用已知求未知

劉正權(quán)

一、含參不等式的解法

1.分類(lèi)討論

如果想要解不等式ax2-2（a+1）x+4>0，首先需要討論x2項(xiàng)的系數(shù)，看它是不是等于0，如果a=0，那么原不等式就可以被寫(xiě)成-2x+4>0，解這個(gè)不等式可以得到x<2；如果a≠0，此不等式為二次不等式，把這個(gè)不等式整理之后可以得到（x-2）（ax-2）>0，這個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的方程的兩個(gè)根為2和21a，緊接著就要對(duì)a進(jìn)行討論.在這道題目中參數(shù)有兩方面的影響，一方面參數(shù)的值能夠決定不等式的類(lèi)型，再者參數(shù)的值能夠影響到不等式解的大小，所以必須進(jìn)行分類(lèi)討論，但在解題的過(guò)程中需要注意的一點(diǎn)就是，要通過(guò)對(duì)參數(shù)的討論去確定不等式的解，而不是要通過(guò)不等式的解去看如何對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.

2.變換主元

已知一個(gè)不等式2x-1>m（x2-1），如果m滿(mǎn)足|m|≤2，那么這個(gè)不等式恒成立，試求x的范圍.已知m的取值范圍，想要求的是x的取值范圍，這時(shí)就可以采用變換主元的方法，把這個(gè)不等式變形之后得到m（x2-1）-（2x-1）<0，這個(gè)不等式在|m|≤2的時(shí)候是恒成立的.下面構(gòu)造一個(gè)自變量為m的函數(shù).令f（m）=m（x2-1）-（2x-1），在|m|≤2即-2≤m≤2時(shí)，函數(shù)的值是小于0的，也就是說(shuō)f（-2）小于0，f（2）也小于0，通過(guò)這兩個(gè)條件可以解得x的范圍.

3.數(shù)形結(jié)合

如果不等式|3x+6|+1≥ax是恒成立的話(huà)，試求a的取值范圍.可以把這個(gè)不等式的兩端看成是兩個(gè)函數(shù)，f（x）=|3x+6|+1，g（x）=ax，可以在同一個(gè)坐標(biāo)系中把這兩個(gè)函數(shù)的圖像畫(huà)出來(lái)，根據(jù)圖像可以知道直線(xiàn)的斜率只有在一個(gè)范圍內(nèi)才可以使不等式恒成立.利用數(shù)形結(jié)合的方法處理不等式的問(wèn)題是非常直觀的，但是如果想要得到準(zhǔn)確的結(jié)果首先需要確保所畫(huà)的函數(shù)的圖像是正確的.

二、利用導(dǎo)數(shù)解決含參問(wèn)題

1.利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)的單調(diào)性

利用導(dǎo)數(shù)去求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，事實(shí)上只需要解f′（x）>0，f′（x）<0時(shí)x的值.首先必須想辦法求出f′（x），此時(shí)如果f′（x）可以實(shí)現(xiàn)因式分解的話(huà)，就先把它進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)兩根的大小去對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，如果不能進(jìn)行因式分解，就需要進(jìn)行分類(lèi)討論了.比如已知一個(gè)函數(shù)是f（x）=ln2x-ax，試求這個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.首先對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，f′（x）=11x-a（x>0）， 因?yàn)閤>0，所以11x>0，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）>0，也就是說(shuō)當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增的.如果a>0，首先令f′（x）=0求出相應(yīng)的x值，x=11a，如果00，此時(shí)函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增的.如果x>11a，那么f′（x）<0，此時(shí)函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減的.

2.利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的最（極）值

在利用導(dǎo)數(shù)對(duì)含參函數(shù)的最（極）值進(jìn)行研究的過(guò)程中，分類(lèi)討論思想是經(jīng)常需要用到的.比如，求函數(shù)f（x）=ln2x-ax（a>0）在區(qū)間[1，2]內(nèi)的最小值.首先對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，f′（x）=11x-a（x>0），令f′（x）=0得x=11a，當(dāng)11a≤1時(shí)得到a≥1，此時(shí)f′（x）<0，也就是說(shuō)函數(shù)在區(qū)間[1，2]內(nèi)是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]內(nèi)的最小值為f（2）=ln4-2a，當(dāng)11a≥2時(shí)，得到a≤112，此時(shí)f′（x）>0，也就是說(shuō)函數(shù)在區(qū)間[1，2]內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]內(nèi)的最小值為f（1）=ln2-a.當(dāng)1<11a<2時(shí)，得到1120，函數(shù)在區(qū)間[1，11a]內(nèi)是單調(diào)遞增的，如果11a≤x<2，那么f′（x）<0，函數(shù)在區(qū)間[11a，2]內(nèi)是單調(diào)遞減的，同理可求得函數(shù)的最值.

3.利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的恒成立問(wèn)題

如果所研究的范圍問(wèn)題具有函數(shù)背景，首先需要根據(jù)已知的條件把所要求的變量跟某個(gè)已知變量建立函數(shù)關(guān)系.比如，已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t），令f（x）=a·b，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）的范圍內(nèi)是增函數(shù)，試求t的范圍.根據(jù)向量的數(shù)量積公式可以得到f（x）的表達(dá)式f（x）=-x3+x2+tx+t，對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)可以得到f′（x）=-3x2+2x+t，由題意可以知道函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）的范圍內(nèi)是增函數(shù)，也就是說(shuō)f′（x）>0變形得2x2-2x≤t，接下來(lái)就需要解這個(gè)不等式，需要讓這個(gè)不等式在區(qū)間（-1，1]內(nèi)恒成立.

（責(zé)任編輯金鈴）