探究線段最大值：把“折線段”拉直

周時和

[摘 要] 本文結(jié)合一道九年級期中考題，交流探究線段最大值的求解策略，并鏈接講解一道中考試題，嘗試原創(chuàng)一道類似的考題. 筆者在這一類題的討論中，感悟出求線段最大值的一種策略：把“折線段”拉直.

[關(guān)鍵詞] 線段最大值；折線段；拉直

初中幾何常常有探究線段的最小值問題，這類問題往往要轉(zhuǎn)化為一些常見的幾何模型，如“兩點之間，線段最段”“垂線段最短”“軸對稱最值模式”等. 比較而言，不少學(xué)生在探究線段最大值問題往往感到困難，很難找到直接套用的模式，不能實現(xiàn)問題的有效轉(zhuǎn)化. 本文結(jié)合近期九年級一道期中考題，交流探究線段最大值的一種常見策略：把“折線段”拉直.

例題？搖 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A，B分別在x軸、y軸的正半軸上，且AB=10，點M為線段AB的中點.

（1）如圖1所示，線段OM的長度為_______.

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（2）如圖2所示，以AB為斜邊作等腰直角三角形ACB，當(dāng)點C在第一象限時，求直線OC所對應(yīng)的函數(shù)解析式.

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（3）如圖3所示，設(shè)點D，E分別在x軸、y軸的負(fù)半軸上，且DE=10，以DE為邊在第三象限內(nèi)作正方形DGFE，請求出線段MG長度的最大值.

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思路突破 前兩問比較簡單，屬于基礎(chǔ)考查和預(yù)熱階段. 第（2）問，在圖2中，可過點C分別作CP⊥x軸于點P，CQ⊥y軸于點Q. 易證△BCQ≌△ACP，所以CQ=CP. 結(jié)合點C在第一象限，可設(shè)C點的坐標(biāo)為（a，a）（其中a>0）. 設(shè)直線OC所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=kx，則a=ka，解得k=1，所以直線OC所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x.

下面著重探究第（3）問. 但在探討第（3）問之前，我們先試著理解下面這樣一個“引例”：

引例？搖 如圖4所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，點A，B分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點B隨之在y軸上運動，在運動過程中，點C到原點的最大距離是（ ？搖？搖）

A. 2■+2？搖？搖 B. 2■

C. 2■？搖？搖？搖 ？搖D. 6

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講解 如圖5所示，取AB的中點M，連OM，CM，顯然OC

可以發(fā)現(xiàn)，在“引例”中，我們獲得一種利用共線求得線段最大值的模型. 現(xiàn)在，我們再回到例題（3）中來，如圖7所示，OM為定值5（第（1）問已求），可見，當(dāng)OG取得最大值，且O，M，G取得最大值（三點共線）時，MG取得最大值.

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如圖8所示，取DE的中點N，連結(jié)ON，NG，OM，ON=5，NG=5■.

如圖9所示，當(dāng)M，O，N，G四點共線時，MG最得最大值，最大值為10+5■.

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解后反思 上述利用折線段拉直獲得線段最大值的思路，讓我們想起一些變式問題，不妨鏈接如下，供研討.

鏈接1：（2011年江蘇泰州中考）如圖10所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C，D都在第一象限.

（1）當(dāng)∠BAO=45°時，求點P的坐標(biāo).

（2）求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上.

（3）設(shè)點P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由.

思路講解 限于篇幅，前兩問不述. 第（3）問“點P到x軸的距離h的取值范圍”的難點之一即是OP最大值問題. 只要取AB的中點M，當(dāng)點O，M，P三點共線時，OP取得最大值a，即此時h的最大值為■a .由于正方形ABCD的一個頂點（A或B）可以無限接近坐標(biāo)原點（但不能到達），所以沒有最小值，只會接近■a.

鏈接2：（筆者原創(chuàng)）如圖11所示，在邊長為2的正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，以D為圓心、DB長為半徑作弧交CA延長線于點E，連結(jié)DE，BE.

（1）求證：△BDE是等邊三角形.

（2）以點D為中心，把△CDE順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°<α≤360°）得到△C′DE′. 若點P是邊C ′D上任意一點，在旋轉(zhuǎn)過程中，試探究BP有沒有最大（?。┲? 如果有，直接寫出最大（?。┲?；如果沒有，說明理由.

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思路講解 （1）略. （2）點P運動到C′處，且旋轉(zhuǎn)到直線BD上時有最大（?。┲? 相應(yīng)的有最大值2■+2和最小值2■-2.