基于模型思想下“問題解決”的教學(xué)探究

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》新增了“初步形成模型思想”，并指出“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”，明確了建立模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問題的核心。

那么，如何進行問題解決教學(xué)呢？ 問題解決教學(xué)是設(shè)計運用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動，它應(yīng)體現(xiàn)“問題情境——建立模型——求解驗證”的過程。下面筆者僅以主體成分基本結(jié)構(gòu)、教學(xué)策略兩個方面來談。

一、基于模型思想下“問題解決”的基本結(jié)構(gòu)

基本結(jié)構(gòu)：

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》新增了“初步形成模型思想”，并指出“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”，明確了建立模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問題的核心。

那么，如何進行問題解決教學(xué)呢？ 問題解決教學(xué)是設(shè)計運用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動，它應(yīng)體現(xiàn)“問題情境——建立模型——求解驗證”的過程。下面筆者僅以主體成分基本結(jié)構(gòu)、教學(xué)策略兩個方面來談。

一、基于模型思想下“問題解決”的基本結(jié)構(gòu)

基本結(jié)構(gòu)：

具體教學(xué)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，感知模型；探究新知，構(gòu)建模型；研究模型，形成新知；運用模型，解決問題；總結(jié)延伸，深化目標(biāo)。

與以往的應(yīng)用題教學(xué)過于簡單的結(jié)構(gòu)“呈現(xiàn)題目→分析數(shù)量關(guān)系→列式計算→訓(xùn)練技能”相比，這樣的課堂結(jié)構(gòu)“有利于理解和掌握相關(guān)的知識技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動經(jīng)驗”“有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”。

二、基于模型思想下“問題解決”的教學(xué)策略

如何圍繞課堂教學(xué)選取典型素材激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，以潤物細無聲的形式滲透模型思想，積累建模經(jīng)驗以及增強用模意識呢？現(xiàn)以“雞兔同籠”案例進行說明。

策略之一：關(guān)注內(nèi)涵，感悟模型思想

我們首先要關(guān)注每一具體的“問題解決”教學(xué)內(nèi)容中所蘊含著的“模型思想”。思考：應(yīng)該建立怎樣的“模型”？如何建立“模型”？所建的“模型”和建模的過程對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有怎樣的影響？這些正是“問題解決”的關(guān)鍵性問題。

如教學(xué)“雞兔同籠”問題時，我們應(yīng)該深挖教材內(nèi)涵，領(lǐng)悟 “雞兔同籠”隱藏著“模型”思想。應(yīng)從三個層次給予關(guān)注：一是內(nèi)容，即“雞兔同籠”題型的結(jié)構(gòu)特征；二是方法，即“假設(shè)法”和方程法的一般解題思路；三是思想，即解決“雞兔同籠”問題的“思維方法”及其蘊含著數(shù)學(xué)建模思想，并將它進行拓展應(yīng)用。學(xué)習(xí)“雞兔同籠”，最終目標(biāo)并不僅僅是會解答一道“雞兔同籠”題目，而更要提煉它的數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。有了這樣的思考與認(rèn)識，我們除了引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教學(xué)內(nèi)容外，更要重視題目的類型、結(jié)構(gòu)和類比運用，用系統(tǒng)和發(fā)展的眼光來看待它的數(shù)學(xué)價值

策略之二：引導(dǎo)探索，積累建模經(jīng)驗

建模需要一個過程，在這個過程中，教師應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生“通過獨立思考、合作交流，逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、感悟數(shù)學(xué)思想”。

比如，我們曾以“雞兔同籠”為例進行過引導(dǎo)學(xué)生建模的嘗試：讓學(xué)生先根據(jù)“從上面數(shù)，有8個頭?！辈孪搿半u和兔各有幾只？”再根據(jù)“從下面數(shù)，有26只腳?！眮砭唧w驗證。在猜想不對時，學(xué)生自我反思：“如果總腳數(shù)猜多了，就要多猜雞少猜兔的只數(shù)；如果總腳數(shù)猜少了，就要多猜兔少猜雞的只數(shù)?！笨梢姡皵?shù)學(xué)事實首先是被猜想，然后是被證實”。

