掌握解題方法，深入學(xué)習(xí)數(shù)列求和方式

王志華

摘 要：高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法很多，本文列舉出了其中的比較常用，也比較關(guān)鍵的四種：裂項(xiàng)相消法、并項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法、倒敘相加法. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師也應(yīng)該注重對(duì)學(xué)生的點(diǎn)撥，展開“以學(xué)生為本”的教學(xué)方式，提高學(xué)生課堂的參與度，并自己總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，不斷地提高學(xué)生本身的解題效率.

關(guān)鍵詞：數(shù)列求和；高中數(shù)學(xué)；解題方法

數(shù)列求和是高中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)內(nèi)容，很多學(xué)生對(duì)數(shù)列求和的內(nèi)容感到困惑，甚至將它當(dāng)做最頭疼的難題.其實(shí)，高中數(shù)學(xué)的數(shù)列求和并沒有那么復(fù)雜，在通過分層次練習(xí)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，然后找出規(guī)律，并應(yīng)用于實(shí)踐，通過反復(fù)的練習(xí)—總結(jié)—再練習(xí)的過程，就能總結(jié)出屬于自己的數(shù)列求和學(xué)習(xí)方法，也能找到屬于自己的數(shù)列求和方式. 下面對(duì)四種數(shù)列求和方法的應(yīng)用展開實(shí)例分析.

裂項(xiàng)相消法，找出通式規(guī)律

裂項(xiàng)相消法是高中比較常見的數(shù)學(xué)解題方法，在對(duì)待數(shù)的問題上，如果能采用裂項(xiàng)相消法，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這就是題目的關(guān)鍵，也就是題目的突破口，從而題目的解答過程就會(huì)變得比較容易. 裂項(xiàng)相消在小學(xué)奧數(shù)題目中也有所涉及，在高中數(shù)學(xué)的數(shù)列求和中，將小學(xué)和初中數(shù)學(xué)相關(guān)問題進(jìn)行了深化和綜合應(yīng)用，所以，高中數(shù)學(xué)是對(duì)以前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的總結(jié)和歸納，找出了每個(gè)步驟和階段的循序漸進(jìn)過程，將這些步驟條理進(jìn)行梳理，就是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和的方法了.

理論分析：裂項(xiàng)的核心是將數(shù)列的通式裂成兩項(xiàng)，觀察出規(guī)律，從而在求和時(shí)進(jìn)行相互抵消，比如適合于通項(xiàng)類似于 （an是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，C為常數(shù).）的數(shù)列. 運(yùn)用裂項(xiàng)求和時(shí)，通用的公式為：

（1） = - ；

（2） = - ；

（3） = - ；

（4） = （ - ）.

例1 已知有數(shù)列{an}滿足a1=1，a2= ，an+2= an+1- an（n∈N*），求：

Tn= + + +…+ .

解：分析題目，首先根據(jù)an數(shù)列的已知關(guān)系，分析出其內(nèi)在隱含的條件，然后根據(jù)求和的各項(xiàng)的通式，找出求和的各項(xiàng)之間的關(guān)系，從而進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢粤秧?xiàng)相消的模式. 具體分析如下：

由已知條件，得an+2-an+1= （an+1-an），所以{an+1-an}是以a2-a1= 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，故an+1-an= .

所以an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+ + +…+ =21- .

所以 = = · - ，

Tn= + + +…+

= - +…+ - = 2- .

實(shí)例總結(jié)：該題的解題思路和過程比較復(fù)雜，涉及的知識(shí)點(diǎn)也比較多. 在學(xué)生進(jìn)行解題的過程中，或許會(huì)感覺到無從下筆，并且百思不得其解.解題關(guān)鍵是找出題目的題眼，由題目給出的條件，找出其變式，獲得突破口.

并項(xiàng)求和法，利用求和解題

高中數(shù)學(xué)是思維引導(dǎo)性質(zhì)的教學(xué)，是以提升學(xué)生能力，并且促進(jìn)學(xué)生能夠獲得更多的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為目的的教學(xué). 高中數(shù)學(xué)每個(gè)學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，都需要加強(qiáng)練習(xí)，反復(fù)地進(jìn)行思考和探索，找出題目的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)盲區(qū)，進(jìn)行規(guī)范性的引導(dǎo)，堅(jiān)持高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中以學(xué)生為本，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力和實(shí)踐能力，培養(yǎng)更多的思維性強(qiáng)并且有獨(dú)特想法的現(xiàn)代化人才.

