舉重若輕

“等效法”是指在保證某種效果（特性和關(guān)系）相同的前提下，將實(shí)際的、復(fù)雜的物理問(wèn)題和物理過(guò)程轉(zhuǎn)化為等效的、簡(jiǎn)單的、易于研究的物理問(wèn)題和物理過(guò)程來(lái)研究和處理的思維方法.其目的是通過(guò)轉(zhuǎn)換思維活動(dòng)的作用對(duì)象來(lái)降低思維活動(dòng)的難度，它是物理學(xué)中常用的思維方法之一。在中學(xué)物理中，合力與分力、合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)、平均速度、重心、熱功當(dāng)量、總電阻與分電阻、交流電的平均值、有效值等都是根據(jù)等效概念引入的。

用等效法研究問(wèn)題時(shí)，并非指事物的各個(gè)方面效果都相同，而是強(qiáng)調(diào)某一方面的效果.因此一定要明確不同事物在什么條件、什么范圍、什么方面等效.在中學(xué)物理中，我們通?？梢园阉龅降牡刃Х譃椋何锢砹康牡刃?；運(yùn)動(dòng)模型的等效；過(guò)程模型的等效；對(duì)象模型的等效等.下面依次具體例說(shuō)。

一、物理量的等效

小到等效勁度系數(shù)、合力與分力、合速度與分速度、總電阻與分電阻等；大到等效場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)（如等效重力加速度）、等效勢(shì)能等，都涉及到物理量的等效.如果能將物理量等效觀點(diǎn)應(yīng)用到具體問(wèn)題中去，可以使分析和解答變得更為簡(jiǎn)捷.下面以最常見(jiàn)的“等效場(chǎng)、等效重力加速度”解法例談。

【例釋l】如圖1所示，ABCD為表示豎立放在場(chǎng)強(qiáng)為E=104V/m的水平勻強(qiáng)電場(chǎng)中的絕緣光滑軌道，其中軌道的BCD部分是半徑為R的半圓環(huán)，軌道的水平部分與半圓環(huán)相切A為水平軌道的一點(diǎn)，而且 把一質(zhì)量m=100g、帶電q=10-4C的小球，放在水平軌道的A點(diǎn)上面由靜止開(kāi)始被釋放后，在軌道的內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)。（g=10m/s2）求：

（1）它到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度是多大？

（2）它到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力是多大？

（3）小球所能獲得的最大動(dòng)能是多少？

（4）小球?qū)壍赖淖畲髩毫κ嵌啻螅?/p>

【思路剖析】（1）（2）問(wèn)很基礎(chǔ)，難度在（3）（4）問(wèn)。解決第（3）（4）問(wèn)的常規(guī)方法是“函數(shù)法”求極值，即在BC段上任取一位置P（OP連線與豎直方向夾角為θ），分別由動(dòng)能定理和牛頓第二定律得到在位置P處的動(dòng)能EK及支持力N與θ間的函數(shù)關(guān)系，再由數(shù)學(xué)分析求得極值點(diǎn)。此法傳統(tǒng)且繁瑣。改用“等效場(chǎng)、等效重力加速度”解法：

∵mg=qE=1N ∴合場(chǎng)的方向沿BC連線之中垂線OD，

合場(chǎng)等效重力加速度g’= =10 m/s2 ，等效勢(shì)能最低點(diǎn)在D，如圖所示，∴小球的最大動(dòng)能EKmax 及所受最大支持力N max均應(yīng)出現(xiàn)在D點(diǎn)。

【答案】（1） （2） （3） （4） N

二、運(yùn)動(dòng)模型的等效

由于合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)具有等效性，故我們可將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解成簡(jiǎn)單的規(guī)律熟悉的分運(yùn)動(dòng)等效處理。如平拋運(yùn)動(dòng)可看作是水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)?！靶〈^(guò)河”中小船的運(yùn)動(dòng)可以看作是沿水流的方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于河岸方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。

在計(jì)算大小不變方向變化的阻力做功時(shí)，如空氣阻力做功的時(shí)候，可以應(yīng)用公式W=fS，只是式中的S是路程而不是位移，不管物體的運(yùn)動(dòng)方向如何變，均可等效為恒力f作用下的單向直線運(yùn)動(dòng)，只有建立起等效的思維觀念，才能使學(xué)到的知識(shí)潛移默化，才能把學(xué)會(huì)的東西用活。

