利用學(xué)習(xí)小組 提高數(shù)列運(yùn)算求解能力

林玨杏

【摘要】 本文共分兩大部分，第一部分先對運(yùn)算求解能力的概念進(jìn)行了界定，接著研究了高考考綱對運(yùn)算求解能力的要求，指出了數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力的重要性 ，列舉了目前高中生運(yùn)算求解能力低下的多種表現(xiàn)，分析了能力低下的成因。通過查閱相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)目前對于提高數(shù)列運(yùn)算求解能力的研究還是較少的。因而第二部分本文結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐與高中數(shù)學(xué)的課時(shí)較緊的現(xiàn)狀，探討了解決問題的四大策略，以供參考，希望對改進(jìn)高中生運(yùn)算求解能力低下的現(xiàn)狀有一定的幫助。

【關(guān)鍵詞】 運(yùn)算求解能力 學(xué)習(xí)小組 提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量

【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2014）11-001-03

運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力. 運(yùn)算求解能力是指會根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似運(yùn)算的能力。高考對運(yùn)算求解能力的考查主要是對運(yùn)算和推理的考查，以代數(shù)運(yùn)算為主。廣東高考考試大綱明確指出，運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，是高考考查的五大能力（空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力）之一，同時(shí)它是最基礎(chǔ)與應(yīng)用最廣的能力，新的課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力作為一個(gè)最重要的教學(xué)目標(biāo)，提出了系統(tǒng)、明確的要求。

盡管運(yùn)算求解能力如此重要，但是在教學(xué)中大多數(shù)一線數(shù)學(xué)教師深有同感的是，大多數(shù)高中生的運(yùn)算求解能力遠(yuǎn)不盡人意，尤其是在在數(shù)列教學(xué)中，常見有很多學(xué)生一聽就懂，一算就錯(cuò)。算錯(cuò)的具體表現(xiàn)有如下幾個(gè)方面：寫錯(cuò)數(shù)學(xué)公式；在求等比數(shù)列的公比時(shí)開方錯(cuò)解或漏解；聯(lián)立方程組求解時(shí)算錯(cuò)；運(yùn)算求解的方法出錯(cuò)；求解過程不完整，半途而廢；數(shù)學(xué)符號使用不規(guī)范等。究其原因，主要有如下幾個(gè)方面：部分學(xué)生從小就怕數(shù)學(xué)，一直學(xué)不好，連簡單的加減乘除都易錯(cuò)；部分學(xué)生初中數(shù)學(xué)中的乘方開方運(yùn)算不過關(guān)；部分學(xué)生解一元二次方程不會用十字相乘法，初中沒教，高中課本沒有；部分學(xué)生由于作業(yè)多，有時(shí)為了省時(shí)間，趕其它科的作業(yè)，經(jīng)常使用計(jì)算器來做數(shù)學(xué)作業(yè)，甚至有的學(xué)生只是弄懂了解題思路，根本就沒有進(jìn)行具體的求解運(yùn)算，而是直接抄答案應(yīng)付老師。但根據(jù)高考考試大綱的具體要求，在數(shù)列教學(xué)中，需要落實(shí)好以下考點(diǎn)：

1. 了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式）。

2. 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式。

3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。

4. 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系。

在數(shù)列教學(xué)中，如何提高學(xué)生的運(yùn)算求解能力呢？在大多數(shù)教師的教育教學(xué)任務(wù)非常繁重的情況下，若想收到良好的執(zhí)行效果，不妨從以下幾個(gè)方面來考慮。

第一，利用學(xué)習(xí)小組，提高學(xué)生對數(shù)列運(yùn)算求解能力的重視程度。

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材是九年義務(wù)教育新課標(biāo)下的新教材，刪除了一些繁難的舊知識，新增了一些現(xiàn)代社會所需的新知識。為了使得所有學(xué)生都能學(xué)好數(shù)學(xué)，大大降低了一些內(nèi)容的難度，包括運(yùn)算難度。而且有些學(xué)生認(rèn)為計(jì)算題是“死題目”，不需要?jiǎng)幽X思考，從而造成對運(yùn)算求解能力的忽視 ，很多高中的學(xué)生目前尚未意識到運(yùn)算求解能力對于高考的重要性，導(dǎo)致運(yùn)算求解能力低下，所以必須采取一定的措施，對他們進(jìn)行思想教育，改變他們的輕視心理，提高他們對數(shù)列運(yùn)算求解能力的重視程度。

