基于同步擠壓和時(shí)間窗的時(shí)變結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別

劉景良, 任偉新，, 王佐才

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075；2.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

引 言

作為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，損傷識(shí)別研究已成為土木工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。實(shí)際工程結(jié)構(gòu)在服役期限內(nèi)受到工作荷載或極端荷載作用時(shí)，其損傷不可避免且不斷累積，本質(zhì)上屬于時(shí)變和非線性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。時(shí)變結(jié)構(gòu)的損傷是一個(gè)由輕微損傷到嚴(yán)重?fù)p傷的漸變過(guò)程，在此過(guò)程中，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性隨時(shí)間不斷變化，其響應(yīng)信號(hào)呈現(xiàn)非平穩(wěn)性。采用信號(hào)處理與分析的方法識(shí)別結(jié)構(gòu)的時(shí)變損傷時(shí)，需要時(shí)頻的分析工具。小波變換作為一種較新的線性時(shí)頻分析方法，克服了傅里葉變換不具有局部分析能力的缺陷，能夠自適應(yīng)地調(diào)整時(shí)窗和頻窗大小，通過(guò)信號(hào)的多分辨率分析實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別[1～5]。近幾年來(lái)小波變換與其他方法相結(jié)合的方法已經(jīng)廣泛運(yùn)用于損傷識(shí)別研究領(lǐng)域。Khorram等提出了一種聯(lián)合小波變換和因子設(shè)計(jì)的損傷識(shí)別方法[6]，該方法能夠有效地探測(cè)移動(dòng)荷載作用下簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)的多條裂縫。Yang等提出了小波變換和獨(dú)立成分分析相結(jié)合的結(jié)構(gòu)損傷盲源識(shí)別方法[7，8]。小波包是在小波變換的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，針對(duì)小波變換中沒(méi)有細(xì)分的高頻部分做進(jìn)一步的分解，從而提高了時(shí)頻分辨率。在小波包變換提取損傷指標(biāo)的研究中，小波包節(jié)點(diǎn)能量的定義為基于小波包變換的損傷識(shí)別方法的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)[9，10]。由于小波包節(jié)點(diǎn)能量對(duì)損傷的敏感性，以小波包節(jié)點(diǎn)能量作為輸入向量，可采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別[11，12]。Peng等根據(jù)輸出響應(yīng)的協(xié)方差構(gòu)造了小波包能量變化率指標(biāo)來(lái)評(píng)估海底懸跨管道的損傷[13，14]。Mikami等通過(guò)小波包變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解并估計(jì)各個(gè)分量的功率譜密度[15]，然后根據(jù)各分量功率譜密度幅值的差異提出了新的損傷定位指標(biāo)并將其應(yīng)用于梁類(lèi)結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別。Yan等總結(jié)了包括連續(xù)小波變換、離散小波變換、二代小波變換、小波包變換、小波有限元、雙樹(shù)復(fù)小波變換在內(nèi)的各種小波損傷識(shí)別方法[16]，并指出：盡管基于小波理論的損傷識(shí)別方法存在一定的挑戰(zhàn)性，但仍然是未來(lái)最有前途的損傷識(shí)別技術(shù)之一。

目前，小波和小波包變換在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別領(lǐng)域已經(jīng)獲得了廣泛的應(yīng)用，但是針對(duì)時(shí)變結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別研究仍然十分少見(jiàn)，現(xiàn)有的損傷識(shí)別方法也不能很好地解決時(shí)變結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別問(wèn)題。因此，提出一個(gè)時(shí)變的損傷指標(biāo)來(lái)追蹤結(jié)構(gòu)損傷的演化過(guò)程是十分必要的。最近，Daubechies提出一種聯(lián)合小波變換和重組的新方法——同步擠壓小波變換(Synchrosqueezing Wavelet Transform, SWT)[17]，該方法能夠有效地將小波變換后的時(shí)頻圖進(jìn)行擠壓重組，從而獲得較高頻率精度的時(shí)頻曲線。本文提出了一種基于同步擠壓和時(shí)間窗(Time Window, TW)思想的時(shí)變損傷指標(biāo)[18]，并將此指標(biāo)應(yīng)用于簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別，結(jié)果表明提出的指標(biāo)對(duì)于時(shí)變損傷是敏感的，可以準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)的損傷演化過(guò)程。

