淺議新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)

冉啟飛

摘要：情境學(xué)習(xí)理論作為獲得知識(shí)的一種理論，認(rèn)為知識(shí)是在情境中通過(guò)活動(dòng)而產(chǎn)生并獲得的。本文提出真實(shí)情境驅(qū)動(dòng)的教學(xué)應(yīng)該是以情境學(xué)習(xí)理論為基石的，并提出新課標(biāo)下真實(shí)情境驅(qū)動(dòng)的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的設(shè)計(jì)原則，對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)具有實(shí)踐指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：情景驅(qū)動(dòng)；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）08-0119

數(shù)學(xué)課程在一定程度上是一種模型課程，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決有一定的模式和原則，那么數(shù)學(xué)建模教學(xué)在教學(xué)中就顯得非常重要。如何在新課標(biāo)下合理高效地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)，情景驅(qū)動(dòng)這一因素必不可少。

一、真實(shí)情境驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)

什么是具有驅(qū)動(dòng)性的問(wèn)題？19世紀(jì)德國(guó)教育家第斯多惠（Diesterweg）曾說(shuō)：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授知識(shí)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞?！眴?wèn)題在一定情景下若能激發(fā)學(xué)生興趣，喚起學(xué)生的求知欲，觸及學(xué)生的思維盲點(diǎn)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)末知的探究，這就是情景驅(qū)動(dòng)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)是圍繞真實(shí)情境的真實(shí)任務(wù)而展開(kāi)課堂教學(xué)。在新課標(biāo)下，它特別強(qiáng)調(diào)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)真實(shí)而完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境的重要性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，情境是抽象的數(shù)學(xué)與日常生活聯(lián)系的紐帶，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，更是學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)積極化的橋梁。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，各種數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)不僅可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能使學(xué)生更易于在情境中對(duì)各類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行快速解決。

二、真實(shí)情境驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)的設(shè)計(jì)原則

在真實(shí)情境驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)中，教師首先從學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，為學(xué)生提供一個(gè)符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的、真實(shí)的、完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境。也可以借助網(wǎng)絡(luò)、多媒體技術(shù)的支持創(chuàng)設(shè)一個(gè)虛擬的、逼真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境。然后，學(xué)生必須從真實(shí)復(fù)雜的情境中，識(shí)別或生成他們必須解決的問(wèn)題。

1. 創(chuàng)設(shè)真實(shí)而完整的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境

教學(xué)應(yīng)該創(chuàng)設(shè)一種與學(xué)生生活密切相關(guān)的、真實(shí)而完整的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境或運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)創(chuàng)設(shè)的逼真的教學(xué)情境，從而激發(fā)學(xué)生真實(shí)的認(rèn)知需要，讓學(xué)生在通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決真實(shí)任務(wù)的過(guò)程中，建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的真正價(jià)值。正如國(guó)際數(shù)學(xué)教育權(quán)威弗賴(lài)登塔爾（Hans Freudenthal）所說(shuō)，數(shù)學(xué)必須“源于現(xiàn)實(shí)，寓于現(xiàn)實(shí)，用于現(xiàn)實(shí)”。情境的創(chuàng)設(shè)，可以直接讓學(xué)生進(jìn)入現(xiàn)實(shí)的情境，也可以通過(guò)現(xiàn)代教育技術(shù)展現(xiàn)相應(yīng)的真實(shí)程度很高的情境。

下面介紹一個(gè)以社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題為背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)的例子：2008年9月25日21時(shí)10分04秒，我國(guó)航天事業(yè)又迎來(lái)一個(gè)歷史性時(shí)刻，我國(guó)自行研制的神舟七號(hào)載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，這標(biāo)志著中國(guó)人民又邁出了具有歷史意義的一步。已知火箭的起飛重量M是箭體（包括搭載的飛行器）的重量m和燃料重量x之和。在不考慮空氣阻力的條件下，假設(shè)火箭的最大速度y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為當(dāng)燃料重量為噸（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）時(shí)，該火箭的最大速度為4（km/s）。

（1）求火箭的最大速度與燃料重量x噸之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知該火箭的起飛重量是544噸，是應(yīng)裝載多少?lài)嵢剂?，才能使該火箭的最大飛行速度達(dá)到8km/s，順利地把飛船發(fā)送到預(yù)定的軌道？

