注重高中數(shù)學(xué)問題本質(zhì)教學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

林玉蓮

摘 要：高中數(shù)學(xué)知識點繁多、變化無窮，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生如何抓住問題中的“變”與“不變”的規(guī)律，以“不變”來應(yīng)“萬變”，直達數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，使學(xué)生從數(shù)學(xué)題海中跳出來，站在更高的角度去看待問題、思考問題，從而達到提升學(xué)生分析、解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的目的.

關(guān)鍵詞：本質(zhì)；變化；不變；思維能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》中“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí).” 正如宇宙中的一切都在運動與變化，如冬去春來、日出日落，總有一天是要變的，自然的規(guī)律啟示我們，高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)若還僅是停留在接受、記憶和簡單的模仿中，早已無法適應(yīng)變化莫測的數(shù)學(xué)問題大海了. 然而在這變的背后，若能抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，抓住變化與運動遵循的基本規(guī)律，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也將更能游刃有余，也真正能做到通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的良好思維品質(zhì). 本文就此點結(jié)合自身教學(xué)實踐，列舉幾個簡單案例談?wù)勛龇?

緊抓概念（定義）本質(zhì)，提高學(xué)生聯(lián)想與概括的思維能力

概念教學(xué)是高中新課標教材體系的一個重要組成部分，掌握好概念不僅是對基礎(chǔ)知識的鞏固，更是對學(xué)生分析概括能力的培養(yǎng)與提升. 圓錐曲線定義的考查一直是每年高考的重點與熱點，教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視定義的生成過程，理解定義的多種表現(xiàn)形式.

橢圓的定義用文字語言概括起來為“一動（動點），三定（兩個定點，一個定值）”，用符號語言可簡記為“PF1+PF2=2a（定值）>F1F2”，這里的定值2a在解題時就起著橋梁作用，也即“不變”的本質(zhì)所在，是進行轉(zhuǎn)化化歸的關(guān)鍵.

案例1 （人教版選修2-1P42.3）已知經(jīng)過橢圓+=1的右焦點F2作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A，B兩點，F(xiàn)1是橢圓的左焦點.

（1）求△AF2B的周長；

（2）如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長有變化嗎？為什么？

思考1：針對案例中的（1）問 “直線AB經(jīng)過右焦點且垂直于x軸，得周長為定值4a”，思考“若直線AB不經(jīng)過右焦點，但仍滿足垂直于x軸，周長顯然發(fā)生變化，但何時周長最大呢？”，可得如下高考真題：

（2012高考四川文15） 橢圓+=1（a為定值，且a>）的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于點A，B，△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是______.

分析：題意初看起來與選修2-1課本結(jié)論三角形周長為定值4a看似相同，但問題在于這里的直線x=m并沒指明經(jīng)過焦點. 已知三角形ABF周長的最大值為12，設(shè)直線x=m與x軸相交于點C，根據(jù)橢圓的對稱性可進一步引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為AF+AC的最大值為6，設(shè)右焦點為F，而AF+AF ′=2a，這里剩下的問題就在于引導(dǎo)學(xué)生自主去動手探究AF+AC與AF+AF ′存在什么關(guān)系呢？不難發(fā)現(xiàn)AF+AC≤AF+AF ′，也即最大值時的位置就是當(dāng)直線x=m經(jīng)過焦點時的位置.

思考2：針對原題（2）中“直線AB經(jīng)過右焦點但不垂直于x軸，得周長仍為定值4a”，思考“若直線AB與x軸不垂直且未知是否經(jīng)過右焦點，但滿足某一條件下，AB何時最大呢？”，可得如下高考真題：

（2011北京） 已知橢圓G：+y2=1，過點（m，0）作圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A，B兩點.

（1）求橢圓G的焦點坐標和離心率；

（2）將AB表示為m的函數(shù)，并求AB的最大值.

圖2

分析：（1）略；

（2）由題意知，m≥1.

