“錯誤”因干預而美麗

賈春波 許曉鋁

[摘 要] 學習“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”時，筆者以此單元例題教學的前后順序為線索，收集了學生學習過程中的一些錯誤，并通過統(tǒng)計、訪談等方式對不同的錯因提出了不同的干預策略.

[關鍵詞] 小學數(shù)學；錯例分析；干預措施

■ 緣起

計算教學是支撐小學數(shù)學的最基本框架，占據(jù)著小學數(shù)學一半以上的教學時間，“筆算除法”是計算教學中的重點和難點. 筆者發(fā)現(xiàn)，學生在學習“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”時，時常出現(xiàn)這樣或那樣的錯例，有些錯誤即使教師一再強調，學生還是照樣出現(xiàn)，更為奇怪的是，幾乎每屆的學生都會犯此類相同的錯誤.

因此，為了幫助學生克服筆算除法學習中所遇到的困難，筆者對學生在學習“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”中面臨的困難、計算出現(xiàn)的錯誤類型、錯誤產(chǎn)生的原因等進行了深入分析，并根據(jù)這些錯因在課堂教學中采取“合理、有效干預”的措施，從而實現(xiàn)有效教學.

■ 錯例、成因和干預措施

（一）“直接口算”（如教材最先安排的兩個例題）

例題1？搖 42÷2？搖？搖？搖？搖 52÷2

典型錯例 （如圖1和圖2）

錯因分析？搖？搖（1）計算結果比較容易得到

要求學生先嘗試計算42÷2時，很多學生能夠用口算的方法直接找到計算的結果21，于是認為不需要通過筆算除法的方法得到結果，也就是說，學生認為，與其用筆算除法進行計算，不如用口算得到21，所以學生所寫的豎式只不過是口算結果的表達.

（2）受表內(nèi)除法筆算方法的負遷移

學生嘗試計算42÷2時，它原有的知識經(jīng)驗是三上的“有余數(shù)除法筆算方法”. 有余數(shù)的豎式筆算只需一步就可以了，即先確定商，再用除數(shù)和商相乘，最后相減. 而42÷2需要兩步才能完成，即先要把十位上的4個十平均分成2份，分完后再分個位上的2個一. 學生不明就里，直接得出結果21也是情有可原. 但他們會把這種經(jīng)驗推廣到52÷2.

（3）算理不明，算法不清

學生只是套用筆算除法的形式，對于筆算除法的算理不清，這就是我們通常所說的“沒學會”. 由于學生根本沒有弄明白這樣計算的道理，算理不明確，從而導致計算錯誤.

教學干預策略：調整教學順序，感悟必要性，減少錯誤

“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”不僅需要學生掌握筆算除法的過程、理解每個步驟的算理，還要體會規(guī)范豎式的優(yōu)勢，基于學生以上的典型錯例，我覺得教學這部分內(nèi)容時可以：

（1）讓學生感悟到“筆算除法分兩步算”的必要性

改變例題1中“42÷2”和“52÷ 2”的先后順序. 從學生的訪談中可知，由于學生能夠一眼看出42÷2的結果，所以學生無法感悟到兩步的必要性和優(yōu)越性. 因此，在實際的教學中，筆者先教學“52÷2”. 雖然有一部分學生也能通過口算得到結果，但很多學生無法直接得到，此時教師提供操作材料“52根小棒（5捆+2根）”，讓學生操作. 分法一，有的學生先分2根，再分4捆，最后拆開1捆，分3步得到結果26；分法二，先分4捆，再拆開1捆變成10根，并和2根合在一起成為12根，只需2步便得到結果26. 然后，讓學生說一說、議一議這兩種分法，讓他們在交流中取得共識——分法二中的“1捆變成10根，并和原來的2根合起來后再分”比較簡單. 最后，讓學生根據(jù)分法二的步驟寫一寫筆算除法的步驟.

這樣既解決了學生為什么要從高位除起的原理，又讓學生感悟了除法筆算中分步“算”的必要性. 經(jīng)過上述過程，再一次嘗試“42÷2”時，直接寫出得數(shù)的人數(shù)就大大減少了.