從“假設(shè)”的角度，教材引導(dǎo)學(xué)生這樣想：（1）如果籠子里都是雞，那么就有8×2=16只腳，這樣就多出26-16=10只腳。（2）一只兔比一只雞多2只腳，也就是有10÷2=5只兔。（3）所以籠子里有3只雞，5只兔。此時，學(xué)生自然還會聯(lián)想：如果籠子里都是兔，那么就有8×4=32只腳，這樣就少出32-26=6只腳。一只雞比一只兔少2只腳，也就是有6÷2=3只雞。所以籠子里有3只雞，5只兔。于是，水到渠成歸納出：雞的只數(shù)=（頭的總個數(shù)×4-腳的總只數(shù)）÷（4-2），兔的只數(shù)=（腳的總只數(shù)-頭的總個數(shù)×2）÷（4-2）。運用這個數(shù)學(xué)模型，可以便捷地解決類似有關(guān)的“雞兔同籠”問題?？梢姡僭O(shè)建模的思想方法的運用，不僅為解決問題開辟了新的途徑，更培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。

通過以上如何建立模型的分析，讓學(xué)生體驗到解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。特別巧用假設(shè)建模的方法解決雞兔同籠的問題令人稱奇、耳目一新的感覺。

策略之三：拓展模型，增強用模意識

成功地建立一個數(shù)學(xué)模型以后，還需要應(yīng)用這個數(shù)學(xué)模型來解決生活中的實際問題，使學(xué)生進一步體會“模型”的思想與方法在生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的方法對解決實際問題的巨大作用，從而增強用模意識。

我們再以“雞兔同籠”為例，在學(xué)生初步能用不同的假設(shè)思路（列舉、替換等也可以看作“假設(shè)”）以及方程法解決雞兔同籠的題目后，繼續(xù)研究“龜鶴同游”和“人馬問題”。經(jīng)過研究和類比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“雞兔同籠”不只是代表著雞、兔同籠的問題，有許多相類似的問題都可以看成“雞兔同籠”問題，如租船問題、輪子問題（汽車和自行車）、投籃問題、吃饅頭問題（大小和尚）等。再研究“錢包里放著5元和2元的鈔票，共10張，38元，5元和2元的鈔票各有幾張呢？”研討其與“雞兔同籠”關(guān)聯(lián)性。經(jīng)過猜想與類比，學(xué)生的認(rèn)識水平再次飛躍：“這里的2元的鈔票就相當(dāng)于雞有2只腳，而5元的鈔票就相當(dāng)于5只腳的兔”。最后，與生活實際聯(lián)系起來，讓學(xué)生編成“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)問題并解答。如“小敏和媽媽恰好花100元買了10本書，有8元一本的和13元一本的兩種。其中8元一本的和13元一本的各買了幾本？”

通過這些練習(xí)，學(xué)生感受到“雞兔同籠”問題的學(xué)習(xí)，貴在學(xué)習(xí)一種假設(shè)推理與代數(shù)方程的思想方法，貴在用來解決生活中類似于雞兔同籠的變式問題，拓展了其對“雞兔同籠”問題的認(rèn)識，構(gòu)建了該類問題的數(shù)學(xué)模型，形成了遷移類推或舉一反三的能力，使學(xué)生終身受益。

當(dāng)然，要使學(xué)生能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法解決問題，需要經(jīng)歷一個長期的、不斷積累經(jīng)驗、不斷深化的過程。教師需要在教學(xué)實踐中，讓學(xué)生親身經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗證”的過程，反復(fù)滲透模型思想方法，同時，重視數(shù)學(xué)模型的運用，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型來描述身邊的自然或社會現(xiàn)象。同時，教師只有長期有計劃、有步驟地分步實施，才能收到預(yù)期的效果。