中職生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)存在的問題及教學(xué)對策

劉美

摘要：數(shù)學(xué)概念是所有數(shù)學(xué)活動的核心，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的基本單位，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一環(huán)節(jié)，是定理、公式、法則的出發(fā)點，又是解決問題的落腳點。本文對中職生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中存在的問題進行分類，并提出了概念教學(xué)的策略。

關(guān)鍵詞：中職生；數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)；教學(xué)對策

中圖分類號：G712 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-5727（2014）03-0071-03

數(shù)學(xué)概念是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反映，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的基本單位，但在整個理論體系中又不是孤立存在的。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一環(huán)節(jié)，是邏輯導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理、公式、法則、通性通法的出發(fā)點，是培養(yǎng)基礎(chǔ)知識和基本技能的核心點，又是解決問題的落腳點。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：教學(xué)中應(yīng)強調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解。所以，數(shù)學(xué)概念是中職生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容之一。

但筆者通過多年的教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，中職學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過程中存在心理認識上的誤區(qū)，并由此導(dǎo)致對數(shù)學(xué)概念理解不夠透徹，從而影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并直接影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

中職生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題類別

在對概念學(xué)習(xí)的心理認識上，有的學(xué)生不重視概念的形成過程，認為只要記住由概念產(chǎn)生的公式、結(jié)論、法則，會用這些結(jié)論解題就可以了。也有學(xué)生雖然重視概念，但只是死記硬背，而沒有真正透徹理解，只機械地學(xué)習(xí)了零碎的片段。所以，總是有一部分學(xué)生感慨，為什么學(xué)新課的時候題目都會做，過了幾天就會忘記；或者概念都能背出來，但拿到題目后不能快速找到解題突破口和關(guān)鍵點。其主要原因是孤立地記某個概念或方法，沒有弄清概念的來龍去脈，更沒有將新的概念納入到原有的知識體系中，所以很容易遺忘。

在對數(shù)學(xué)概念的知識認知上，學(xué)生主要存在以下幾個類型的問題：（1）“模糊不清”型。數(shù)學(xué)中有很多容易混淆的知識點，如果學(xué)生不能真正理解透徹，每次遇到類似知識點都會混淆。比如，三角函數(shù)中由y=sin x的圖像變換至y=Asin（ωx+φ）的圖像，有多種方法可以選擇，學(xué)生對于先橫向壓縮變換再平移變化，和先橫向平移再橫向壓縮，這兩種方法總是混淆不清。又如，對于符號“”的理解，從初中單一的“絕對值”到高中的“距離”、“線段長度”、“復(fù)數(shù)的?！薄ⅰ跋蛄康哪！币约啊皥D像中的f（x）”的理解等等。再如，在計數(shù)法中，相同小球和不同小球的分球問題、信入信箱問題、爭奪冠軍問題等等。（2）“張冠李戴”型。在對概念的綜合應(yīng)用中，因為對概念把握的不夠準(zhǔn)確，經(jīng)常會出現(xiàn)“張冠李戴”現(xiàn)象。比如，在對數(shù)和指數(shù)運算中，對于f（x+y）=f（x）·f（y）和f（x）+f（y）和的應(yīng)用。又如，在剛學(xué)習(xí)過等差和等比數(shù)列后，在做一些綜合題求通項或求和時，容易在不清楚是什么數(shù)列的前提下，隨便拿一個公式套用。（3）“割裂孤立”型。數(shù)學(xué)知識之間是有聯(lián)系的，有其內(nèi)在的知識體系，數(shù)學(xué)概念則是這條主線上的關(guān)鍵連接點。而中職學(xué)生往往機械地“會”某一種題型，并不能理解其前后之間的聯(lián)系。比如，對于不等式x-2+3x≤0，學(xué)生會根據(jù)分類討論求其解集。但若將題目變?yōu)椋阂阎坏仁絰-a+3x≤0的解集為{x|x≤-1}，求a的值，此時有的學(xué)生想繼續(xù)沿用原題的解法，但發(fā)現(xiàn)行不通。說明學(xué)生對于不等式的解集與相應(yīng)方程之間沒有建立關(guān)系，僅僅是孤立地求解不等式或是方程。又如，含有n個元素的子集個數(shù)為2n，這在開始時并沒有給出嚴(yán)格的證明，但在學(xué)習(xí)二項式定理之后，利用賦值法得到C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n，就可以解釋子集個數(shù)為2n這一結(jié)論，從而建立知識之間的交叉聯(lián)系。再如，在學(xué)完拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程后，提出問題：初中所學(xué)的二次函數(shù)y=ax2是我們高中所學(xué)的圓錐曲線嗎？學(xué)生先是一愣，后來才恍然大悟。

