淺談?wù)w思維在解題中的應(yīng)用

孫少華

摘 要：數(shù)學(xué)整體化思想方法要求教師在數(shù)學(xué)解題過程中把所研究的對象作為一個整體來對待，從全局看問題，從整體去思考，整體地把握條件和結(jié)論的聯(lián)系。整體化思想是解決數(shù)學(xué)問題的思維方法，掌握整體化思想方法有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力和發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的整體化思路，尋求潛在規(guī)律，用整體化思想去解決數(shù)學(xué)問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；整體化思想；問題解決

研究某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往不是以問題的某個組成部分為著眼點(diǎn)，而是有意識放大觀察問題的視角，將要解決的問題看做一個整體，通過研究問題的整體形狀、整體結(jié)構(gòu)或做種種整體處理后，達(dá)到順利而又簡捷地解決問題的目的。整體化思想作為一種重要的解題策略，對學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力有著積極的意義。

一、整體代入

根據(jù)已知條件求代數(shù)式的值，有時(shí)直接代入求值極不方便，若把已知條件經(jīng)過變形視作一個“整體”直接代入，就能避免局部運(yùn)算的麻煩和困難。

例1.已知x2-5x-1=0，求■的值。

分析：如果從方程x2-5x-1=0中解出兩個不等無理根，再代入求值，計(jì)算復(fù)雜，現(xiàn)考慮5x+1=x2和x2-5x-1=0分別視作整體代入，則問題可化繁為簡。

解：由x2-5x-1=0得x2=5x+1

■=■=■

=■=■=■=4

二、整體變形

把某一個問題看做一個整體的同時(shí)，還要對這個整體進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，才能使問題順利獲解。

例2.已知x+y-2=0，2y2-y-4=0，求y-■的值。

解：條件式變形為x=2-y，y2=■y+2

所求式變形為：y-■=■=■=■

三、整體求解

在解方程時(shí)，可以把幾個未知數(shù)作為一個整體考慮，這樣就能避開非必求部分，從而簡化解題過程。

例3.有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；購甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元，現(xiàn)在購甲、乙、丙各1件，共需多少元？

分析：考慮分別求甲、乙、丙各一件的價(jià)格比較困難，可把甲、乙、丙一件的總錢數(shù)看做一個整體，然后從整體上求解。

解：設(shè)購甲、乙、丙各1件分別需x元、y元、z元

則依題意得：3x+7y+z=3.154x+10y+z=4.20

問題就是求x+y+z=？

設(shè)x+y+z=m（3x+7y+z）+n（4x+10y+z）

=（3m+4n）x+（7m+10n）y+（m+n）z

∴3m+4n=17m+10=1 ？圯 m+n=1m=3n=-2

x+y+z=3（3x+7y+z）-2（4x+10y+z）=3×3.15-2×4.20=1.05

四、整體求和

有些數(shù)學(xué)問題，分別討論需考慮多種情況，若整體求和，就可避免分類討論。

例4.a、b、c是常數(shù)實(shí)數(shù)，x，y為任意實(shí)數(shù)

設(shè)A=（a-b）x+（b-c）y+（c-a）

B=（b-c）x+（c-a）y+（a-b）

C=（c-a）x+（a-b）y+（b-c）

求證：A、B、C不能都是正數(shù)，也不能都是負(fù)數(shù)。

分析與簡解：若想分開討論，則須分一正二負(fù)或一負(fù)二正兩種情況，而x，y為變量，且a、b、c的大小關(guān)系不明確，難以下手。如果用整體求和，易知A+B+C=0，而A、B、C均為實(shí)數(shù)，便立即得出A、B、C不能都是正數(shù)，也不能都是負(fù)數(shù)。

五、整體求積

利用三個正數(shù)a、b、c，若abc≤k，則a、b、c中至少有一個小于等于■，解題思路簡捷。

例5.已知0

求證：a（1-c）、b（1-a）、c（1-b）、中至少有一個小于等于■

分析與簡證：對a（1-c）、b（1-a）、c（1-b）逐一考查條件難以用上，轉(zhuǎn)而整體求積，則可得到解題途徑。

∵a（1-a）=-a2+a=-（a-■）2+■且0

∴0

同理0

∴a（1-b）b（1-c）c（1-a）=a（1-a）b（1-b）c（1-c）≤（■）3

故a（1-b）、b（1-c）、c（1-a）中至少有一個小于等于■。

通過以上幾例，我們不難看出，運(yùn)用整體思維解題，應(yīng)注意從全局著眼，全面系統(tǒng)地觀察分析整體與局部，整體與結(jié)構(gòu)的關(guān)系，從而準(zhǔn)確地把握問題的本質(zhì)，化繁為簡，化難為易，出奇制勝。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐高龍.整體化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用及教學(xué)對策.新課程研究，2011（8）.

[2]鄭敏信.數(shù)學(xué)方法論入門.浙江教育出版社，2006-03.

[3]李鴻.強(qiáng)化整體化思想運(yùn)用，提高數(shù)學(xué)解題能力.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，1994（2）.

（作者單位 青海省大通回族女子中學(xué)）

編輯 楊兆東