應(yīng)對策略：召開“改變思想，提高認(rèn)識”小組會議。會議內(nèi)容包括：

（一）通過印發(fā)高考考試大綱（包含數(shù)列的考點(diǎn)），讓學(xué)生明確運(yùn)算求解能力是高考考綱的要求。這是高考考察的能力之一，必需加以重視。

（二）通過清楚的講解，讓學(xué)生明確地知道每年數(shù)列在高考中的地位和所占的分值，同時(shí)讓他們明白增加試題難度的三個(gè)角度。增加試題難度的三個(gè)角度分別是：

1. 增加試題的抽象性。有些數(shù)學(xué)試題讀完后，感覺題意難以理解，甚至有時(shí)候不知道題目講什么，就屬于這種類型。

2. 增加試題的運(yùn)算難度。有些數(shù)學(xué)試題同學(xué)們明明知道解題的方法和思路，偏偏算不對，就屬于這種類型。

3. 增加試卷的運(yùn)算量。一套數(shù)學(xué)試卷，明明每一道題都會做，可偏偏還沒做完，交卷時(shí)間就到了，就屬于這種類型。

增加試題的運(yùn)算難度作為增加試卷難度的一個(gè)手段，是影響考試得分的關(guān)鍵因素之一，必須引起高度重視。

（三）通過教材對比，讓學(xué)生明確地認(rèn)識到運(yùn)算求解能力是數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的要求。打開我們的數(shù)學(xué)課本、歷史課本和政治課本等課本，你會發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)課本上的內(nèi)容編排有個(gè)明顯的特點(diǎn)，那就是配套了大量的練習(xí)題。 政治課本和歷史課本的練習(xí)題，往往是在學(xué)完了一個(gè)單元之后，才配置幾個(gè)思考題，而數(shù)學(xué)的一個(gè)單元如《數(shù)列》，配套的練習(xí)題就有近百個(gè)！這么多的習(xí)題傳遞著這樣的一個(gè)信息：想學(xué)好數(shù)學(xué)這門與數(shù)有關(guān)的學(xué)科，需要做大量的練習(xí)， 運(yùn)算求解能力是數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的要求之一。

第二，利用學(xué)習(xí)小組 加強(qiáng)對數(shù)列基礎(chǔ)知識的記憶

俗話說：“巧媳婦難做無米之炊?！睌?shù)學(xué)公式、定理、法則、性質(zhì)和基本方法是進(jìn)行運(yùn)算求解的前提和基礎(chǔ)，必須牢牢掌握。光靠課堂上的理解并不夠，還需要課后加以鞏固和記憶。利用學(xué)習(xí)小組進(jìn)行朗讀，互相提問，互相回答，或者聽寫，可以有效實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)。

（一）課前三分鐘內(nèi)容安排之一 基本公式+基本方法

數(shù)列這個(gè)單元的第一節(jié)課的基礎(chǔ)知識包括數(shù)列的定義、數(shù)列的分類、表數(shù)列的表示法、數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系、數(shù)列的遞推公式等概念.第一課時(shí)學(xué)完了這些內(nèi)容，學(xué)生對于這些內(nèi)容已經(jīng)有所理解，那么就可以安排學(xué)習(xí)小組在第二課時(shí)的前三分鐘進(jìn)行朗讀，或者互相提問，或者默寫。這三分鐘在預(yù)備鈴響起就開始，不會占用多少課堂時(shí)間，而且由學(xué)習(xí)小組長負(fù)責(zé)組織，不用教師親自操作實(shí)施，可操作性更強(qiáng)。從這時(shí)開始，制作公式卡，給每張卡編上卡號，為后面的小組比賽做好準(zhǔn)備。

卡片示例：

卡號：***

錯(cuò)位相減法求和：適用于{anbn}其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。示例：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a1+a2+a3=12，

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）令bn=an·3n（x∈R），求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Sn.

接著的是課堂上講解過的解題過程（由學(xué)生自己寫上）以及解題方法思路的歸納。

（二）用現(xiàn)場搶答大賽進(jìn)行復(fù)習(xí)

在這個(gè)單元的新授課完成之后，進(jìn)行一次現(xiàn)場搶答大賽，以小組為單位參賽，定好評分規(guī)則和獎(jiǎng)勵(lì)條例，比賽的內(nèi)容就是每節(jié)課積累下來的卡片內(nèi)容，包括了整個(gè)單元的基本公式、定理、法則、性質(zhì)和基本解題方法以及規(guī)律點(diǎn)撥。由于比賽前不知道會抽到哪一張卡片，學(xué)生為了獲得比賽的勝利，通常會進(jìn)行全面的復(fù)習(xí)。就在復(fù)習(xí)的過程中，加深了對基礎(chǔ)知識和基本方法的掌握和記憶。