教學(xué)對策

教育心理學(xué)家布魯諾指出：獲得知識如果沒有完整的結(jié)構(gòu)將它聯(lián)系在一起，那是一個多半會被遺忘的知識，一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命。因此，概念教學(xué)必須返璞歸真，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中既經(jīng)歷概念的形成過程，又重視概念的同化過程。因此，在日常教學(xué)中，我們應(yīng)做到以下幾點。

在已“知”的前提下，充分調(diào)動學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和積極的學(xué)習(xí)情感 教學(xué)是教師與學(xué)生的雙邊活動，所以教師應(yīng)該在充分吃透教材的前提下，對學(xué)生進行學(xué)情分析，了解學(xué)生已有的“知識儲備”，尋找新概念的生長點和學(xué)生心理認知的最近發(fā)展區(qū)，這一點至關(guān)重要。因為學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，往往是從原有的認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，去認識、理解新的概念。教學(xué)實踐表明，概念學(xué)習(xí)效果的好壞與學(xué)習(xí)者原有的認知結(jié)構(gòu)有很大的關(guān)系，同時教師在對學(xué)情充分了解的情況下，通過積極的情感投入，在很大程度上也能激發(fā)學(xué)生的情感體驗，為課堂教學(xué)奠定情感基礎(chǔ)。

在感“知”的過程中，提供適切的感性材料，增加學(xué)生的認知體驗 數(shù)學(xué)概念是在具體到抽象的過程中形成的，而適切的、直觀的感性材料可以幫助學(xué)生形成鮮明而準(zhǔn)確的知覺表象，同時可以減輕學(xué)生從感知具體事物轉(zhuǎn)向理解抽象概念過程中的負擔(dān)。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)注重對教材的二次開發(fā)，結(jié)合學(xué)生所學(xué)的專業(yè)，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)概念的直觀感性材料，比如通過實物、圖形、符號、模型、實例等所進行的直觀活動，借助學(xué)生已有的直觀經(jīng)驗，喚起學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識和經(jīng)驗，以利于學(xué)生掌握所學(xué)的新概念。在為數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)感性材料時應(yīng)注意：一方面，提供的材料必須能反映數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，具備典型性，換句話說就是有“數(shù)學(xué)味”，不能太花哨，不然會因為無關(guān)因素干擾本質(zhì)屬性的抽象概括。另一方面，在數(shù)量上，感性材料不能太少或太多。太少，學(xué)生對概念的感知不夠充分，難以做出充分的比較分析，也就無法從共性中感悟并提煉概念；太多無關(guān)屬性會得到不恰當(dāng)?shù)膹娀谏w了本質(zhì)屬性。因此，在教學(xué)中，為了豐富學(xué)生的感知體驗，應(yīng)提供適切的感性材料，促使學(xué)生用眼觀察、動腦分析、動手做，在充分調(diào)動已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上感知概念的同化過程，形成認知體驗。

在想“知”的前提下，讓學(xué)生在“說”中概括數(shù)學(xué)概念 數(shù)學(xué)概念是從具體情境中抽象出來，最終又適用于一般情形的數(shù)學(xué)現(xiàn)實。所以，從具體的感性材料中抽象和概括實例的共同屬性是掌握概念的前提和基礎(chǔ)，是概念形成和同化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。從感性材料的不斷加工、抽象和概括，最終上升為理性認識，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，這需要一個過程，對學(xué)生而言是一個難點，也是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個核心點。在已經(jīng)感知具體材料并結(jié)合自己的知識經(jīng)驗后，學(xué)生通常能“意會”材料所蘊含的數(shù)學(xué)概念，但不能恰當(dāng)又全面地表達。這時，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生不要怕說錯，即使說錯也是一種學(xué)習(xí)的體驗，要大膽地說出自己的想法。要在師生交流中不斷捕捉學(xué)生已經(jīng)能夠表達的信息，及時肯定與辨析，同時為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)“腳手架”，適時的啟發(fā)、引導(dǎo)，讓學(xué)生在教師的鼓勵和引導(dǎo)下恰當(dāng)?shù)亍罢f”出所“意會”的數(shù)學(xué)知識，逐步形成理性概括，完成對概念的初步建構(gòu)。教學(xué)實踐表明，如果學(xué)生能夠與教師共同經(jīng)歷概念的感知、抽象并完善過程，他就能不斷使新的數(shù)學(xué)概念在原有的知識體系中“生根”，在同化的過程中形成體系，在后續(xù)的概念理解和應(yīng)用上就更自如。

