P（-2，1）和Q（1，m），當x為何值時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值？

分析：很多學生首先考慮根據(jù)已知條件不難求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式： 和y=-x-1，然后根據(jù)題意得到-x-1> ，但發(fā)現(xiàn)這不是一元一次不等式，結(jié)果解不下去了。

由于學生缺乏空間想象力，缺乏數(shù)形結(jié)合的思想，自然就想不到利用數(shù)形結(jié)合的方法進行解決。所謂以形助數(shù)，就是借助形的生動和直觀來闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，以形為手段，數(shù)為目的；以數(shù)助形就是借助數(shù)的簡潔性和概括性來提煉事物（圖形）的本質(zhì)，以數(shù)為手段，形為目的。首先利用已知條件分別求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式： 和y=-x-1，然后把這兩個函數(shù)的圖象在同一個平面直角坐標系中，如圖4：根據(jù)右圖可以發(fā)現(xiàn)，直線x=-2與x=0（即y軸）、直線x=1把平面分成四部分：在直線x=-2左側(cè)的部分、直線x=-2和直線x=0（即y軸）之間的部分、直線x=0（即y 軸）和直線x=1之間的部分、直線x=1右側(cè)的部分。

圖3

根據(jù)圖象可知，在直線x=-2的左側(cè)以及直線x=0（即y軸）和直線x=1之間，一次函數(shù)的圖象都在反比例函數(shù)的圖象的上方，所以一次函數(shù)的函數(shù)值都大于反比例函數(shù)的函數(shù)值，于是可以得到：當x<-2或0

依此類推，舉一反三：在直線 x=-2和直線x=0（即y軸）之間以及直線x=1右側(cè)，一次函數(shù)的圖象都在反比例函數(shù)的圖象的下方，所以一次函數(shù)的函數(shù)值都小于反比例函數(shù)的函數(shù)值，于是可以得到：當-21時，一次函數(shù)的函數(shù)值都小于反比例函數(shù)的函數(shù)值。

四、培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想，可以讓學生體會數(shù)學圖形的美

通過數(shù)形結(jié)合的思想，可以讓學生從直觀、形象的圖形入手，喚起學生對數(shù)學美的追求，數(shù)學本身就是一門美的科學，可以利用軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)、位似等方法使圖形煥發(fā)出不同的美，從而培養(yǎng)學生審美情趣，感受審美的體驗，提高審美意識和審美的能力，讓學生追求解題的藝術(shù)美，在感受圖形的美的同時，歸納和總結(jié)數(shù)學知識，從而激發(fā)學生學好數(shù)學的興趣。