為了增強(qiáng)問(wèn)題情境的吸引力，教師再添上引導(dǎo)氣氛的幾句話(huà)：“可以設(shè)想，計(jì)算者感受到責(zé)任重大，數(shù)學(xué)與航天事業(yè)連在一起，必須盡快求算出結(jié)果。”這些話(huà)讓學(xué)生頓感學(xué)好數(shù)學(xué)的重要性。但建立什么樣模型，要求并不是很低。此時(shí)教師再介紹數(shù)學(xué)建模的方法，無(wú)疑會(huì)收到事半功倍的效果。類(lèi)似這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境可以讓學(xué)生感受到當(dāng)代數(shù)學(xué)的脈搏，體會(huì)到數(shù)學(xué)與人們的生活既密切相關(guān)又奧妙無(wú)窮。

2. 重視數(shù)學(xué)問(wèn)題情境與任務(wù)復(fù)雜性的設(shè)計(jì)

教師在真實(shí)情境驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)中，對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題情境與任務(wù)復(fù)雜性的設(shè)計(jì)，應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以使得學(xué)生有可能根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)與環(huán)境的復(fù)雜性清楚地感知和參與數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)活動(dòng)。

根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平差異，將數(shù)學(xué)建模教學(xué)分為以下三個(gè)層次：

（1）基礎(chǔ)層次：提出問(wèn)題，模型實(shí)際涉及的知識(shí)在教材控制的范圍。比如：利用己知的函數(shù)或數(shù)列模型，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)啟發(fā)討論完成模型選擇和建立的過(guò)程，讓學(xué)生自己完成模型的計(jì)算，模型的評(píng)估等。例如，教師提出問(wèn)題：邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮每個(gè)拐角截取邊長(zhǎng)為多少的小正方形時(shí)可做成一個(gè)體積最大的無(wú)蓋長(zhǎng)方體水槽？教師指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型：當(dāng)體積最大時(shí)，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高滿(mǎn)足一定的關(guān)系。具體求解過(guò)程交給學(xué)生，結(jié)果寫(xiě)成解題報(bào)告。

（2）中間層次：提出問(wèn)題，模型實(shí)際涉及的知識(shí)在教材控制的范圍內(nèi)，也可以補(bǔ)充一部分設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)知識(shí)和其他知識(shí)。在教師的啟發(fā)、指導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)討論完成模型選擇和建立的過(guò)程，可以用小論文的形式呈現(xiàn)結(jié)果。例如，教師提出任務(wù)：表面積一定的材料設(shè)計(jì)一個(gè)最大的容器（容器類(lèi)型可讓學(xué)生選定）。讓學(xué)生自己建立數(shù)學(xué)模型、求解，并寫(xiě)成解題報(bào)告。

（3）高級(jí)層次：只提供問(wèn)題場(chǎng)景，教師只提供輔導(dǎo)答疑，問(wèn)題的選擇、建模、解模、誤差或適用性分析均由學(xué)生自主完成。在解決問(wèn)題的過(guò)程中有自己的創(chuàng)新點(diǎn)的學(xué)生可以安排交流和展示結(jié)果的環(huán)節(jié)。例如，教師提供問(wèn)題場(chǎng)景：提供一個(gè)超市商品在貨架上的照片或幻燈片等，讓學(xué)生提出一個(gè)“節(jié)約”的問(wèn)題，分組自主討論調(diào)查求解，寫(xiě)成小論文。問(wèn)題求解的結(jié)果在全班展示交流并接受同學(xué)的提問(wèn)和質(zhì)疑，根據(jù)情況進(jìn)一步修改小論文。

根據(jù)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的不同層次，一般情況下把高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)相應(yīng)地劃分為三個(gè)階段，下面介紹高中三個(gè)不同階段數(shù)學(xué)建模教學(xué)的問(wèn)題情境和任務(wù)復(fù)雜性的設(shè)計(jì)。