（三）課前三分鐘內(nèi)容安排之二 三個(gè)口訣表+兩類特殊數(shù)

三個(gè)口訣表是最基本的運(yùn)算口訣表：加法口訣表，減法口訣表，九九乘法口訣表，兩類特殊數(shù)指的是1至30的平方數(shù)和1至10的立方數(shù)。經(jīng)常背一背這些運(yùn)算過程中使用頻率非常高的口訣和數(shù)據(jù)，可以增強(qiáng)數(shù)感，提高瞬間反應(yīng)速度，提高運(yùn)算準(zhǔn)確度，提高理解能力，而不是蒙了老半天還反應(yīng)不過來。我在教學(xué)中當(dāng)著全班學(xué)生的面，曾一口氣背出1至30的平方數(shù)和1至10的立方數(shù)（在我讀初中一年級的時(shí)候，老師要求背誦，所以記住了并且再也沒有忘記）孩子們興趣盎然，當(dāng)下就跟著進(jìn)行記憶，一下課就忍不住互相考對方。這些平方數(shù)和立方數(shù)，在求等比數(shù)列的公比的運(yùn)算中，扮演著非常重要的角色。尤其是有些運(yùn)算出現(xiàn)的數(shù)據(jù)是這些特殊數(shù)據(jù)的倒數(shù)，如果熟悉，就能通過開方準(zhǔn)確迅速地求解出來。

第三，利用學(xué)習(xí)小組 學(xué)習(xí)十字相乘法

由于九年義務(wù)教育的實(shí)施，初中新課程標(biāo)準(zhǔn)的教材已經(jīng)把十字相乘法作為課后閱讀材料，不再作為必學(xué)內(nèi)容，大部分學(xué)生在解一元二次方程的時(shí)候，只會用求根公式法或者對方程進(jìn)行配方后再開平方來求根，步驟又多又繁，速度很慢并且求出來的結(jié)果常常是錯(cuò)誤的。而在高中數(shù)學(xué)中，受到課時(shí)的限制，不能總糾纏在如何解出一元二次方程的根這個(gè)問題上。為了完成每個(gè)課時(shí)的教學(xué)進(jìn)度，授課時(shí)必須按照一定的速度往下推進(jìn)。因而教會學(xué)生使用十字相乘法，尤其是平方項(xiàng)的系數(shù)不為1 的十字相乘法，是非常必要的。學(xué)會了就可以極大地提高解一元二次方程的準(zhǔn)確性和運(yùn)算速度，同時(shí)在上課的過程中，使學(xué)生能夠及時(shí)跟上教師授課的速度。因?yàn)槭艿秸n時(shí)數(shù)的限制，分不出太多的時(shí)間來講授這個(gè)內(nèi)容，在某節(jié)課即將下課時(shí)，抽出幾分鐘，分析展示兩三個(gè)有代表性的例子，講解清楚即可。然后，把相應(yīng)的配套練習(xí)發(fā)給小組長，由小組長負(fù)責(zé)分發(fā)給組員進(jìn)行練習(xí)。同時(shí)把答案也發(fā)給組長，由他組織學(xué)生核對答案。做錯(cuò)的的同學(xué)向做對的同學(xué)請教，爭取大家都會做。這樣，在學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式、等比數(shù)列的公比以及等比數(shù)列的求和公式的內(nèi)容時(shí)，就會順暢多了。學(xué)生在做相應(yīng)的配套練習(xí)的時(shí)候，也能相應(yīng)提高運(yùn)算的準(zhǔn)確率和運(yùn)算的速度。配套的十字相乘法練習(xí)如示例：

（1）2x2+5x-3=0 （2）6x2+4x-2=0

（3）x2-2x-3 =0 （4）x2+6x+8 =0

（5）x2-x-12=0 （6）x2-3x-10 =0

（7）6x2+x-1=0 （8）4x2+4x-3=0

（9）x2-6x-7=0 （10）x2+6x-7=0

第四，利用學(xué)習(xí)小組，培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣

良好的解題習(xí)慣包括審題的習(xí)慣、打草稿的習(xí)慣、盡量少用計(jì)算器的習(xí)慣和規(guī)范書寫的習(xí)慣等。

（一）培養(yǎng)認(rèn)真審題的習(xí)慣

計(jì)算是一件非常嚴(yán)肅認(rèn)真的事情，來不得半點(diǎn)馬虎。但恰恰有許多學(xué)生沒有這一良好習(xí)慣。就那審題來說，拿到一道計(jì)算題，沒有看清數(shù)字，甚至沒有弄清楚運(yùn)算順序，就開始算起來了，那能不出錯(cuò)嗎？