【例釋2】如圖甲，在x<0的空間中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一質(zhì)量為q（q>0）的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處，以初速度v0沿x軸正方向射人，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡見(jiàn)圖2甲，不計(jì)粒子的重力。

求該粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)=h時(shí)的速度大小v；

現(xiàn)只改變?nèi)松淞Ｗ映跛俣鹊拇笮?，發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運(yùn)動(dòng)軌跡

（y-x曲線）不同，但具有相同的空間周期性，如圖2乙所示；同時(shí)，這些粒子在y軸方向上的運(yùn)動(dòng)（y-t關(guān)系）是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且都有相同的周期 。

Ⅰ求粒子在一個(gè)周期 內(nèi)，沿 軸方向前進(jìn)的距離 ；

Ⅱ當(dāng)入射粒子的初速度大小為v0時(shí)，其y-t圖像如圖丙所示，求該粒子在y軸方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A，并寫(xiě)出y-t的函數(shù)表達(dá)式。

【思路剖析】這是2011年福建高考試題（1）問(wèn)很基礎(chǔ)，難度在（2）問(wèn)。解決（2）問(wèn)的重要思想是“運(yùn)動(dòng)模型的等效法”，方法是“化繁為簡(jiǎn)”——將此復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單的且規(guī)律已被自己熟悉掌握了的分運(yùn)動(dòng)。

【答案】（1）由動(dòng)能定理有 得

Ⅰ、所有粒子在一個(gè)周期T內(nèi)沿x軸方向前進(jìn)距離相同，即都等于恰好沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的粒子在T時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離。設(shè)粒子恰好沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小為v1，則有： ， ， ，故得

Ⅱ、設(shè)粒子在y方向上的最大位移為ym，此處粒子運(yùn)動(dòng)速度大小為v2（方向沿x軸），因?yàn)榱Ｗ釉趛方向上的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故在y=0和y=ym處粒子所受合力等值反向，則 ，又由動(dòng)能定理有 ，再 ，聯(lián)立解得 ，可寫(xiě)出y—t函數(shù)表達(dá)式為： 。

三、過(guò)程模型的等效

有些復(fù)雜的物理過(guò)程，我們可以用一種或幾種簡(jiǎn)單的物理過(guò)程來(lái)替代，這樣能夠簡(jiǎn)化、轉(zhuǎn)換、分解復(fù)雜問(wèn)題，能夠更加明確研究對(duì)象的物理本質(zhì)，以利于問(wèn)題的順利解決.如勻減速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的逆向思維法，重力、電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)，電荷在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，交變電流的平均值和有效值等.

【例釋3】如圖3所示，已知回旋加速器中，D形盒內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.5 T，盒的半徑R=60 cm，兩盒間隙d=1.0 cm，盒間電壓U=2.0×104 V，今將α粒子從近于間隙中心某點(diǎn)向D形盒內(nèi)以近似于零的初速度垂直B的方向射入，求粒子在加速器內(nèi)運(yùn)行的總時(shí)間.

【思路剖析】粒子運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為在盒內(nèi)磁場(chǎng)中的回旋時(shí)間與在盒間電場(chǎng)中加速時(shí)間之和。首先需求出粒子的出盒速度（即所獲最大速度）和每次歷經(jīng)盒間電場(chǎng)所獲動(dòng)能，從而求得在磁場(chǎng)中的回旋周數(shù)及在電場(chǎng)中的加速次數(shù)（注意回旋周數(shù)與加速次數(shù)的關(guān)系）。而在求電場(chǎng)中的加速時(shí)間時(shí)，因每次時(shí)間不等（且次數(shù)又多，分段算將十分繁瑣），我們可用“過(guò)程模型的等效法”——即將各段間隙等效“銜接”起來(lái)，展開(kāi)成一準(zhǔn)直線，則粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)就可視作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，從而簡(jiǎn)化模型、方便計(jì)算。

【答案】粒子在加速器內(nèi)運(yùn)行的總時(shí)間t=tB+tE，而tB=nT=n· = · = ，tE= ，且v0=0，vt= ， a= 得：tE= ，故得t=tB+tE= （ +d）=4.5×10-5×（0.94+0.01）s=4.3×10-5 s.