第一階段（高一實(shí)施“基礎(chǔ)層次”的數(shù)學(xué)建模教學(xué)）：結(jié)合教材，以研究性課題為突破口，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方法的意識(shí)，以簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)建模為主要目標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)情境和任務(wù)。這一階段，主要是提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)建模的信心。由于剛開(kāi)始接觸這一新的思想方法，所以這里選取的問(wèn)題情境要貼近教材內(nèi)容，貼近學(xué)生認(rèn)知水平和生活實(shí)際，要易于理解。比如說(shuō)：集合中元素的個(gè)數(shù)計(jì)算問(wèn)題，可以解決生活中復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。此階段的重點(diǎn)是站在提高學(xué)生素質(zhì)的高度，把滲透數(shù)學(xué)建模的意識(shí)作為首要任務(wù)，并注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換能力。

第二階段（高二實(shí)施“中間層次”的數(shù)學(xué)建模教學(xué)）：從與教材內(nèi)容有關(guān)的典型案例出發(fā)，設(shè)計(jì)問(wèn)題情境和任務(wù)，落實(shí)典型案例教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生初步掌握建模的常用方法。到了高二，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力逐步增強(qiáng)，教師應(yīng)結(jié)合教材內(nèi)容設(shè)計(jì)一些典型案例的問(wèn)題情境和任務(wù)，有計(jì)劃地讓學(xué)生參與建模過(guò)程，初步掌握理論分析法、類(lèi)比聯(lián)想分析法、數(shù)據(jù)分析法和模擬方法等中學(xué)階段適宜介紹的數(shù)學(xué)建模方法，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情。比如說(shuō)：空間直角坐標(biāo)系的引入，可以快速解決兩平面所成的二面角問(wèn)題。為此，教師改變傳統(tǒng)教學(xué)方式，學(xué)生自己獨(dú)立完成并寫(xiě)報(bào)告，使他們能對(duì)經(jīng)過(guò)提煉加工、諸因素之間的數(shù)量關(guān)系比較清楚的實(shí)際問(wèn)題，構(gòu)建其數(shù)學(xué)模型。

第三階段（高三實(shí)施“高級(jí)層次”的數(shù)學(xué)建模教學(xué)）：落實(shí)綜合建模教學(xué)目標(biāo)，問(wèn)題情境貼近現(xiàn)實(shí)生活，任務(wù)的復(fù)雜性較高。通過(guò)本階段的建模訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。高三階段，師生應(yīng)組成“共同體”，以小組為單位開(kāi)展建?；顒?dòng)。此階段，有關(guān)問(wèn)題情境可由教師提供，亦可由學(xué)生自己到生活中去挖掘，并讓學(xué)生自己去實(shí)踐。比如：生活中的雨中行走問(wèn)題，怎樣走才能使人淋的雨水少一些？問(wèn)題的選擇、模型的建立和解模，誤差或適用性分析均由學(xué)生自主完成，教師只提供輔導(dǎo)咨詢(xún)，而且教師重點(diǎn)在科學(xué)的思維方法上給予點(diǎn)撥和總結(jié)。

3. 情境與任務(wù)的延伸

考慮到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和連貫性，每一模塊的數(shù)學(xué)建模情境的設(shè)計(jì)，應(yīng)該跟以后與該模塊相關(guān)的其它模塊聯(lián)系起來(lái)，使情境有可能在以后的其它模塊的學(xué)習(xí)活動(dòng)中繼續(xù)發(fā)揮作用。此外，教學(xué)中應(yīng)設(shè)計(jì)一些類(lèi)似問(wèn)題和拓展問(wèn)題，一方面可促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深層理解，另一方面可促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用和廣泛遷移，以利于學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)向真實(shí)生活環(huán)境遷移的思考習(xí)慣的養(yǎng)成。

三、提供豐富的學(xué)習(xí)資源

真實(shí)情境驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)要求學(xué)生對(duì)所研究的真實(shí)問(wèn)題情境有一定的理解和把握，必須熟悉數(shù)學(xué)建模的過(guò)程及有關(guān)建模的知識(shí)。因此，為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)所研究真實(shí)問(wèn)題情境的把握和提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)，教師可以設(shè)計(jì)一些文本資料、圖片或網(wǎng)頁(yè)為學(xué)生提供一些與問(wèn)題情境相關(guān)的常識(shí)和必須掌握的背景材料，同時(shí)還要介紹一些數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模的知識(shí)。

（作者單位：貴州省遵義市鳳岡縣第二中學(xué) 564200）