（2）在操作中感悟“分兩步算的算理”

從知識角度來看，除法豎式是一個抽象的計算過程，學生需要按照“商、乘、減、比”等一系列程序步驟后才能完成，這個過程本身的難度會導致學生對筆算除法的理解存在一定的困難. 根據(jù)布魯納的認識表征理論，學習者學習時需要經(jīng)歷“動作性表征—映象性表征—符號性表征”，因此初次學習“52÷2”時，需要學生對分的步驟進行操作：第一步，將5捆小棒平均分成2份，每份2捆，還剩一捆；第二步，把剩下的1捆小棒打開，并和2根合在一起成為12根，接著平均分成2份，每份6根，最后把2捆和6根合起來是26根. 上述由操作步驟過渡到分圖形，再抽象成豎式的步驟，形成了“動作—圖形—符號”之間的轉換，達到了以動作感悟、圖形內(nèi)化、符號抽象的教學目的.

（3）在比較溝通中明確“分兩步算”的算法

①正確計算方法和錯誤計算方法之間的對比

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學生出現(xiàn)以上錯誤，主要原因是很多學生能夠用口算的方法直接找到計算的結果21，所寫的豎式只不過是口算結果的表達，所以學生就直接一步到位，根本不知其中之算理——先分十位上的數(shù)，再分個位上的數(shù).

②“52÷2”與“42÷2”正確算法之間的對比

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以上兩個筆算的相同之處都是分兩步進行計算，先算十位，再算個位，不同的是，“42÷2”的十位沒有余數(shù)，算完十位后直接算個位就可以了，而“52÷2”的十位上有余數(shù)，所以應該把十位上余下的數(shù)和個位合起來繼續(xù)算.

（二）“試商錯誤”（如教材安排的例3）

例題2？搖 238÷6

典型錯例

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錯因分析？搖 筆算238÷6時，有一部分學生會出現(xiàn)上面的豎式形式，為什么會出現(xiàn)以上的試商錯誤呢？主要是因為學生對乘法口訣掌握得不夠熟練，以及沒能很好地掌握“余數(shù)小于除數(shù)”的知識點.

教學干預策略：夯實基礎，增強記憶，減少錯誤

（1）保證每個學生都能熟練地記憶乘法口訣

表內(nèi)乘法口訣是解決“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”中試商的基石，因此，在開學初我就進行“重過表內(nèi)乘法口訣關”的數(shù)學活動，采用教師抽查、同桌互查的方法，讓每個孩子對每句口訣都能達到脫口而出的狀態(tài)，保證在試商時提取“數(shù)字性事實”的最大可能.

（2）多做“（ ？搖）里最大能填幾”的練習

采用“（？搖 ）里最大能填幾”的練習，能幫助學生在試商中靈活地提取“數(shù)字性事實”，解決試商的困難. 在試商教學中，教師要溝通與“（？搖 ）里最大能填幾”之間的練習，激發(fā)學生已有的知識經(jīng)驗. 如“477÷9”，試商十位時，其實就是在解決（？搖 ）×9<47，因此，在學習“除數(shù)是一位數(shù)的除法”這一單元伊始，每節(jié)課的前3分鐘我都會讓學生快速地計算6道類似的試題.

在“重過口算關”和“（ ）里最大能填幾”兩類數(shù)學活動中，筆者特別重視與6，7，8，9這4個數(shù)字相關口訣的練習，因為根據(jù)以往的教學經(jīng)驗，學生特別容易弄錯與這4個數(shù)字相關的口訣. 通過這種方式，能達到夯實基礎、增強記憶、減少錯誤的目標.

（三）“有關0的錯誤”

1. 商中間有0的錯誤（如教材的例6和例7）

試題3？搖 309÷3 ？搖832÷4

典型錯例？搖 （如圖8）被除數(shù)中間有0，商中間也有0：

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（如圖9）被除數(shù)中間沒有0，商中間有0：

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錯因分析？搖 產(chǎn)生圖9錯誤的原因是沒有解決好圖8中的試題，所以，要特別重視圖8試題的干預. 下面以圖8試題的錯例分析和干預為主.

（1）自認為可以不寫“0”：學生覺得“0除以任何不為0的數(shù)都得0，所以計算時可以省略”，所以把103寫成了1□3，但其實他們知道“1□3”代表103.

（2）漏寫“0”：有一部分學生知道算法，但在具體操作中卻忘了“商”上要補“0”. 這部分學生當知道錯誤后，會馬上知道錯在哪兒. 另外，計算“832÷4”時，學生很容易忘記3÷4不夠除，需用“0”來占位.

（3）不知道怎么處理“0”：當除到309的十位時，由于百位剛好除盡，看到被除數(shù)十位上是“0”，他們不知道怎么處理了，直接跳過了十位，去除個位. 這部分學生大多不理解算理，他們覺得1□3就等于13.

