淺析天體運(yùn)動(dòng)中的四個(gè)模型

利用萬(wàn)有引力定律分析天體的運(yùn)動(dòng)是高中物理的核心內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)。縱觀各省市歷年考題可知，有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的考查是必有的，考查的角度、形式多種多樣。由此對(duì)天體運(yùn)行的教與學(xué)自然成為師生共同關(guān)注的焦點(diǎn)。

天體運(yùn)動(dòng)核心模型高中物理利用萬(wàn)有引力定律分析天體的運(yùn)動(dòng)是高中物理的核心內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)?？v觀各省市歷年考題可知，有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的考查是必有的，考查的角度、形式多種多樣。由此對(duì)天體運(yùn)行的教與學(xué)自然成為師生共同關(guān)注的焦點(diǎn)。

本人通過(guò)多年的教學(xué)實(shí)際，通過(guò)對(duì)大量學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)情的調(diào)研，總結(jié)歸納出了天體問(wèn)題的四個(gè)模型，可以說(shuō)構(gòu)建四個(gè)模型便可透天體。

第一個(gè)模型是環(huán)繞模型如圖。把天體的運(yùn)動(dòng)看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供了向心力。因此該部分的核心方程為

F引=GMm1r2=GMm1（R+h）2=mg′=ma向=mv21r=mω2r=4π2mr1T2；

在中心天體表面上，且忽略中心天體的自轉(zhuǎn)時(shí)有F引=GMm1R2=mg；

對(duì)中心天體有M=ρ4πR313。其中M、R、ρ、g表示中心天體的質(zhì)量、半徑、密度、中心天體表面上的重力加速度，關(guān)于中心天體的這些量都可以成為被求的量；其中m、r、v、T、ω、h表示環(huán)繞天體的質(zhì)量、軌道半徑、線速度、周期、角速度、環(huán)繞天體距中心天體表面的高度，環(huán)繞天體的質(zhì)量m是無(wú)法分析，而r、v、T、ω、h都可成為被求量，r是核心的環(huán)繞量。分析該類(lèi)問(wèn)題時(shí)，畫(huà)好環(huán)繞模型，明確已知的環(huán)繞天體量及中心天體量，明確要求的是環(huán)繞天體量還是中心天體的量，把環(huán)繞模型作為構(gòu)思的載體，便可快速選取出相應(yīng)的公式求之。

第二個(gè)模型是變軌道模型如圖。1、3軌道為勻速圓周運(yùn)動(dòng)的低軌道和較高軌道，2軌道是橢圓軌道，A、B為軌道的相切點(diǎn)。在1軌道上萬(wàn)有引力恰好全部提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在A點(diǎn)突然加速，機(jī)械能突然增大，萬(wàn)有引力小于所需的向心力，便做離心運(yùn)動(dòng)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)；由A點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程中，動(dòng)能減小，重力勢(shì)能增大，機(jī)械能不變，這便是天體由低軌道向高軌道躍遷的規(guī)律；在B點(diǎn)萬(wàn)有引力大于所需的向心力，便做向心運(yùn)動(dòng)由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，該過(guò)程動(dòng)能增大，重力勢(shì)能減小，機(jī)械能不變，這便是天體由高軌道向低軌道躍遷的規(guī)律；由此環(huán)繞天體的軌跡便是一個(gè)橢圓軌道如圖2。若在B點(diǎn)突然加速，使所需的向心力恰好等于萬(wàn)有引力，則環(huán)繞天體便在軌道3上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。以上便是由較低軌道1變軌為較高軌道3的過(guò)程，相反若由較高軌道3變軌為較低軌道1，只需在B點(diǎn)、A點(diǎn)恰當(dāng)減速便可。縱觀1、2、3軌道，它們有這樣的關(guān)系，速度大小關(guān)系為v2A>v1>v3>v2B，能量關(guān)系為E1a2B=a3。其實(shí)衛(wèi)星的發(fā)射與回收的過(guò)程也遵守以上規(guī)律。遇到變軌道問(wèn)題，對(duì)應(yīng)好變軌道模型，選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌确治雠卸ā?/e2

第三個(gè)模型是同步衛(wèi)星模型。如圖地球質(zhì)量為M，半徑為R，赤道地面上的物體1隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)；近地衛(wèi)星2環(huán)繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)；同步衛(wèi)星3也做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，并且相對(duì)地面靜止。假設(shè)1、2、3的質(zhì)量都為m，它們雖然都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其規(guī)律既有聯(lián)系又有區(qū)別，可通過(guò)對(duì)比法理解掌握。對(duì)物體1來(lái)講，F(xiàn)=GMm1R2>>F向心=mv211R=mω21R=m4π2R1T21，萬(wàn)有引力遠(yuǎn)大于隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力。對(duì)近地衛(wèi)星2來(lái)講，F(xiàn)=GMm1R2=F向心=mv221R=mω22R=m4π2R1T22，萬(wàn)有引力全部提供了向心力。對(duì)同步衛(wèi)星3來(lái)講，F(xiàn)=GMm1r2=F向心=mv231r=mω23r=m4π2r1T23，萬(wàn)有引力也是全部提供了向心力。對(duì)比1、2、3可知它們的向心加速度關(guān)系是a1

例題：關(guān)于“亞洲一號(hào)”地球同步通訊衛(wèi)星，下述說(shuō)法正確的是（）

A.已知它的質(zhì)量是1.24 t，若將它的質(zhì)量增為2.84 t，其同步軌道半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

B.它的運(yùn)行速度為7.9 km/s

C.它可以繞過(guò)北京的正上方，所以我國(guó)能利用其進(jìn)行電視轉(zhuǎn)播

D.它距地面的高度約為地球半徑的6倍，所以衛(wèi)星的向心加速度約為其下方地面上物體的重力加速度的1149

解析：所謂地球同步衛(wèi)星是指相對(duì)于地面靜止的人造衛(wèi)星，它的周期T=24h.要使衛(wèi)星同步，同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方某一確定高度h.由GMm1（R+h）2=m4π21T2（R+h）得h=314π21GMT2-R=3.6×104km=5.6R，R表示地球半徑。答案選D。

第三個(gè)模型是雙星模型如圖。兩天體m1、m2繞著它們連線上的一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，它們間的萬(wàn)有引力提供了各自的向心力，分析它們的規(guī)律是 F=Gm1m21L2=F向心=m1v211R1=mω21R1=m4π2R11T21=m2v221R2=mω22R2=m4π2R21T22。

由此可見(jiàn)在雙星模型中，它們的周期、角速度都相等，質(zhì)量大的天體半徑、線速度都小，質(zhì)量小的天體半徑、線速度都大。

例題：雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過(guò)程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的k倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：

A.n31k2TB.n31kTC.n21kT D.n1kT

解析：由萬(wàn)有引力提供向心力有Gm1m21L2=m1r1（2π1T）2，Gm1m21L2=m2r2（2π1T）2，又L=r1+r2，M=m1+m2，聯(lián)立以上各式可得T2=4π2L31GM，故當(dāng)兩恒星總質(zhì)量變?yōu)閗M，兩星間距變?yōu)閚L時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的周期T'變?yōu)閚31kT，本題選B。

由以上分析可知，只要把握好天體中的環(huán)繞模型，變軌道模型，同步衛(wèi)星模型，雙星模型這四個(gè)經(jīng)典模型，對(duì)于天體問(wèn)題，便可輕松入手，迎刃而解。模型法解題是一種科學(xué)有效的解題方法。