激光束照射鏡面圓柱體產(chǎn)生圓錐曲線的研究

陳姚佳

摘 要：激光束照射在鏡面圓柱上會(huì)產(chǎn)生奇妙的光帶。本文通過(guò)物理建模和數(shù)學(xué)證明發(fā)現(xiàn)這些光帶的形狀為圓錐曲線，并通過(guò)設(shè)計(jì)裝置對(duì)證明結(jié)果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，最后給出這種現(xiàn)象潛在的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：激光束；鏡面圓柱；圓錐曲線；離心率；實(shí)驗(yàn)裝置

上課時(shí)，從老師激光筆發(fā)出的光束無(wú)意中照在具有鏡面圓柱的金屬教鞭上，竟然在黑板上反射出一條漂亮光滑的曲線光帶。這一奇妙的物理現(xiàn)象（如圖1所示）引起了我的好奇。我反復(fù)做了多次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)通過(guò)調(diào)整激光的入射角度或者改變具有鏡面圓柱的天線（或小不銹鋼針）與墻壁所成的角度，可以改變反射到墻壁上的曲線光帶的形狀，而且這些光帶具有一定的變化規(guī)律。這些發(fā)現(xiàn)引起我極大的興趣，于是想探究產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因。

一、 物理建模與數(shù)學(xué)證明

為了研究上述現(xiàn)象，我首先將研究對(duì)象確定為：當(dāng)激光束垂直于反射投影面時(shí)，激光束照射到鏡面圓柱側(cè)面所產(chǎn)生的典型光帶形狀。同時(shí)利用光反射的物理定律，即激光束沿直線傳播，其照射的鏡面圓柱側(cè)面可視為許多小鏡面。然后，采用高中數(shù)學(xué)中立體幾何等知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)證明。

假設(shè)激光線束MA垂直于投影平面照射在點(diǎn)C（如圖2所示），同時(shí)射到鋼針JI的點(diǎn)A上，MA與JI所成的夾角為α，直線JI與平面π相交于點(diǎn)B。易知若圓柱的外側(cè)面為鏡面，一束光線在其外側(cè)面上進(jìn)行反射，則反射光線與圓柱的軸所成的夾角等于入射光線與該圓柱的軸所成的夾角。于是激光束的反射光線可視為經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)A形成了一個(gè)圓錐面Ω，在平面π與圓錐面Ω圍成的幾何體內(nèi)作一個(gè)球O，使得它與圓錐面相切于圓R且與平面相切與點(diǎn)D，記圓R所在平面為平面π′，圓錐面Ω與平面π相交所得的軌跡是一條曲線Γ，平面π與平面π′交于直線m。直線AB為圓錐面Ω的軸，直線BD的延長(zhǎng)線與平面π′交于點(diǎn)G，平面ABD與圓錐面Ω相交于射線AE和射線AF，點(diǎn)E和點(diǎn)F都在平面π′上。顯然，直線GE是直線GD在平面π′內(nèi)的射影并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)R?！螩GE是平面π與平面π′所成的二面角之平面角。設(shè)直線AF與平面所成夾角大小為β，顯然0°<β<90°，且∠AFR =∠CEG=β。由幾何光學(xué)知識(shí)可知∠CAB=∠MAJ =∠BAF=α。于是得到α+β=90°。這樣就可以在直角三角形CEG中，∠CGE=α。

從上述數(shù)學(xué)證明可得到如下結(jié)論：（1） 當(dāng)入射激光MA與鏡面圓柱鋼針JI所成的夾角為α?xí)r，在垂直激光光束的反射投影面上所產(chǎn)生光帶曲線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離之比是定值。根據(jù)圓錐曲線第二定義，可推出這些光帶曲線為圓錐曲線。（2） 從上述數(shù)學(xué)證明，我們得到圓錐曲線的光帶形狀是受到離心率的控制，e=tanα給出了α角與所顯示的圓錐曲線離心率e的定量關(guān)系。當(dāng)α<π/4時(shí)，Γ為一條橢圓曲線；當(dāng)α=π/4時(shí)，Γ是一條拋物線；當(dāng)α>π/4時(shí)，Γ變成雙曲線的一支。通過(guò)改變?nèi)肷浼す馀c小鋼針的夾角α，可以獲得橢圓、拋物線和雙曲線的光帶。

二、裝置設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)公式e=tanα，經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考和多次改進(jìn)，依據(jù)圖3實(shí)驗(yàn)原理圖（a），我設(shè)計(jì)并制作了如圖3（b）所示的實(shí)驗(yàn)裝置。該裝置由激光筆、反射效果好的不銹鋼圓柱鋼針、底座、固定支架、有刻度的轉(zhuǎn)盤、水平儀等組成。該裝置操作方便，可直接讀出夾角α和圓錐曲線的離心率e。實(shí)驗(yàn)中我發(fā)現(xiàn)圓柱鋼針的軸線應(yīng)平行于水平面，并使激光發(fā)射點(diǎn)的圓形小孔直徑不大于圓柱鋼針的直徑。我還設(shè)計(jì)如圖3（c）所所示的刻度表盤，該旋轉(zhuǎn)圓盤上不僅可指示夾角α，還可直觀讀出離心率為e的大小。當(dāng)激光筆發(fā)出的激光束射到圓柱鋼針時(shí)，通過(guò)改變轉(zhuǎn)盤的角度可以準(zhǔn)確控制所反射出來(lái)的圓錐曲線的離心率，在與激光束垂直的投影面（如墻壁、白板或黑板）投射出不同形狀的圓錐曲線。

在實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)圓盤的角度以控制α的大小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，其與理論推導(dǎo)與計(jì)算結(jié)果吻合。

三、 總結(jié)與展望

本文從激光筆發(fā)出的激光束照射在鏡面圓柱所產(chǎn)生奇妙光帶這一有趣物理現(xiàn)象出發(fā)，構(gòu)建了可定量研究的物理模型，從數(shù)學(xué)上論證解析了這一物理現(xiàn)象。在此基礎(chǔ)上，我還設(shè)計(jì)并制作了一款可準(zhǔn)確控制并直觀演示離心率的實(shí)驗(yàn)裝置，研究了激光束與鏡面圓柱夾角變化所引起的圓錐曲線的變化規(guī)律。目前，我正在進(jìn)一步研究圓柱鋼針的形狀和表面瑕疵與光帶形狀畸變的規(guī)律，這對(duì)于在線快速判斷工件的加工精度是非常有用的。此外，由于利用本文的實(shí)驗(yàn)裝置可以便捷、精確地展示實(shí)現(xiàn)不同的圓錐曲線，因此可望應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理等教學(xué)實(shí)踐。