理論分析：并項(xiàng)求和法與分組求和法有相似之處，它的規(guī)律也比較明顯，針對(duì)并項(xiàng)求和的相關(guān)題目，一般都具有顯而易見的規(guī)律讓我們分析，采用先試探、后求和的方法來進(jìn)行.首先根據(jù)題目給出的一些已知條件與要求和的式子，找出數(shù)字之間的規(guī)律，并進(jìn)行分析，將其轉(zhuǎn)換為比較好理解的形式或者是比較容易對(duì)比的模式，再進(jìn)行分組求和，最后將所有和都列舉出來，求其總和. 比如，類似于1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n式子的求和，它就有三種解法：并項(xiàng)求和方式，先分別求出奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和，再將兩個(gè)和相減；分組法，將其相鄰的兩個(gè)數(shù)字分成一組，然后計(jì)算出每組的和，發(fā)現(xiàn)每組和的規(guī)律，最后進(jìn)行總體求和，也就是（1-2）+（3-4）+（5-6）+…+[（2n-1）-2n]；構(gòu)造法，構(gòu)造出新數(shù)列，將題目構(gòu)造成我們常見的等差數(shù)列或者是等比數(shù)列，從而進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算，也就是an=（-1）n（n+1）（n從0開始）.

例2 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn（n∈N*），若數(shù)列{an}的各項(xiàng)按如下規(guī)則排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，若存在自然數(shù)k（k∈N*），使Sk<10，Sk+1≥10，則ak=________.

解：

S1= ，S3= + = ，S6= + =3，S10=3+ =5，

S15=5+ = ，而 =3，這樣S21= >10，而

S20= + = + < + =10，故ak= ，所以答案為 .

例題總結(jié)：本例對(duì)于一般學(xué)生來說，并沒有復(fù)雜性，只是將相關(guān)的并項(xiàng)求和方法作為介紹. 在高中數(shù)列求和的過程中，找規(guī)律一直都是解題的第一步，不管是已知條件的規(guī)律，還是要求和題目的規(guī)律，都需要學(xué)生去挖掘和探討. 找到規(guī)律之后，根據(jù)規(guī)律順藤摸瓜，然后繼續(xù)探索題目的奧秘. 規(guī)律是引導(dǎo)我們向著我們熟悉或者是學(xué)過的方向走，簡(jiǎn)化解題方法和步驟，從而正確解決題目.

錯(cuò)位相減法，簡(jiǎn)化求和思路

錯(cuò)位相減法是高中等比數(shù)列求和公式在證明過程中給出的一種方法，對(duì)于錯(cuò)位相減法，學(xué)生應(yīng)該熟練掌握，并學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，在應(yīng)對(duì)類似于等比和等差組合起來的數(shù)列求和的問題時(shí)，錯(cuò)位相減法具有比較實(shí)用的意義. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)該注重對(duì)課本知識(shí)精華的提煉，讓學(xué)生對(duì)其進(jìn)行總結(jié)和吸收，抓住核心，進(jìn)行思維擴(kuò)展和延伸，從而獲得不一樣的知識(shí)體驗(yàn).

理論分析：轉(zhuǎn)換一種角度，轉(zhuǎn)換一種模式，就會(huì)轉(zhuǎn)換出一種思路，轉(zhuǎn)換出一種思想. 在高中數(shù)學(xué)中，等比數(shù)列和等差數(shù)列是基本的數(shù)列，然后由這些基本數(shù)列，又可以轉(zhuǎn)換不同的方式組合成其他比較復(fù)雜的數(shù)列形式. 錯(cuò)位相減法，一般需要將題目中給出的數(shù)列，進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出由等比和等差共同組成的數(shù)列形式，然后設(shè)這個(gè)和為S，由S乘以等比數(shù)列的倍數(shù)，得出qS的值，然后由前一個(gè)S減去后面的qS，得出一個(gè)完全的等比數(shù)列以及其他剩余項(xiàng)的和，最后除以S系數(shù)，就可以得出最后的結(jié)果了.

例3 已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1= ，公比為q= 的等比數(shù)列，設(shè)bn+2=3log an（n∈N*），數(shù)列{cn}滿足cn=an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.

解：根據(jù)題意，an= n（n∈N*），又bn=3log an-2，所以bn=3n-2（n∈N*）. 所以cn=（3n-2）× n（n∈N*），

所以Sn=1× +4× 2+7× 3+…+（3n-5）× n-1+（3n-2）× n，

從而 Sn=1× 2+4× 3+7× 4+…+（3n-5）× n+（3n-2）× n+1，

兩式相減，得出：

Sn= +3 + +…+ -（3n-2）× n+1= -（3n+2）× n+1，所以Sn= - × n.