在辨“知”的過程中，利用正反例，完善對概念的認知 在學(xué)生經(jīng)歷感性材料到理性思維后，形成標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)語言，此時需要通過正例的強化來豐富概念，通過反例的辨析來“精確”概念。正例主要是反映概念的本質(zhì)屬性，分為原型和變式。反例是指不具有概念的本質(zhì)屬性或者是具有概念的部分屬性的實例，是容易與概念發(fā)生混淆的例子。教學(xué)實踐表明，一個正確的認識需要經(jīng)過正反兩方面的比較和鑒別才能確立。在概念形成的初期階段，正例可以強化對概念本質(zhì)屬性的認識與理解，直至概念的形成。而能否舉出符合概念本質(zhì)屬性的實例，是檢查學(xué)生是否理解概念的方法之一。反例則在概念形成的后期階段起到了重要的作用，通過反例的辨析，不斷地對其本質(zhì)屬性進行精確化，能夠強化正確的理解。

在復(fù)“知”的過程中，不斷地回歸、內(nèi)化數(shù)學(xué)概念 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)貫穿在整個學(xué)習(xí)過程之中，需要通過課上、課后、下一次課上，不斷的循環(huán)復(fù)認過程。在課上，經(jīng)歷概念的形成與鞏固，在課后，通過練習(xí)的優(yōu)化設(shè)置，遵循“螺旋上升”的原則，從概念中來，回歸到概念中去。在習(xí)題的設(shè)置上，應(yīng)多設(shè)置一些概念形成過程題，比如為什么要學(xué)習(xí)這個概念，概念是怎樣形成的，用自己的語言描述概念，寫出由概念產(chǎn)生了哪些可用的結(jié)論，在概念應(yīng)用中需注意什么，公式是如何推導(dǎo)并證明的。通過這樣開放性習(xí)題的設(shè)置，學(xué)生才會去思考知識的來龍去脈。在不斷的思考中，建立知識間的聯(lián)系，從而在解題中，根據(jù)一個條件聯(lián)想到一系列的相關(guān)知識，進而篩選對題目有用的結(jié)論，達到對概念的反復(fù)認知，形成系統(tǒng)的認識。教學(xué)實踐表明，學(xué)生在解題過程中，并不能完全記住數(shù)學(xué)概念的標(biāo)準(zhǔn)化語言，而是通過內(nèi)省的、自我組織的語言。如果學(xué)生能用轉(zhuǎn)化后的自我語言再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念，才能真正理解該數(shù)學(xué)概念。所以，教師在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中應(yīng)給學(xué)生提供不斷回歸概念的時間和空間，不斷強化。

在會“知”的前提下，多角度、多方面地形成概念系或概念域 教學(xué)中經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的情形，學(xué)生在學(xué)習(xí)了一個概念之后，具體應(yīng)用這個概念時往往不能準(zhǔn)確選擇和應(yīng)用，可能是因為沒有真正地理解概念，另一個可能的原因就是新的概念在學(xué)生個人的知識系統(tǒng)中沒有形成概念系或概念域，即在學(xué)生頭腦中沒有形成概念網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生不能從多角度、多背景下去表征概念。因此，在教學(xué)中，應(yīng)圍繞某一個核心概念進行多角度、多方面的變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生對于同一個概念的多元表征、準(zhǔn)確識別和應(yīng)用的能力。

總之，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是整個數(shù)學(xué)教學(xué)活動的核心，是所有問題的出發(fā)點，也是解決問題的落腳點。要將課本上冰冷而又簡潔的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)論轉(zhuǎn)化為學(xué)生火熱的思考，需要一個循序漸進的過程。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，應(yīng)根據(jù)課標(biāo)的要求，圍繞核心概念，充分挖掘教材，注重學(xué)生的認知體驗。在了解學(xué)生已“知”的前提下組織感性材料；在共同感“知”中領(lǐng)悟材料的共性，去偽存真；在學(xué)生想“知”中概括提煉新的概念；在辨“知”中爭鳴，完善認識；在復(fù)“知”中不斷回歸；最后，在會“知”中通過系列題組、變式，形成多元表征，形成概念系，最終上升為對概念的理性思維，形成完善的認識。

參考文獻：

[1]肖柏榮.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析[J].數(shù)學(xué)通報，1994（2）.

[2]付燦德.談高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)[J].課程教材教學(xué)研究（中教研究），2011（Z5）.

[3]曹波.高中生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)策略的調(diào)查研究[D].成都：四川師范大學(xué)，2006.

（責(zé)任編輯：謝良才）