如何培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣？可以查閱梁承銳寫的《關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣，提高解題能力的研究》，寫得不錯(cuò)，值得一讀，這里不再復(fù)述。

（二）培養(yǎng)善于打草稿的習(xí)慣

學(xué)生在計(jì)算時(shí)，不良的計(jì)算習(xí)慣一般有這些：不喜愛打草稿， 隨便找一點(diǎn)空白的地方，寫上一兩個(gè)算式式，算是打草稿，有的干脆觀望，等待別人的結(jié)果。

如何培養(yǎng)良好的打草稿習(xí)慣呢？對學(xué)習(xí)小組進(jìn)行訪談時(shí)學(xué)生是這樣反饋的：“認(rèn)真對待草稿，草稿不能太潦草。一個(gè)題目要一步步往下寫，開始不能省略。盡量用“圈、勾”等手段畫出重要的地方，提示自己不可以錯(cuò)，不要的數(shù)據(jù)及時(shí)劃掉，口中默念也有一定幫助，等正確率上來了再提高速度，再寫得簡略一點(diǎn)，心算多一點(diǎn)?！?/p>

（三）培養(yǎng)不用計(jì)算器的習(xí)慣

初中可以使用計(jì)算器，但高考不能使用計(jì)算器，因而在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，遇到計(jì)算問題要求學(xué)生盡量不用計(jì)算器，或規(guī)定什么內(nèi)容可以用計(jì)算器，除這些內(nèi)容以外的內(nèi)容就不能用計(jì)算器，使學(xué)生在心算、口算、筆算中形成數(shù)感。學(xué)習(xí)小組的成員互相監(jiān)督，大家都作這樣要求和按照這樣的要求來執(zhí)行，形成一定的氛圍，逐步形成科學(xué)使用計(jì)算器的新習(xí)慣。

培養(yǎng)規(guī)范書寫的習(xí)慣

規(guī)范的書寫習(xí)慣可以減輕評卷的負(fù)擔(dān)，提高工作效率。同時(shí)書寫表達(dá)規(guī)范化，可以提高步驟分的得分率。

此外，要提高運(yùn)算求解能力，教師也要以身作則，作學(xué)生的表率。如：在解題教學(xué)時(shí)，審題在前，分析在后；思路清晰，層次分明；板書簡明，重點(diǎn)突出。練習(xí)必須有計(jì)劃、有步驟的進(jìn)行，要求教師熟練掌握近進(jìn)幾年的全國各省市本學(xué)科的高考試題，結(jié)合考綱的要求，尤其要注意典型性和覆蓋率，設(shè)計(jì)不同層次的練習(xí)，先進(jìn)行模仿練習(xí)，再到熟練掌握和綜合運(yùn)用階段的練習(xí)。

通過多方面的努力，我所任教的兩個(gè)教學(xué)班高二（4）班和高二（17）班，數(shù)列這個(gè)單元的教學(xué)質(zhì)量得到了明顯的提高。在期中考試中，我校四個(gè)原來分班成績差別甚小的班級高二（3）班、（4）班、（5）班和（6）班的數(shù)學(xué)成績的平均分分別是96.7 分，106.8 分，93.56分，94.64分，（4）班的成績比另外三個(gè)班超出了10分左右。在我走進(jìn)教室準(zhǔn)備把答題卡發(fā)回去時(shí)，全班學(xué)生都自發(fā)站起來鼓掌，表達(dá)了內(nèi)心的激動(dòng)之情。另外一個(gè)班級高二（17）班是一個(gè)美術(shù)音樂班，數(shù)學(xué)平均分是78.24分，也比另一個(gè)美術(shù)音樂班的平均分高出了將近20分。在開期中總結(jié)大會兼家長會時(shí)，（4）班的曾凱澤同學(xué)的家長特意跑到高二（17）班的教室（我是（17）班的班主任），拉著我的手說：“凱澤的數(shù)學(xué)原來一直都不好，上學(xué)期期末只有45分，讓我真擔(dān)心！這次她考了115分，總分排在年級的第十五名，跟著你學(xué)才有了這么大的進(jìn)步！”這是我第一次聽到學(xué)生家長對我當(dāng)面的肯定。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 梁承銳 .基礎(chǔ)教育論壇.關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生良好的審題習(xí)慣.提高

解題能力的研究.

[2] 劉婷 .湖南師范大學(xué)，2013年.高考對數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力考查

的研究.

[3] 牛勝玉.湖南師范大學(xué)出版社《高中數(shù)學(xué)知識大全.