當(dāng)m=1時，切線l的方程x=1，點A，B的坐標分別為1，，1，-，此時AB=，當(dāng)m=-1時，同理可得AB=；？搖當(dāng)m>1時，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m），由y=k（x-m），+y2=1，得（1+4k2）·x2-8k2mx+4k2m2-4=0. 設(shè)A，B兩點的坐標分別為（x1，y1）（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.

又由l與圓x2+y2=1相切，得=1，即m2k2=k2+1，所以AB===.

因為AB==≤2，且當(dāng)m=±時，AB=2，所以AB的最大值為2（可知此時直線AB經(jīng)過橢圓右焦點）.

以上幾個問題題意上似乎與橢圓定義無直接關(guān)系，但考查問題本質(zhì)并未發(fā)生改變，這就要求課堂教學(xué)時，不應(yīng)僅局限概念或定義的直接應(yīng)用，更多地應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去觀察分析隱含在幾何關(guān)系中定義的本質(zhì)，從中培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系與概括的思維能力.

緊抓問題的結(jié)構(gòu)特征本質(zhì)，提高學(xué)生敏銳的直覺思維能力

高中數(shù)學(xué)中很多問題都有著其解題的共性與方法，也就是我們平常所謂的題型教學(xué)，這種課學(xué)生更習(xí)慣于墨守成規(guī)地套用公式或方法去解題，往往導(dǎo)致解題受阻半途而廢，課堂上教師更應(yīng)側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生用對比與聯(lián)系的觀點去審視問題，觀察問題的解題方向，緊抓問題的特征本質(zhì)，快速尋找正確的解題思路，提高學(xué)生敏銳的洞察與直覺思維能力.

案例2 設(shè)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f ′（x）·g（x）-f（x）g′（x）>0，且g（3）=0，則不等式f（x）g（x）<0的解集是________.

對于這個問題，學(xué)生在熟練掌握了分式型函數(shù)求導(dǎo)法則之下，不難構(gòu)造出新函數(shù)F（x）=，但往下作答時卻發(fā)現(xiàn)所構(gòu)造的函數(shù)對g（3）=0將使得F（3）無意義，思路受阻無法前行，這種構(gòu)造方式無非就是要滿足求導(dǎo)后的分工與條件一致，如果將條件等價變換為：當(dāng)x<0時，g′（x）·f（x）-g（x）·f ′（x）<0，直覺告訴我們所構(gòu)造的新函數(shù)應(yīng)為F（x）=，問題將迎刃而解.

又如問題：已知f（x）為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）

A. f（2）>e2f（0），f（2011）>e2011f（0）

B. f（2）e2011f（0）

C. f（2）>e2f（0），f（2011）

D. f（2）

這一問題從條件來看基本上看不出任何可利用的線索，但對比本題的各選擇支，其中卻隱含著“從特殊到一般”的信息“f（x）exf（0）”？圳f（0）？圳<或>，到此為止，構(gòu)造新函數(shù)g（x）=便水到渠成了.

上面兩個例子的分析與解決過程，對教師的課堂教學(xué)提出明確要求，要引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系與對比的觀點看待問題、剖析問題，抓住問題的本質(zhì)特征，提升學(xué)生的逆向分析與直覺思維能力.

緊抓公式的內(nèi)涵本質(zhì)，提高學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力

公式的推導(dǎo)教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常被教師忽視，更多地為了推導(dǎo)而推導(dǎo)，甚至有的教師省略推導(dǎo)過程，直接給出公式，然后圍繞公式機械訓(xùn)練. 這樣只是讓學(xué)生“知其然，而不知其所以然”，對公式的內(nèi)涵本質(zhì)一無所知，很少起到對學(xué)生思維能力提升的作用. 反之，若能在公式的推導(dǎo)教學(xué)中，緊抓公式的內(nèi)涵本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生利用已有知識“同化”和“索引”出當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識，可以促成對新知識意義的建構(gòu).

