挖掘教材“核心思想”，提高教學的有效性

楊昆華

摘 要：本文從案例出發(fā)，應用現(xiàn)代教育技術， 結(jié)合“信息技術與高中數(shù)學教材整合”，挖掘教材的核心內(nèi)容及核心思想，引導學生探究知識，獲取知識，培養(yǎng)觀察、歸納、猜想能力，滲透數(shù)學思想方法，構(gòu)建高效的課堂教學.

關鍵詞：核心內(nèi)容；探究性教學；有效性

新課標強調(diào)，要為學生提供開闊的探索空間. 將“二分法”這一求方程近似解的具體數(shù)學方法，放在“函數(shù)”這一大背景中來，引導學生認識其作用、操作方法與局限性，在教學過程中，學生多層次體驗數(shù)學知識的形成過程，多角度審視函數(shù)知識的地位與作用.

教材分析

二分法是高中新課程的新增內(nèi)容.這節(jié)內(nèi)容安排在函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點之后，在內(nèi)容上銜接了函數(shù)零點與方程的根的關系，體現(xiàn)了函數(shù)的思想以及函數(shù)與方程的聯(lián)系. 求函數(shù)零點近似解的計算方法很多，二分法是其中一種常用方法，它的特點是操作簡單，具有通性，蘊涵了數(shù)值逼近的思想、算法思想以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，并為數(shù)學3中算法內(nèi)容的學習做了鋪墊.

學情分析

學生已學習過的函數(shù)包括：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，同時已掌握求函數(shù)零點準確值的一些方法，對函數(shù)與方程的關系有了一定認識. 用二分法求函數(shù)零點近似解是利用函數(shù)圖象的連續(xù)性，不斷逼近函數(shù)零點，從而求得對應方程近似解的一種計算方法，因此，通過學習二分法可進一步培養(yǎng)學生有意識地運用函數(shù)圖象、性質(zhì)分析解決問題的能力.

由此得出本節(jié)的教學目標為：

（1）了解二分法是求函數(shù)零點近似解的一種方法，掌握用二分法求函數(shù)零點的一般步驟.

（2）通過師生、生生合作交流，共同探索、概括結(jié)論和規(guī)律的過程，使學生體會由特殊到一般的認知規(guī)律，體驗無限逼近的過程.

通過上一節(jié)的學習，學生對方程的根的存在性有一定的了解.主要的困難有兩個：

①對二分法這種算法思想的理解；②對用二分法求方程近似解的一般步驟的歸納.

所以本節(jié)的重點定位為：對二分法基本思想的理解，學習用二分法求函數(shù)零點近似解的一般步驟；難點：零點所在區(qū)間的確定，對二分法算法思想的理解.

教學設計及教學過程分析

（一）關于情境設置

案例一

問題1：從猜價格引入CCTV2“幸運52”片段：

主持人李詠說道：猜一猜這架家用型數(shù)碼相機的價格. 參賽選手：2000！李詠：高了！選手：1000！李詠：低了！選手：1500！李詠：還是低了！……

問題1：你知道這件商品的價格在什么范圍內(nèi)嗎？

問題2：若接下來讓你猜的話，你會猜多少價格比較合理呢？

問題2：從A地到B地的電纜有5個接點.現(xiàn)在某處發(fā)生故障，需及時修理.假設故障出在接點之間的線路上，接點處是完好的. 一定要把故障縮小在兩個接點之間，至少需要檢查多少次？

圖1

每次取中點，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的方法叫二分法，也叫對分法，常用于查找電線、水管、氣管等管道線路故障.

提出問題：如何求方程lnx+2x-6=0的根？能否利用函數(shù)的有關知識來求它的根呢？

函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點轉(zhuǎn)化為方程lnx+2x-6=0的根.

設計問題1：你能找出零點落在下列哪個區(qū)間嗎？

A. （1，2） B. （2，3）

C. （3，4） D. （4，5）

追問：如何找到這個零點？你能繼續(xù)縮小零點所在的區(qū)間嗎？引導取區(qū)間的中點，由此引入課題.

點評：此案例的優(yōu)點是目標直指二分法的操作，從學生熟悉的游戲出發(fā)，學生參與度高，興趣濃，課堂氣氛活躍，但不足之處是淡化二分法的數(shù)學思想實質(zhì)，容易導致課堂熱熱鬧鬧，課后思想一片空白.

案例二

1. 從實際問題的解決引入

現(xiàn)有一邊長為10米的正方形鐵板，如果從鐵板的四個角各裁去一個相同的小正方形，然后焊接成一個長方體型的無蓋容器，為使容積為68立方米，裁去的小正方形邊長應為多少米？（精確到0.1）

圖2

2. 學生經(jīng)過思考，討論后交流解決方法. 從三次方程的求根問題引出數(shù)學發(fā)展史中探求高次方程的根的研究，介紹解方程的數(shù)學史：秦九韶的數(shù)學貢獻；1545年意大利的卡爾達諾在論著《大法》中給出的一元三次方程的求根公式；十九世紀，阿貝爾和伽羅瓦的研究表明高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式，即不存在用四則運算及根號表示的一般的公式解，感受數(shù)學研究的價值及思想方法.