教學策略：嘗試體驗，對比辨析

（1）在錯誤與正確的對比中理解算理

①先嘗試解決309÷3.

②整體呈現(xiàn)正確和錯誤的解題方法.

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③學生交流.

（估算并判斷哪些是錯誤的，你是怎么判斷的）

生：商是13的這些題肯定錯了，因為309÷3≈100.

（圖10與圖11有什么相同和不同的地方）

生：結果是相同的，過程不同. 圖10有十位0÷3=0這個過程，而圖11的豎式中卻沒有.

師追問：為什么可以省略呢？

生：因為0÷3等于0.

師追問：過程可以省去，但十位上的商怎么辦？

生：過程可以省，但十位上的商不能省，如果省了，就會變成13.

師：這么一討論，我們知道了正確的計算方法，那你知道圖13錯在哪兒了嗎？

生：圖13把十位上0÷3的過程省略了，也把商0的過程省略了.

（教師讓學生訂正圖12和圖13中的錯誤）

④得出結論：除到哪一位，商寫在那一位上. 如果是“0”就用“0”占位.

？搖（2）尊重規(guī)律，包容差異

在學生開始學習除法豎式計算的一段時間內(nèi)，分拆的策略還不穩(wěn)固，分拆的過程還不是非常熟練，特別是商中間有0的筆算除法的簡化寫法（如圖11），它是在圖10的基礎上簡化而來的，所以學生要把這種簡化的規(guī)則納入自己的知識結構中是一個逐步建構的過程，而且學生對新知識的接受過程存有差異，所以我們要允許學生出現(xiàn)這些類似的看似煩瑣卻合理的計算過程. 學生主動建構的過程不能一蹴而就，而是需要一定的時間，有的學生甚至需要更長的時間. 如果教師一味地追求形式簡潔，很可能會造成學生建構過程中某個部分的缺失或不正確.

（3）加強商的估算意識和方法，養(yǎng)成良好的學習習慣

教師可用估算的方法培養(yǎng)學生判斷商是幾位數(shù)，商大概等于多少. 有了這種意識和能力，出現(xiàn)“309÷3=13”的可能性就會比較小. 因此，在教學中，教師要抓住機會培養(yǎng)學生的這種意識和能力. （解決圖9中錯誤的方法基本與上述相同，此處不再累述）

2. 商末尾有0的錯誤（如教材例6安排的第二個例題）

試題4？搖 420÷3 310÷8

典型錯誤

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錯因分析？搖 對于圖14，被除數(shù)是三位數(shù)，最后一位是0，當除到被除數(shù)的十位正好除盡時，不再往下除了. 此題錯在商沒有寫完整，當十位除盡時，個位如果是0，就要在商的個位上寫0. 學生沒有很好地理解，當被除數(shù)某一位上的數(shù)是0時，且前面沒有余數(shù)時，除到這位時商要用0占位. 對于圖15，受圖14思維的負遷移，不管十位除后有沒有余數(shù)，直接在個位上寫上0.

教學干預：自我辨析，對比錯誤

學生已經(jīng)有了“商中間有0”的學習經(jīng)驗，對于這一類錯誤的糾正，教師應放手讓學生去辨析. 教師應提供足夠的空間和時間，通過問題的引領，引導學生進行自我糾正，步驟如下：

（1）提供錯例.

（2）快速判斷正確與否. （讓學生感悟用估算方法進行判斷的優(yōu)越性，以此培養(yǎng)其估算意識）

（3）自己做一做這個題目，與它對比一下.

（4）集體交流這個題目錯在哪兒.

■ 兩點感悟

1. 計算錯誤是好的教學資源

出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤很正常，因為它們是學生在學習“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”中一個積極思考的表現(xiàn). 這些不成熟的思維或行為中存在很多積極的因素. 教師需要做的工作是根據(jù)學生的這些錯誤，通過統(tǒng)計、調查、訪談等方式找到真實的錯因，根據(jù)這些錯因采取不同的方法，以取得有效的效果.

2. 不同的錯因要有不同的干預策略

不同錯因引發(fā)的錯題要采取不同的干預措施. 比如，錯題是因為基礎不扎實、經(jīng)驗負遷移且錯誤人數(shù)很多等所引起的錯誤，可以采用提前干預的策略，因為首次成功的教學才是最有效的教學. 而對于常犯的錯誤，可以采用適時干預、對比感悟的方式，因為訂正錯誤僅僅靠教師正面示范是不夠的，需要學生一個自我否定的空間和時間.