四、對(duì)象模型的等效

抓住效果相同這一關(guān)鍵點(diǎn)，將非理想模型等效為理想模型，陌生模型等效為熟悉模型。在解題過(guò)程中，我們應(yīng)用最多的、最典型的物理模型并不是很多，如衛(wèi)星模型、板塊模型、傳送帶模型、碰撞模型、彈簧振子模型、單擺模型等。

【例釋4】如圖4，一段導(dǎo)線abcd位于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，且與磁場(chǎng)方向（垂直于紙面向里）垂直。線段ab、bc和cd的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，且 。流經(jīng)導(dǎo)線的電流為I，方向如圖中箭頭所示。導(dǎo)線段abcd所受到的磁場(chǎng)的作用力的合力

A. 方向沿紙面向上，大小為

B. 方向沿紙面向上，大小為

C. 方向沿紙面向下，大小為

D. 方向沿紙面向下，大小為

【思路剖析】本題考查安培力的大小與方向的判斷.常規(guī)方法是分段求安培力再求合力，過(guò)程繁瑣。等效處理——“化曲為直”，該折導(dǎo)線與ad所連直導(dǎo)線（通以同樣電流）所受安培力等同，故等效長(zhǎng)度為 ，由安培定律可知其大小為 ，其方向可根據(jù)左手定則判斷.

【答案】A

【例釋5】如圖5示的甲、乙兩個(gè)電路中電源電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)電阻r已知，定值電阻R0已知，求：可變電阻R調(diào)至多大時(shí)，R上獲得的電功率最大，其最大值為多少？

【思路剖析】常規(guī)思路，據(jù)閉合電路歐姆定律及直流電路規(guī)律，寫(xiě)出R的功率表達(dá)式，由數(shù)學(xué)知識(shí)討論求解，繁雜易錯(cuò).

采用“等效法”，用虛線將電路隔離成左、右兩部分，左邊部分可以看作一個(gè)新電源，這種新電源又叫做等效電源.而虛線右邊部分即為新電源的外電阻R.如圖6示.

根據(jù)對(duì)E=U開(kāi)和I短=E/r可求得等效電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻。很容易求得（甲）圖等效電源的電動(dòng)勢(shì)為E′=E，內(nèi)www.ks5u.com

電阻r′=r+R0，對(duì)（乙）圖來(lái)說(shuō)，因?yàn)閁開(kāi)= ，I短=E/r ，故可求得等效電源的電動(dòng)勢(shì)為E′=U開(kāi)= E，而r′=E′/I短= 。這樣原來(lái)的甲乙電路就簡(jiǎn)化成了由等效電源（E′，r′）與電阻R連成的最簡(jiǎn)單電路.

【答案】由電源的輸出功率（即外電路上R獲得的電功率）與外電阻R的關(guān)系知，在（甲）圖中當(dāng)R=r′=r+R0時(shí)，R上獲得的電功率最大，其最大功率為Pm= = .對(duì)（乙）圖中當(dāng)R=r′= 時(shí)R上獲得的功率最大，最大功率為Pm= = =

【引申】實(shí)驗(yàn)：“伏安法”測(cè)電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻 誤差分析

在如圖7所示的兩種測(cè)量電路中，因電表內(nèi)阻影響會(huì)帶來(lái)系統(tǒng)誤差：圖甲因電壓表分流導(dǎo)致電流表示數(shù)小于干路電流的真實(shí)值，圖乙因電流表分壓導(dǎo)致電壓表示數(shù)小于路端電壓的真實(shí)值。

“等效法”分析，如圖8所示，將虛線所圍部分視為等效電源，由上述分析可知等效電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻分別為：甲圖E′= ，r′=

乙圖E′=E，r′=r+RA。故圖7中甲、乙兩圖實(shí)際測(cè)量的是等效電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻，甲圖中E測(cè)=E′< E真 = E ，r測(cè)=r′< r真 = r ，在乙圖中E測(cè)=E′= E真 = E ，r測(cè)=r′>r真 = r