中法兩國數(shù)學(xué)教育差異之我見

劉立漢

【摘要】中國和法國數(shù)學(xué)在教學(xué)方法、手段、解題要求及考試要求上有很多的不同，從中法數(shù)學(xué)在教學(xué)方法、手段、解題要求及考試要求的差異探討兩國數(shù)學(xué)教育之別.

【關(guān)鍵詞】中國；法國； 數(shù)學(xué)教育；差異

數(shù)學(xué)在法國教育中具有舉足輕重的地位（見[1][2]），而中國與法國數(shù)學(xué)教育有很多的不同， 下面我就簡單談?wù)勚蟹▋蓢鴶?shù)學(xué)教育的幾點(diǎn)差異：

一、教學(xué)方法、手段不同

我國中學(xué)通過題海戰(zhàn)術(shù)， 讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)初等數(shù)學(xué)中的一些技能， 比如幾何的輔助線、三角函數(shù)降冪公式、倍角公式等.而法國中學(xué)會強(qiáng)調(diào)一些空間知識， 比如把長度的概念拓展成“模”， 初步引入其他空間的三角不等式之類， 略顯抽象.多記憶一些結(jié)論之后， 乍一看起來我們的中學(xué)生比法國要多一些“形式運(yùn)算”的數(shù)學(xué)技能， 但這些技能在高考后會被迅速忘卻， 這方面的優(yōu)勢沒了， 抽象思維能力的劣勢還在， “形式運(yùn)算”的習(xí)慣還在， 于是很多新生一進(jìn)大學(xué)都覺得高等數(shù)學(xué)很難.

同時， 我國中學(xué)的教育沒有展示數(shù)學(xué)優(yōu)美的一面.無盡的題海使學(xué)生厭倦或者恐懼.進(jìn)入大學(xué)之后由于沒有了高三那樣的壓力， 學(xué)生逃避或抵觸高等思維、高等工具已成必然.而反觀法國， 已有概念在新的空間的推廣， 前后的相似之處、聯(lián)系和區(qū)別， 更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).

再者， 我國對于教材中的定義、定理和概念的來源、產(chǎn)生背景等不去做過多的探求， 也不探求這些知識在生產(chǎn)實(shí)際中有什么用， 及如何運(yùn)用所掌握的知識去發(fā)現(xiàn)、分析和解決新問題.我國重視計算技能， 傳統(tǒng)偏重于把數(shù)學(xué)作為一項“技藝”來學(xué)， 甚至存在把計算作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容的現(xiàn)象.但計算如果不和解決問題的原理、方法等結(jié)合來學(xué)， 最多只能學(xué)到一些機(jī)械的技術(shù)性操作， 卻不知用在何處.另外， 我國總是按照定義—定理—推論—習(xí)題的邏輯順序展開， 學(xué)生只是被動地接受一個一個概念， 卻不知道為什么要這樣做.而法國數(shù)學(xué)邏輯性很強(qiáng)， 每一步都知道為什么要這么做.

二、解題要求及考試要求不同

我國培養(yǎng)的解決簡單問題的熟練度， 優(yōu)秀學(xué)生也只是解決簡單問題的熟練度比較高而已， 我們在一些常見的簡單問題上有很多結(jié)論， 要求學(xué)生背下， 對這些結(jié)論的熟練與否決定了學(xué)生考試成績的高低.我們長期以來“背結(jié)論”式的教育， 扼殺了學(xué)生的推理能力， 使得學(xué)生過分依賴結(jié)論.而法國數(shù)學(xué)要求每一步過程都必須有嚴(yán)格的推理依據(jù).另外， 我國數(shù)學(xué)考試是考難度、考計算、重結(jié)果， 法國數(shù)學(xué)考試是考廣度、考推理、考過程.也許結(jié)果是對的， 但過程不詳細(xì)或推理不嚴(yán)謹(jǐn)， 最終所得的分?jǐn)?shù)也不高.比如：

例1 求極限limx→1

x≠1-3x2-1+2x2-1.

按法國數(shù)學(xué)的要求， 解題過程如下：

x≠1，

-3x3-1+2x2-1=-3（x-1）（x2+x+1）+2（x-1）（x+1）

=-3（x+1）+2（x2+x+1）（x-1）（x2+x+1）（x+1）

=2x2-x-1（x-1）（x2+x+1）（x+1）

=（2x+1）（x-1）（x-1）（x2+x+1）（x+1）

=（2x+1）（x2+x+1）（x+1）（x≠1，x-1≠0）.

由常用極限limx→1

x≠11=1和極限的運(yùn)算法則limx→1

x≠1x=1， 又由函數(shù)極限的運(yùn)算法則可知：

limx→1

x≠1x2=limx→1

x≠1（x）2=12=1.