3. 學生討論對各種方法的認識和體會通過解決社會實踐中的問題，明白求方程近似根的必要性，從而引出課題.

從復習數(shù)學知識和原理入手：

1. 求方程f（x）=0的解，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f（x）的零點，即為求函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標.

2. 零點存在的判定法則

如果函數(shù)y=f（x）在一個區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使 f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.

歸納：像這種每次取區(qū)間中的點，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的方法稱為二分法.給出用二分法求函數(shù)零點近似解的步驟.

點評：此案例的優(yōu)點是從實際問題出發(fā)，在解決問題中滲透數(shù)學史教育，讓學生感受數(shù)學的思想方法及價值，體會求方程近似解的必要性，激發(fā)學生探尋解決問題的辦法，從而導入二分法，探究過程圍繞數(shù)學思想核心，數(shù)學味濃，不足之處是引入二分法有些突然，解決實際問題耗費大量時間，課堂的互動略顯沉悶，教學有效性不易落實.

案例三

1. 復習思考：

（1）函數(shù)的零點；（2）零點存在的判定；（3）零點個數(shù)的求法.

2. 思考問題：

請同學們觀察下面的兩個方程，說一說你會用什么方法來求解方程：

（1）x2-2x-6=0；

（2）lnx+2x-6=0.

對于方程（1），可以利用一元二次方程的求根公式求解，？搖但對于方程（2），我們卻沒有公式可用來求解.？搖？搖？搖？搖

復習引入：函數(shù)f（x）=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點，如何找出這個零點？

提出生活中的問題：12枚金幣中有一枚略輕，是假幣，如何找出？

（探究二分法的概念：一分為二）

（1）用天平稱3次就可以找出這個稍重的球.

（2）要找出稍重的球，盡量將稍重的球所在的范圍盡量的縮小，我們通過不斷地“平分球”、“鎖定”、“淘汰”的方法逐步縮小稍重的球所在的范圍，直到滿意為止.

（3）這種“平分球”的方法，就是“二分法”的體現(xiàn).

游戲：請你模仿李詠主持一下幸運52，請同學們猜一下下面這部手機的價格.

進而提出：利用我們猜價格的方法，你能否求解方程lnx+2x-6=0？如果能求解的話，怎么去解？從而引出課題.

點評：此案例的優(yōu)點是從求方程的解受阻設置懸念，找到知識的生長點，由找假幣、猜價格游戲引出二分法，既反映了數(shù)學的思想實質(zhì)，又注重了方法尋找的類比、探究過程，重視數(shù)學的思想方法在探究過程中的滲透，強化教材知識間的前后聯(lián)系，教學實施井然有序，如果加入數(shù)學史的介紹，效果會更佳.

（二）關于二分法求方程的近似解

（1）對于函數(shù)f（x）=lnx+2x-6，首先用圖象確定零點的初始區(qū)間（2，3）

用計算器或計算機作出x和f（x）的對應值表，用EXCEL軟件演示，用幾何畫板動態(tài)演示.

（2）每種方法都用到了哪些數(shù)學知識，怎樣想到用這些知識？

利用幾何畫板、圖形計算器畫圖功能的方法，依賴的技術含量多于數(shù)學思想.

利用計算機軟件Exsel、圖形計算器、計算器的列表計算功能的方法，利用了函數(shù)零點存在性的知識，運算次數(shù)較多.

計算器的加減乘除功能的二分法利用了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，二分過程中隨著一次次的取中點，計算中點函數(shù)值，判斷符號，取新區(qū)間……使零點所在的區(qū)間一步步縮小，區(qū)間的兩個端點一步步向函數(shù)的零點逼近.

對比分析指出

①合理利用信息技術提高工作效率，實質(zhì)上是計算機軟件在進行大量函數(shù)值計算，進而描點畫圖；結(jié)果近似值的精確度取決于軟件的精確度，在解決實際問題中受到軟件的精確度的限制.

②列表計算功能的使用使得計算有了一定的方向性和規(guī)律性，只計算精確度要求的值即可.

③二分法的計算次數(shù)設計合理，當提高精確度要求時，只要繼續(xù)算下去就一定能達到，可以無限次進行端點向零點的逼近，數(shù)學思想簡單，邏輯性很強.

（三）二分法求方程的近似解的條件

如果函數(shù)y=f（x）的圖象如圖4所示，能否用二分法求出它的所有零點的近似解？

圖4

（注：二分法對不變號零點不適用，從辯證的角度看待一種方法）

本節(jié)體現(xiàn)的數(shù)學思想方法：

（1）數(shù)形結(jié)合的思想；

（2）函數(shù)與方程的思想；

（3）逐步逼近的思想；

（4）算法的思想.

二分法的教學，數(shù)學思想方法的滲透是關鍵，“函數(shù)的零點”是核心概念，圍繞這一核心內(nèi)容及數(shù)學思想開展教學，課堂的有效性才能得到落實.