1 基本原理

對(duì)于一個(gè)時(shí)變信號(hào)x(t)，一般可以表示為N個(gè)本征函數(shù)和一個(gè)余量之和[19]

(1)

同步擠壓小波變換以小波變換為基礎(chǔ)。給定小波母函數(shù)ψ(t)，時(shí)變信號(hào)x(t)的連續(xù)小波變換為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

如果頻率ω和尺度a為連續(xù)變量，式(6)相應(yīng)變?yōu)?/p>

(7)

(8)

2 時(shí)變損傷指標(biāo)

損傷位置處響應(yīng)信號(hào)的各組成成分能量在損傷前后通常會(huì)發(fā)生比較大的變化，因此可以采用能量作為損傷指標(biāo)。然而實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的損傷通常是一個(gè)動(dòng)力特性不斷改變的過(guò)程，時(shí)不變的小波包節(jié)點(diǎn)能量雖然能夠識(shí)別出結(jié)構(gòu)的損傷位置，但是無(wú)法識(shí)別出結(jié)構(gòu)的時(shí)變損傷。因此本文在小波包節(jié)點(diǎn)能量的基礎(chǔ)上運(yùn)用同步擠壓和時(shí)間窗思想重新定義了一個(gè)時(shí)變的損傷指數(shù)——小波能量變化率。小波能量變化率指標(biāo)僅需已知結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號(hào)，就能識(shí)別出結(jié)構(gòu)的時(shí)變損傷。

給定任意響應(yīng)信號(hào)x(t)，首先對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換，可得響應(yīng)信號(hào)的幅頻圖。若信號(hào)x(t)含p個(gè)頻率成分，根據(jù)幅頻圖可以將頻率軸劃分為p個(gè)頻率區(qū)間，分別為[f1l，f1r]，[f2l，f2r]，…，[fil，fir]，…，[fpl，fpr]。按式(2)對(duì)響應(yīng)信號(hào)x(t)進(jìn)行連續(xù)小波變換可得小波系數(shù)矩陣，其中m代表尺度ai個(gè)數(shù)，n為采樣時(shí)間點(diǎn)bj個(gè)數(shù)。由于小波尺度跟頻率存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

(9)

式中a為小波尺度，F(xiàn)c為小波中心頻率，fs為采樣頻率，fa為尺度a對(duì)應(yīng)的頻率。根據(jù)式(9)頻率區(qū)間可轉(zhuǎn)化為尺度區(qū)間[a1l，a1r]，[a2l，a2r]，…，[ail，air]，…，[apl，apr]。對(duì)第i個(gè)尺度區(qū)間的小波系數(shù)進(jìn)行同步擠壓可得

(10)

式中Tx(ai，bj)為同步擠壓后的小波系數(shù)值，是n維行向量。

為追蹤結(jié)構(gòu)的時(shí)變損傷，在同步擠壓小波系數(shù)曲線上設(shè)置一個(gè)滑動(dòng)時(shí)間窗，窗口長(zhǎng)度為2Δt，以窗內(nèi)的小波能量平均值代表滑動(dòng)窗中心點(diǎn)的小波能量。令窗口沿時(shí)間軸不斷滑動(dòng)，可以求得第i階小波能量在每個(gè)中心點(diǎn)的值

(11)

考慮到各階模態(tài)的正交性，響應(yīng)信號(hào)x(t)的小波能量應(yīng)為各階小波能量之和，亦為時(shí)間t的函數(shù)，其表達(dá)式如下式所示

(12)

(13)

損傷前后的小波能量變化率為

(14)

