中學(xué)數(shù)學(xué)概念理解的有效策略

苗利波

【摘要】 數(shù)學(xué)理解已經(jīng)成為繼“問題解決”之后世界數(shù)學(xué)教育所關(guān)心的中心話題. 數(shù)學(xué)理解是人們知識結(jié)構(gòu)不斷發(fā)展、不斷完善的動態(tài)過程，是認知結(jié)構(gòu)和知識意義的建構(gòu)過程，數(shù)學(xué)理解體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的普遍性、特殊性、動態(tài)性和發(fā)展性. 本文探討數(shù)學(xué)概念理解的有效途徑，進而揭示出數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的本質(zhì)關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)理解；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思維

世紀之初，世界各地的數(shù)學(xué)課程都經(jīng)歷了改革，紛紛推出了面向未來的課程計劃，數(shù)學(xué)理解已經(jīng)成為繼“問題解決”之后世界數(shù)學(xué)課程改革所關(guān)心的中心話題.

一、數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)理解通常有三個層面：第一，作為理論思維的數(shù)學(xué)，提供了理論思維的范式和完善的方法論，它是由人的思維構(gòu)造的理論體系，其成果構(gòu)成了其他自然科學(xué)的基礎(chǔ)；第二，作為技術(shù)應(yīng)用的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)已經(jīng)由科學(xué)技術(shù)滲透到政治、經(jīng)濟以及社會科學(xué)等各個領(lǐng)域；第三，作為文化素養(yǎng)的數(shù)學(xué). 因為數(shù)學(xué)思維無處不在、無時不有，所以數(shù)學(xué)素養(yǎng)將陪伴人的一生. 本文從數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵出發(fā)，通過尋求數(shù)學(xué)理解的思維發(fā)展、認知發(fā)展機制，探討數(shù)學(xué)理解的有效途徑，進而揭示出數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的本質(zhì)關(guān)系，以期為我國數(shù)學(xué)課程發(fā)展提供理論支撐和新的視野.

二、數(shù)學(xué)概念理解的有效策略

1. 操 作

按照弗賴登塔爾的觀點，教一個內(nèi)容的最佳途徑是聯(lián)系學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實和生活現(xiàn)實，在將要傳授的知識與學(xué)生已經(jīng)在現(xiàn)實世界中積累的知識和經(jīng)驗之間、在將要傳授的知識與已經(jīng)教過的知識之間建立起緊密的聯(lián)系，操作是建立聯(lián)系的最好路徑，假設(shè)數(shù)學(xué)的理解始于知覺、行動，成功的感知目標使得視覺空間表征的發(fā)展隨著幾何學(xué)中語言支持到視覺感悟的增長而發(fā)展；成功的行動目標運用靈活的符號表征，由算術(shù)和代數(shù)領(lǐng)域中的操作過程而形成思維概念. 認知結(jié)構(gòu)由初級的數(shù)學(xué)思維成為高級的數(shù)學(xué)思維，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)發(fā)展的三個領(lǐng)域，通過知識內(nèi)部的信息加工途徑，凝聚和多元化的表征方式及其轉(zhuǎn)換，通過操作，有效地使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀.

2. 信息加工途徑——凝聚

數(shù)學(xué)概念的雙重性又決定了數(shù)學(xué)思維、理解的雙重性. 理解性學(xué)習(xí)的有效方式是個體自我數(shù)學(xué)的建構(gòu)和對自我知識的反思，由知覺到行動，到目標的轉(zhuǎn)化，也是由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化，它構(gòu)成了數(shù)學(xué)思維的基本形式——“凝聚”. 凝聚體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象性，即“是把已發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中抽象出來的東西射或反射到一個新的層面上，并對此進行重新建構(gòu)”. 以色列著名數(shù)學(xué)教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三個階段：（1）內(nèi)化；（2）壓縮；（3）客體化. 其中，“內(nèi)化”和“壓縮”可視為必要的準備. 前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應(yīng)的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程作出描述或進行反思. 我們在此不僅不需要實際地去實施相關(guān)的運作，還可從更高的抽象水平對整個過程的性質(zhì)作出分析；另外，相對于前兩個階段而言，“客體化”則代表了質(zhì)的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物，原先的過程現(xiàn)在就變成了一個靜止的對象.