案例3 二項式基本定理：（a+b）n=Canb0+Can-1b1+…+Can-rbr+…+Canbn，公式的推導(dǎo)過程中，書本是從采用特殊到一般的方法歸納、猜想，最終加以證明驗證公式，對通項“Can-kbk”的解釋分析語言為：“an-kbk出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個（a+b）中取k個b的組合數(shù)C”，學(xué)生對這一解釋并不難理解，進而利用通項公式Tk+1=Can-kbk去解決二項展開式中的特定項問題看似沒什么問題了，但是如果教學(xué)活動僅是停留于此，那就沒能把其中蘊涵的數(shù)學(xué)本質(zhì)發(fā)揮到極致了. 若將此二項式定理的通項公式設(shè)置成情境問題：“一次射擊比賽中某選手射擊一指定目標，共有n發(fā)子彈，每次射擊互不影響，且每次命中的概率為p，求他在n次射擊中命中目標k次的概率大?。俊?，在這個問題里命中的概率p就等同于b，沒命中的概率1-p等同于a，所求事件概率即為P（x=k）=C（1-p）n-k·pk，這一概率模型可以看成是對n次射擊的一種組合方式，其本質(zhì)是“ak·bt”中的k，t滿足不定方程k+t=n（定值），這里不妨將它稱為“組合原理法”. 應(yīng)用此方法可以解決如下類似的一些問題.

問題1：求x2-展開式中常數(shù)項及含x9項的系數(shù)？

本題套用通項公式求解并不困難（這里略去），另外，如果我們采用“組合原理法”，問題表示為“（x2）m·-”，其中m，n滿足m+n=9，2m-n=0，易得m=3，n=6，因此可構(gòu)造組合搭配3個x2，6個-，得常數(shù)項為C-；同理，m+n=9，2m-n=9，得m=6，n=3，可構(gòu)造組合6個x2，3個-，得x9的系數(shù)為C-.

再如問題2：求（x2+3x+2）5的展開式中x2項的系數(shù)，如果套用二項式定理的通項公式，因其不是“二項”問題而無從下手，若是將其分解成（x+1）5（x+2）5后，再用兩個通項公式也難以入手解決.但是若用“組合原理法”分析，“（x2）m·（3x）n·2k”，由m+n+k=2，2m+n=2，m，n，k∈N，易得m=1，n=0，k=4或m=0，n=2，k=3，即得組合1個x2，0個3x，4個2或0個x2，2個3x，3個2也即得所求系數(shù)為C·1·24+C·32·23=800，這種對問題本質(zhì)的理解與思考問題的方式，就不再局限于二項或三項的問題了，學(xué)生不僅掌握了所學(xué)知識，更重要的是將知識進行了推廣與創(chuàng)新，其發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造性思維能力也無形得到了進一步的提升.

前面的問題解決了x的次冪問題，但若問題改為：（x+y+z）10展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為（ ）

A. 11 B. 33

C. 55 D. 66

本題表面上并非x的次冪問題，但合并同類項后仍可視為與次冪問題為同一類型，即解決的實質(zhì)為“xm·yn·zk”，其中m，n，k滿足：m+n+k=10，m，n，k∈N ？圳m′+n′+k′=13，m′，n′，k′∈N*（令m′=m+1，n′+n+1，k′=k+1），利用分組問題的“隔板法”易得項數(shù)為C=66.

緊抓問題的內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生邏輯推理的思維能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》指出“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標之一.” 邏輯推理能力是實現(xiàn)這一目標的重要環(huán)節(jié)，課堂教學(xué)上首先是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“同中求異”、“異中求同”的思考習(xí)慣，緊抓問題的內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生邏輯推理的思維能力.

案例4 筆者在一次試題評析課上遇到這樣一個問題：（廈門市2012-2013質(zhì)量檢測）A，B為拋物線C：y2=4x上除原點O外的兩個點，且·=0，以O(shè)A，OB為直徑的兩圓交于除O外的另一點P，則P的軌跡方程是________.

圖3

對于本題，不管是利用直接法或消參等方法，求解都較為煩瑣，究其原因，主要在于學(xué)生沒能真正分析出此直線在具備已知條件下所隱含的確定要素，想直接套用求軌跡方程的一些常用方法而導(dǎo)致困難重重. 反思我們的教學(xué)，如果平時教學(xué)中能夠引導(dǎo)學(xué)生多去思考、對相近問題及時對比、總結(jié)，多領(lǐng)會對問題的內(nèi)在聯(lián)系，則解題將可獲得新的突破與創(chuàng)新，對照本題條件，我們可以在書中找到它的影子.