再由函數(shù)極限的運(yùn)算法則知：

limx→1

x≠1[（x2+x+1）（x+1）]=lim（x→1

x≠1x2+x+1）·limx→1

x≠1（x+1）

=（limx→1

x≠1x2+limx→1

x≠1x+limx→1

x≠11）·（limx→1

x≠1x+limx→1

x≠11）

=（1+1+1）·（1+1）

=6≠0

于是， 由函數(shù)極限的運(yùn)算法則知：

limx→1

x≠1-3x2-1+2x2-1存在， 并且

limx→1

x≠1-3x2-1+2x2-1=limx→1

x≠12x+1（x2+x+1）（x+1）

=limx→1

x≠1（2x+1）limx→1

x≠1[（x2+x+1）（x+1）]

=limx→1

x≠12x+limx→1

x≠11limx→1

x≠1[（x2+x+1）（x+1）]

=2limx→1

x≠1x+limx→1

x≠11limx→1

x≠1[（x2+x+1）（x+1）]

=2×1+16=36=12.

所以， limx→1

x≠1-3x2-1+2x2-1=12.

而按我國數(shù)學(xué)的要求， 解題過程如下（見[3][4][5][6]）：

limx→1-3x2-1+2x2-1=limx→12x+1（x2+x+1）（x+1）=2×1+1（12+1+1）（1+1）=12.

通過這個例子可以看到， 我國的解題過程明顯比法國的解題過程簡略， 法國數(shù)學(xué)出現(xiàn)分式， 一定要考慮分母是否為0， 求極限時首先判斷極限是否存在， 然后才能求極限， 否則他們認(rèn)為是不合法的.同樣在判斷極限存在時， 又要交代清楚為什么存在， 在整個過程中每一步都要有依據(jù).再者， 法國對計算的最終結(jié)論一定要畫框， 否則他們認(rèn)為你還沒有完成.

例2 設(shè)g是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)， 定義如下：g（x）=（1-x）ex， 求函數(shù)g的單調(diào)區(qū)間.

按法國數(shù)學(xué)的要求， 解題過程如下：

函數(shù)g的定義域是R.因?yàn)楹瘮?shù)x→1， x→x和x→ex都在R上可導(dǎo)且（x→1）′=（x→0）， （x→x）′=（x→1）， （x→ex）′=（x→ex）.由函數(shù)的求導(dǎo)法則知， 函數(shù)g在R上可導(dǎo)， 其導(dǎo)函數(shù)為

x∈R， g′（x）=（-1）·ex+（1-x）·ex=-xex.

于是，

g′（x）=0-xex=0x=0.

g（0）=（1-0）×e0=（1-0）×1=1.

g′（x）<0-xex<0x>0.

g′（x）>0-xex>0x<0.

函數(shù)g是初等函數(shù)， 故在其定義區(qū)間R上都連續(xù).由導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可知，函數(shù)g在區(qū)間（-∞，0]上嚴(yán)格單調(diào)遞增， 在區(qū)間[0，+∞）上嚴(yán)格單調(diào)遞減.

設(shè)x≠0， 我們有g(shù)（x）=（1-x）ex=xex（1x-1）.

由常用極限limx→+∞1x=0和函數(shù)極限的運(yùn)算法則可知：

limx→+∞1x-1=limx→+∞1x-limx→+∞1=0-1=-1.

又因?yàn)閘imx→+∞x=+∞和limx→+∞ex=+∞， 所以當(dāng)x→+∞時，xex（1x-1）→-∞， 即limx→+∞g（x）=-∞.

令y=-x， 則x→-∞，當(dāng)且僅當(dāng)y→+∞， xex=-ye-y=-yey.

由比較增長率知， limy→+∞yey=0， 利用常用極限limx→-∞ex=0和函數(shù)極限的運(yùn)算法則可得：

limx→-∞g（x）=limx→-∞[（1-x）ex]=limx→-∞ex-limx→-∞（xex）=0+limy→+∞yey=0+0=0.

綜合上述， 我們得到下表：

而按我國數(shù)學(xué)的要求， 解題過程如下（見[3][4][5][6]）：

函數(shù)g（x）的定義域是R，

g′（x）=（-1）·ex+（1-x）·ex=-xex.

于是，

g′（x）=0-xex=0x=0.

g′（x）<0-xex<0x>0.

g′（x）>0-xex>0x<0.

所以， 函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0）上嚴(yán)格單調(diào)遞增， 在區(qū)間（0，+∞）上嚴(yán)格單調(diào)遞減.

通過這個例子可以看到， 我國的解題過程同樣明顯比法國的解題過程簡略， 法國數(shù)學(xué)求單調(diào)區(qū)間時最終結(jié)果顯示在一張表上，看起來是非常顯然的，同樣在整個過程中每一步都要有依據(jù).

當(dāng)然， 這樣的差別還有很多很多.