3 數(shù)值驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出的小波能量變化率指標(biāo)的正確性，以簡(jiǎn)支梁為例，對(duì)剛度突變和線性變化兩種工況下結(jié)構(gòu)的時(shí)變損傷進(jìn)行識(shí)別。簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)5 m，劃分為20個(gè)單元，節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元編號(hào)如圖1所示。簡(jiǎn)支梁密度ρ=2 500 kg/m3，初始彈性模量E0=2.1×104MPa，橫截面面積A=0.04 m2(0.2 m×0.2 m)，慣性矩I=1.333×10-4m4。簡(jiǎn)支梁的損傷通過(guò)降低單元?jiǎng)偠葋?lái)實(shí)現(xiàn)。各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移、速度和加速度響應(yīng)可通過(guò)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的Newmark積分求解，其中采樣頻率fs=1 000 Hz。識(shí)別過(guò)程中按下式對(duì)響應(yīng)信號(hào)x(t)施加白噪聲干擾

x′(t)=x(t)(1+εr)

(15)

式中r為均值為0，方差為1的正態(tài)分布隨機(jī)序列，代表噪聲水平，為已添加噪聲的響應(yīng)信號(hào)。

圖1 簡(jiǎn)支梁模型

3.1 剛度突變工況下的時(shí)變損傷識(shí)別

設(shè)定跨中單元10和11的剛度在4 s時(shí)降低20%，其剛度變化如圖2所示，其中E0I為初始剛度。采用Newmark積分求解簡(jiǎn)支梁各節(jié)點(diǎn)的自由響應(yīng)，其中剛度突變工況和未損工況下簡(jiǎn)支梁跨中節(jié)點(diǎn)11的位移響應(yīng)(已添加10%水平白噪聲)如圖3所示。采用復(fù)Morlet小波對(duì)節(jié)點(diǎn)11的位移響應(yīng)進(jìn)行連續(xù)小波變換，并對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行同步擠壓。選取時(shí)間窗長(zhǎng)為100(0.1 s)，根據(jù)式(11)～(13)構(gòu)建各時(shí)間點(diǎn)的歸一化小波能量變化ΔEx(t)，如圖4(a)所示。由圖4(a)可知，前4 s結(jié)構(gòu)的小波能量變化為零，未出現(xiàn)損傷，即結(jié)構(gòu)的損傷時(shí)刻為第4 s。但是從圖4(a)中無(wú)法直接識(shí)別出時(shí)變結(jié)構(gòu)的損傷演化趨勢(shì)，因此根據(jù)式(14)求得結(jié)構(gòu)的小波能量變化率，如圖4(b)所示。小波能量變化率在4 s左右出現(xiàn)突變，這說(shuō)明節(jié)點(diǎn)11處的剛度此刻突然降低，即發(fā)生損傷。通過(guò)圖2與圖4(b)的比對(duì)，可以得出如下結(jié)論：小波能量變化率指標(biāo)能夠較為準(zhǔn)確地識(shí)別結(jié)構(gòu)的時(shí)變損傷類(lèi)型為突變。

圖3 10%噪聲水平下節(jié)點(diǎn)11的位移響應(yīng)

圖4 剛度突變工況下歸一化小波能量變化及小波能量變化率

3.2 剛度線性變化工況下的時(shí)變損傷識(shí)別

設(shè)定跨中單元10和11的剛度在t=4～8 s時(shí)線性降低20%，即EI=E0I[1-0.05(t-4)], 如圖5所示，其中E0I為初始剛度。與剛度突變工況類(lèi)似，考慮的白噪聲水平為10%。剛度線性變化工況和未損工況下簡(jiǎn)支梁跨中節(jié)點(diǎn)11的自由位移響應(yīng)如圖6所示。選取時(shí)間窗長(zhǎng)為100(0.1 s)，求得簡(jiǎn)支梁的歸一化小波能量變化如圖7(a)所示。從圖7(a)可以清楚地看到，前4 s結(jié)構(gòu)的小波能量沒(méi)有變化，即結(jié)構(gòu)在前4 s完好無(wú)損。4 s之后結(jié)構(gòu)的損傷不斷增加，但其發(fā)展趨勢(shì)仍然未知。圖7(b)給出了小波能量變化率指標(biāo)隨時(shí)間變化的關(guān)系。小波能量變化率在4～8 s內(nèi)不斷增加，近似線性變化，這表明簡(jiǎn)支梁跨中節(jié)點(diǎn)11的剛度在該時(shí)間段呈線性下降趨勢(shì)。8 s之后小波能量變化率值基本保持不變，此時(shí)結(jié)構(gòu)的損傷已經(jīng)停止并不再繼續(xù)發(fā)展。通過(guò)圖5和圖7(b)之間的對(duì)比，再一次驗(yàn)證了小波能量變化率指標(biāo)識(shí)別時(shí)變損傷的準(zhǔn)確性。