例題總結(jié)：根據(jù)該題的分析，可以看出，運(yùn)用錯(cuò)位相減法解題，是要構(gòu)造出等比數(shù)列與等差數(shù)列的組合形式，比如An=BnCn，然后設(shè)立出函數(shù)S=B1C1+B2C2+B3C3+…+BnCn，得出等比數(shù)列的公比q，然后得出qS的表達(dá)式，由S-qS，計(jì)算出S的最終計(jì)算結(jié)果. 本題比較鮮明地給出了類似題型的錯(cuò)位相減的計(jì)算方法，這也是作為一個(gè)類型，可以當(dāng)做知識(shí)儲(chǔ)備，以便今后在實(shí)際應(yīng)用中加以利用和分析，得出計(jì)算結(jié)果.

倒序相加法，探尋題目題眼

倒序相加法來源于課本，在推到等比數(shù)列公式的時(shí)候，得出的一種計(jì)算方法. 它是高中數(shù)學(xué)求和計(jì)算方法中比較常見，也比較重要的一種方法，在高考題型中，一般作為壓軸題的解題關(guān)鍵出現(xiàn)，所以學(xué)好倒序相加法，是非常關(guān)鍵，也是非常重要的.

理論分析：倒序相加法，顧名思義，就是將需要求和的表達(dá)式倒過來，然后每項(xiàng)對(duì)比相加. 前提是首先觀察題目，可以發(fā)現(xiàn)首項(xiàng)和尾項(xiàng)相加可以得到一個(gè)常數(shù)或者比較簡(jiǎn)單的計(jì)算式，這樣運(yùn)用倒序相加法才有意義.

例4 請(qǐng)證明：C +3C +5C +…+（2n+1）C =（n+1）2n.

解：由C =C 可用倒序相加法求和

令Sn=C +3C +5C +…+（2n+1）C （1），

則Sn=（2n+1）C +（2n-1）C +…+5C +3C +C （2）. 因?yàn)镃 =C ，

所以（1）+（2）有：2Sn=（2n+2）C +（2n+2）C +（2n+2）C +…+（2n+2）C ，

所以Sn=（n+1）[C +C +C +…+C ]=（n+1）·2n，等式成立.

例題總結(jié)：這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）；

Sn=a1+a2+a3+…+an；

Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+…+a1；

上下相加得到2Sn，即Sn= .

倒序相加法追求的是數(shù)列中第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，然后慢慢向其中靠近的數(shù)學(xué)規(guī)律，它是比較基本的一種數(shù)列求和方法，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須掌握的一種解題方法.

上文提到的數(shù)列求和方法有裂相相消、并項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減、倒序相加這四種. 這四種方法在解答高中數(shù)學(xué)中數(shù)列相關(guān)問題時(shí)具有普遍性和實(shí)用性，數(shù)列求和中，還有直接求和、公式求和、分組求和、歸納猜想、奇偶法等等. 數(shù)列求和時(shí)注意方法的選取，關(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式；求和過程中注意分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用. 在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，需要熟練掌握這些解題方法，并多多練習(xí)，從而構(gòu)建自己的知識(shí)體系結(jié)構(gòu)和解題方法架構(gòu)，從而使得自己能在高考中得心應(yīng)手.

總之，數(shù)列求和相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是需要時(shí)間和經(jīng)驗(yàn)累積的，在長期的訓(xùn)練過程中，才能不斷地發(fā)現(xiàn)問題的突破口，從而找出對(duì)應(yīng)的解題方法. 數(shù)列問題蘊(yùn)涵著非常豐富的數(shù)學(xué)思想，并且也是考核學(xué)生思維的關(guān)鍵問題. 從本文可以看出，數(shù)列求和問題一般與不等式的證明相結(jié)合，并且數(shù)列求和的一般思路，是將數(shù)列轉(zhuǎn)換為我們比較熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列，或者是等差與等比結(jié)合的數(shù)列，而轉(zhuǎn)化的過程，就是數(shù)列求和過程的關(guān)鍵. 在高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和相關(guān)知識(shí)的教學(xué)中，教師可以結(jié)合比較經(jīng)典的例題，運(yùn)用專題教學(xué)的方式，集中講解數(shù)列求和規(guī)律，從而讓學(xué)生對(duì)數(shù)列求和相關(guān)解題方法輕車熟路，成為高考的勝利者.