立足課本多思考 深入探究多驚喜

姜燕君 蔣珊珊

課本是學生知識資源的依據(jù)，課本中的例題、習題是學生務必要掌握的.因此考慮到教學的階段性要求，課本中的例題一般或體現(xiàn)某個定理的應用，或體現(xiàn)某種解題的思想方法，具有基礎性和示范性.因此，適時、適度地對課本例題進行拓展探究，值得提倡.通過拓展探究，建立聯(lián)系，整合知識，提煉思想方法，有利于學生開闊視野，學會借鑒，學會欣賞，激活其思維發(fā)散.本人就蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學》選修2-1第二章拋物線中的習題來具體談談如何探究拓展的.

題目：設過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的一條直線和此拋物線有兩個交點，且兩個交點的縱坐標分別為y1，y2，求證：y1y2=-p2.

一、拓展解法

發(fā)展學生思維能力是數(shù)學教學的一項中心任務，也是素質(zhì)教育的要求.思維品質(zhì)的培養(yǎng)是發(fā)展學生思維能力的突破口.因此，在教學中適時安排一題多解的教學，對培養(yǎng)學生思維品質(zhì)很有效果.

分析 聯(lián)立方程組、設而不求是解決兩曲線交點問題的重要思想方法，教學中要讓學生深刻體會到這一思想方法的重要性和普遍性，并能靈活運用.交點在曲線上，可以使交點坐標二元一元化，消元往往能使復雜的問題得到簡化.

證明 設兩個交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.

方法一 若直線AB的斜率不存在，則Ap2，p，Bp2，-p，∴y1y2=-p2；

若直線AB的斜率存在，可設直線為：y=kx-p2，

由y=kx-p2

y2=2px可得k2py2-y-kp2=0，∴y1y2=-p2.

綜上兩種情況可得：y1y2=-p2.

方法二 由于直線與拋物線恒有兩交點，故斜率不為0，可設直線為：x-p2=my.

由x-p2=my

y2=2px可得y2-2mpy-p2=0，∴y1y2=-p2.

方法三 設Ay212p，y1，By222p，y2，由A，F(xiàn)，B三點共線可得kAF=kBF，即y1y212p-p2=y2y222p-p2，

化簡得y2-y1y1y2+p2=0.

又∵y2≠y1，∴y1y2=-p2.

二、拓展題目

在教學過程中如何讓學生解一題，就能懂得一類題，做到觸類旁通呢？這不但要求教師精心選題，更重要的是如何利用該題鼓勵學生嘗試更多的變題，這樣才能讓學生對這類題掌握得更牢固，跳出題海戰(zhàn)役.

原題探究：

引導學生進一步猜想、探究，得到了以下的結(jié)論：

（1）x1x2=p24；

（2）以AB為直徑的圓與準線相切；

（3）以AF為直徑的圓與y軸相切；

（4）|AB|=x1+x2+p=2psin2θθ為傾斜角 ；

（5）1AF+1BF=2p；

（6）設AB的中點為M，A，B，M在準線上的射影為A1，B1，M1，則：（1）A1F⊥B1F；（2）A1，O，B三點共線.

變題探究：

（1）過拋物線y2=2px（p>0）的焦點的一條直線和此拋物線相交于A，B兩點，連接BO并延長交準線于A1，則A1O平行于x軸.

（2）過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F作兩條互相垂直的直線交準線于A1，B1，過A1，B1作x軸的平行線，交拋物線于A，B兩點，則A，F(xiàn)，B三點共線.

（3）過拋物線焦點弦的兩個端點分別作拋物線的切線，兩切線的交點軌跡是拋物線的準線.

證明 設拋物線為y2=2px（p>0），

兩端點為A（x1，y1），B（x2，y2），交點為P（x，y）.

過A點的切線為：y-y1=py1y212p-x1，

過B點的切線為：y-y2=py2y222p-x2，

得兩切線的交點坐標：Py1y22p，y1+y22.

又∵y1y2=-p2，∴x=-p2.

∴P點軌跡為x=-p2.

逆命題：由拋物線準線上任一點P分別作拋物線的兩切線，切點的連線段是拋物線的焦點弦.

（4）已知P是拋物線x2=4y上的動點，F(xiàn)是焦點，求|FA|的最小值.

（5）一酒杯的軸截面是拋物線的一部分，其標準方程是x2=2y（0≤y≤20），在杯內(nèi)放入一玻璃球，要使球觸及酒杯底部，那么玻璃球的半徑r應滿足什么條件？

（6）已知過拋物線y2=2px（p>0）焦點的弦為AB，求|AB|的最小值.

（7）已知拋物線y2=2px（p>0）的弦AB的長為2p，求證：AB過定點.

類比探究：

在橢圓中： （1）以焦點弦為直徑的圓與準線相離.

（2）以焦半徑為直徑的圓與以原點為圓心、a為半徑的圓內(nèi)切.

在雙曲線中：（1）以焦點弦為直徑的圓與準線相交.

（2）以焦半徑為直徑的圓與以原點為圓心、a為半徑的圓內(nèi)切或外切.

三、拓展體驗

在一題多解的拓展中，學生可以看到不同人思維的差異并從別人的思維中獲得啟迪，還可以看到建立在獨立思考基礎上的合作交流的重大意義.在一題多用、一題多變的拓展中，學生看到了多題一法，特殊與一般的關(guān)系.在拓展的過程中，學生們的情感體驗也在變化：或感嘆于我怎么沒有想到，或驚訝數(shù)學的神奇，或陶醉于心理的積極暗示——下一次，我也要多想想、多試試、多動動.這樣的拓展不但對已有的資源有更充分的利用，對學生的探究意識和能力的形成具有更大的促進作用.因此，教師要充分挖掘教材中例、習題的教學價值，培養(yǎng)學生在探究中發(fā)現(xiàn)、在探究中創(chuàng)造的能力，只有處于這種“樂于探究、主動參與、勤于動手”的課堂氛圍下，學生的創(chuàng)造性思維能力才能真正得到發(fā)展，才能給我們的學生一雙用數(shù)學視角觀察世界的眼睛，一個能用數(shù)學思維思考世界的頭腦！