平行四邊形宜為特殊的梯形

王全夫

[摘 要] 平行四邊形無論從圖形所具有的性質(zhì)與圖形的運動軌跡，還是從知識的邏輯性與知識研究過程，或者從分類學與數(shù)學的簡約性角度來看，把它歸為特殊的梯形比較有利.

[關(guān)鍵詞] 平行四邊形；特殊；梯形

“平行四邊形是特殊的梯形嗎？”“有一組對邊平行的四邊形是梯形嗎？”為了回答以上兩個問題，筆者查閱了有關(guān)資料. 在現(xiàn)行的中小學數(shù)學教材中，平行四邊形與梯形這兩個概念大多這樣定義：“兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形；只有一組對邊平行的四邊形叫梯形. ”（人教版四上《數(shù)學》第71頁）“有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.”“一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形. ”（人教版八下《數(shù)學》第83頁與106頁）其他版本的中小學數(shù)學教材與教學輔導(dǎo)用書中大多也都類似這樣定義. 按照這樣的定義，平行四邊形和梯形是兩個完全不同的概念，這兩個概念之間是一種并列關(guān)系，完全沒有相交或者包含的可能. 顯然，前面兩個問題的答案應(yīng)該都是否定的. 其實，在大多數(shù)數(shù)學教材中，為了讓學生能夠清楚地區(qū)分這兩個概念，教材還特意采用集合圖的形式對平行四邊形不是特殊的梯形進行了區(qū)別，以加深學生對這兩個概念的理解.

然而，從長期的教學實踐以及對以上兩個問題的深入思考，筆者總覺得現(xiàn)行教材中對梯形的定義并不是十分貼切，總感覺平行四邊形宜為特殊的梯形較為妥當. 現(xiàn)將筆者認為“平行四邊形宜為特殊的梯形”的理由簡述如下.

（1）從圖形所具有的性質(zhì)來看，平行四邊形宜為特殊的梯形. 眾所周知，梯形的面積計算公式（（上底+下底）×高÷2或中位線×高）、周長計算公式（四條線段的和）、內(nèi)角和（360°）等，梯形所具有的一些公式、性質(zhì)，平行四邊形也都具有. 因此，平行四邊形宜為特殊的梯形，即平行四邊形為上底與下底相等的特殊梯形.

（2）從圖形的運動軌跡角度來看，平行四邊形宜為特殊的梯形. 如圖1所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB

（3）從知識的邏輯性角度來講，平行四邊形宜為特殊的梯形. 四邊形按對邊是否平行的情況可分為：0組對邊平行的四邊形（即一般的四邊形）、只有一組對邊平行的四邊形（即梯形）、有兩組對邊分別平行的四邊形（即平行四邊形）. 這從分類學的角度來講是可以的，但從知識的邏輯性角度來講，就并不怎么貼切了. 我們知道，兩組對邊分別平行應(yīng)該是一組對邊平行的特殊情況（即在四邊形范圍內(nèi)，一組對邊平行包括只有一組對邊平行與有兩組對邊分別平行兩種情況），而一組對邊平行又是任意四邊形的特殊情況（即任意四邊形包括有一組對邊平行與沒有對邊平行也就是0組對邊平行兩種情況）. 也就是說，按照原來的平行四邊形與梯形的定義，平行四邊形與梯形還應(yīng)有一個共同的上位概念——有一組對邊平行的四邊形（目前暫沒有命名這一上位概念，而被大多數(shù)人認為它們的上位概念都是四邊形，這是不妥當?shù)模? 其實，符合這一條件的上位概念應(yīng)該就是梯形本身，也就是說平行四邊形應(yīng)是特殊的梯形.

（4）從知識研究過程的角度來看，平行四邊形宜為特殊的梯形. 大家知道，我們研究事物經(jīng)常用到的方法是從特殊到一般，然后用一般的方法或結(jié)論去解決特殊的問題. 對于四邊形的研究，我們是從正方形（特殊的長方形）與長方形（特殊的平行四邊形）開始，接著是平行四邊形（特殊的四邊形），然后是梯形（特殊的四邊形）. 也就是說，如果我們對四邊形的研究采用常用方法（即從特殊到一般：正方形——長方形——平行四邊形——梯形——四邊形）的話，那么，平行四邊形就宜為特殊的梯形.

（5）從分類學的角度來看，平行四邊形宜為特殊的梯形. 大家知道，對事物（知識）進行分類，主要是為了讓人們能夠更好地認識事物（知識），理清各種事物（知識）之間的關(guān)系，使事物（知識）系統(tǒng)化. 分類有一些原則，即不重復(fù)、無遺漏、標準統(tǒng)一、逐層劃分等. 然而，人們在對事物（知識）分類時，習慣于將事物（知識）分為兩類（即非此即彼），因為這樣分類便于將事物（知識）進行歸類與記憶. 例如將實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，將有理數(shù)分為整數(shù)與分數(shù)兩類，將圖形分為平面圖形與立體圖形兩類等. 因此，最好將四邊形分為一般的四邊形與梯形兩類，也就是說，將平行四邊形歸為特殊的梯形，而并非現(xiàn)行教材中的三類，即四邊形包括一般的四邊形、平行四邊形與梯形.

（6）從數(shù)學的簡約性角度來看，平行四邊形宜為特殊的梯形. 數(shù)學是把人們在日常生活中的眾多生活現(xiàn)象進行高度抽象、概括、簡化的結(jié)晶，因此，數(shù)學具有簡潔性，而且，隨著人類對數(shù)學研究的不斷深入，數(shù)學內(nèi)容將會越來越概括，越來越簡潔. 把平行四邊形歸為特殊的梯形，就可以使四邊形的分類由目前的一分為三（即四邊形包括一般的四邊形、平行四邊形與梯形）簡化為將來的一分為二（即四邊形包括一般的四邊形與梯形），這樣便于學生的研究與記憶.

綜上所述，平行四邊形宜為特殊的梯形. 也就是說，梯形應(yīng)定義為：有一組對邊平行的四邊形叫做梯形（即把原來梯形定義中的“只有”改為“有”，這樣平行四邊形就隸屬于梯形的范疇）.平行的一組對邊叫做梯形的底（其中一條邊叫做上底，另一條邊叫做下底），另一組對邊叫做腰. 兩腰相等且相鄰內(nèi)角相等的梯形叫做等腰梯形. 有一只角是直角的梯形叫直角梯形（即正方形與長方形也可以理解為特殊的等腰梯形或特殊的直角梯形）.

以上是筆者的一點想法與認識，如有不妥，敬請各位專家、同行批評指正.