問題1：人教版選修2-1P73A組第6題：如圖3，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證：OA⊥OB.

問題2：P81第3題：如圖4，已知直線與拋物線y2=2px（p>0）交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點D，點D的坐標為（2，1），求p的值.

圖4

對這兩道題目，教學(xué)時若引導(dǎo)學(xué)生從條件、結(jié)論等方面多去思考它們存在的聯(lián)系，可發(fā)現(xiàn)都滿足共同點：直線AB與拋物線的相交弦AB滿足頂點O的視角∠AOB=90°，不同點在于：第一題是直線、拋物線給定，求證弦所對視角為90°，第二題是已知視角弦為90°，拋物線待求解，可視為給定，但直線卻是可變的.教學(xué)時我們是否可以換個角度思考在拋物線給定且視角為90°的前提下，此直線無論是給定還是未給定，必然與所給拋物線間存在著一個不變的特征量，我們知道確定直線的特征量為定點或斜率，但從題目2明顯可以看出直線的斜率是可變的，那就意味著此直線必經(jīng)過一個定點，接下來的事情就只要我們?nèi)ヌ角蟠藛栴}的一般性了：“已知拋物線y2=2px（p>0），A，B為拋物線上兩點，若OA⊥OB，則直線AB恒過一定點，并求此定點.”

針對此問題條件與結(jié)論間存在的某種邏輯聯(lián)系，可引導(dǎo)學(xué)生對此題做如下不同方向的思考：

1. 對照此題，已知視角弦為90°，我們是否可做適當(dāng)改動呢？則可得如下思考：

思考1：本題中，OA⊥OB，即kOA·kOB=-1，若改為kOAkOB=m（m為不為零的常數(shù)），直線AB是否過定點？（此問題可先嘗試對特例進行研究，再做一般性研究，可得直線AB仍過定點-，-y0）.

思考2：若kOA+kOB=n（n為非零常數(shù)）， 直線AB過定點嗎？（同上思考方式，得直線AB過定點-，-y0）

2. 本題中O為拋物線的頂點，我們是否還可將其改動為其他點呢？則又可得如下思考：

思考3：若將O點改為拋物線上任意點，AB直線是否仍過定點？

思考4：把思考1和思考2中的O點改為拋物線上任意點，是否也有類似性質(zhì)？

3. 從圓錐曲線教學(xué)內(nèi)容思考，在拋物線下成立的結(jié)論，其他曲線是否也成立呢？則可如下思考：

思考5：已知橢圓方程為+=1（a>b>0），直線l與橢圓交于A，B兩點，橢圓的左頂點為C，若CA⊥CB，直線l是否過一定點？

思考6：已知橢圓方程為+=1（a>b>0），直線l與橢圓交于A，B兩點，橢圓的一定點C，若CA⊥CB，直線l是否過一定點？

思考7：已知橢圓方程為+=1（a>b>0），直線l與橢圓交于A，B兩點，橢圓的左頂點為C，若kCA·kCB=m（m為不為零的常數(shù)），直線l是否過一定點？

邏輯推理能力是在把握了問題與問題之間內(nèi)在必然聯(lián)系的基礎(chǔ)上展開的，所以，養(yǎng)成從多角度認識問題的習(xí)慣，全面地認識問題的內(nèi)部與外部之間、某問題同其他問題之間的多種多樣的聯(lián)系，對邏輯思維能力的提高有著十分重要的意義. 教學(xué)中只要能堅持引導(dǎo)學(xué)生對所給問題多去分析、多去推理，從問題的各個角度尋找共性與異性，這樣我們就能將某些問題、甚至某類問題完整化，學(xué)生分析問題的思路、數(shù)學(xué)思想、知識體系也就能清晰化. 這種注重問題的內(nèi)在本質(zhì)、內(nèi)在聯(lián)系的教學(xué)，能很好地促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升.