3. 表征方式的多元化

表征從廣義來講是指人腦內(nèi)部的心智活動的表現(xiàn)，又可指思維活動的外在表現(xiàn)形式；從狹義來看，可以理解為表達數(shù)學(xué)關(guān)系的過程，即對數(shù)學(xué)關(guān)系的表示形式，用某種形式表達數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的行為. 關(guān)于人類知識表現(xiàn)有三個不同表征類型：動作表征（物理過程），圖像表征（視覺），符號表征（抽象）.

在表征類型中，一個從本質(zhì)上說是物理過程（動作表征），其他兩個是引出物理對象后的抽象過程（圖像表征，符號表征）. 圖像表征提出了一個更廣闊的“視覺空間”概念，這里面也包含了動作表征（例如，感知一個“連續(xù)”的曲線由負到正必須經(jīng)過零）.

自然語言的發(fā)生始終貫穿于數(shù)學(xué)當(dāng)中，使數(shù)學(xué)活動置于環(huán)境之中. 從視覺空間到符號推理的發(fā)展，自然語言成為描述圖像和明確敘述證明的工具. 它也可以用來描述數(shù)字的特性，例如，加法是可以交換的，因為它總是有獨立的順序（事實上，表象的變換比計算的過程更容易理解，它有效地利用了視覺與符號之間的聯(lián)系）. 符號是邏輯推理的需要. 數(shù)學(xué)符號是抽象的數(shù)學(xué)概念的具體表示，是數(shù)量關(guān)系的無聲名稱，是邏輯推理的物質(zhì)承擔(dān)者，是數(shù)學(xué)形式簡化的最佳途徑. 符號在數(shù)學(xué)史上已證明是一種重要的探索工具，利用符號便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 因此在實際教學(xué)中要注意概念和數(shù)學(xué)符號是密不可分的整體，讓學(xué)生真正明確符號代表的對象及其數(shù)學(xué)性質(zhì). 表征的三種類型從本質(zhì)上說動作表征是物理過程，圖像表征和符號表征是引出物理對象后的抽象過程，它反映了個體從初級到高級數(shù)學(xué)思維的認知發(fā)展規(guī)律.

三、數(shù)學(xué)概念理解的特點

數(shù)學(xué)概念理解具有主動性. 學(xué)習(xí)者不是被動的信息接受者，他要對外部信息做主動的選擇和加工，學(xué)習(xí)過程中的核心認知活動是深層理解和高水平思維. 學(xué)生通過高水平的思維活動來學(xué)習(xí)，對各種信息和觀念進行加工轉(zhuǎn)換，基于新、舊知識進行綜合和概括，解釋有關(guān)的現(xiàn)象，形成新的假設(shè)和推論，并對自己的想法進行反思性的推敲和檢驗. 所以數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成是個體在已建立數(shù)學(xué)經(jīng)驗基礎(chǔ)之上對數(shù)學(xué)感悟、反思和體驗的結(jié)果， 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)個人建構(gòu)的特殊性.

數(shù)學(xué)理解具有連續(xù)性和層次性. 每名學(xué)生都在以自己原有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)對新的信息進行編碼，建構(gòu)自己的理解，在學(xué)生的原有認知結(jié)構(gòu)中找到新知識的生長點，進而促進新知識的生長和建構(gòu)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的動態(tài)性.

數(shù)學(xué)理解具有反思性和創(chuàng)造性. 原有知識會受到新經(jīng)驗的挑戰(zhàn)而發(fā)生調(diào)整和改變，所以學(xué)習(xí)并不簡單地是信息的量的積累，它同時包含由于新、舊經(jīng)驗的沖突而引發(fā)的概念轉(zhuǎn)變和結(jié)構(gòu)重組，認知沖突的引發(fā)和合理解決是導(dǎo)致知識建構(gòu)的重要途徑. 學(xué)生要不斷監(jiān)督自己對知識的理解程度，通過批判性思維來發(fā)展自己的見解，并在不斷沖突、創(chuàng)造過程中來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展性.