圖5 剛度線性變化曲線

圖6 10%噪聲水平下節(jié)點(diǎn)11的位移響應(yīng)

圖7 剛度線性變化工況下歸一化小波能量變化及小波能量變化率

圖8 含兩處損傷位置的簡(jiǎn)支梁損傷識(shí)別結(jié)果

圖9 時(shí)間窗長(zhǎng)對(duì)小波能量變化率損傷指標(biāo)的影響

3.3 簡(jiǎn)支梁多點(diǎn)時(shí)變損傷識(shí)別

為驗(yàn)證提出的指標(biāo)能否識(shí)別含多個(gè)損傷位置的簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)的時(shí)變損傷，以圖1中的簡(jiǎn)支梁模型為例，設(shè)定四分之一跨處單元5和6的剛度在t=2～6 s時(shí)間段線性降低20%，即EI=E0I[1-0.05(t-2)]，而跨中單元10和11的剛度在t=8 s時(shí)降低20%。在采用Newmark積分求解簡(jiǎn)支梁跨中節(jié)點(diǎn)11的自由響應(yīng)并施加10%高斯白噪聲干擾后，選取時(shí)間窗長(zhǎng)為100(0.1 s)，按式(11)～(14)計(jì)算簡(jiǎn)支梁的歸一化小波能量變化和小波能量變化率，如圖8所示。由圖8(b)可知，小波能量變化率在2～6 s內(nèi)不斷增加，近似線性變化，這反映了簡(jiǎn)支梁四分之一跨處節(jié)點(diǎn)6的剛度在該時(shí)間段線性下降。在6～8 s時(shí)間段小波能量變化率值基本保持不變，這表明在該時(shí)間段結(jié)構(gòu)沒(méi)有新的損傷出現(xiàn)。小波能量變化率指標(biāo)在8 s左右出現(xiàn)突變，這反映了跨中節(jié)點(diǎn)11的剛度此刻突然降低。8 s之后小波能量變化率值基本保持不變，此時(shí)結(jié)構(gòu)的損傷已經(jīng)停止并不再繼續(xù)發(fā)展。因此，小波能量變化率指標(biāo)能夠有效識(shí)別含簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)的兩點(diǎn)甚至多點(diǎn)時(shí)變損傷。

3.4 時(shí)間窗長(zhǎng)對(duì)時(shí)變損傷指標(biāo)的影響

由于時(shí)間窗思想的引入，小波能量變化率損傷指標(biāo)變成一個(gè)時(shí)變指標(biāo)，可以用于結(jié)構(gòu)的時(shí)變損傷識(shí)別。然而時(shí)間窗的選取對(duì)于損傷指標(biāo)的取值是有一定影響的，其影響程度尚未可知。為研究時(shí)間窗長(zhǎng)對(duì)小波能量變化率損傷指標(biāo)的影響，仍以上述的簡(jiǎn)支梁模型為例，采樣時(shí)間間隔設(shè)為0.001 s，假定時(shí)間窗長(zhǎng)分別為100(0.1 s)，500(0.5 s)和1 000(1 s)，求解剛度突變和剛度線性變化兩種工況下的小波能量變化率值，如圖9所示。由圖9可知，無(wú)論時(shí)間窗取何種長(zhǎng)度，小波能量變化率曲線基本保持一致，均能較為準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的損傷演化趨勢(shì)，即能夠識(shí)別出結(jié)構(gòu)的時(shí)變損傷。時(shí)間窗長(zhǎng)對(duì)小波能量變化率指標(biāo)的影響主要集中在剛度發(fā)生改變的臨界點(diǎn)，且影響程度較小，而窗口長(zhǎng)度在其他時(shí)間點(diǎn)的影響基本可以忽略不計(jì)。因此，在一定范圍內(nèi)可以根據(jù)實(shí)際需要選擇合適的時(shí)間窗長(zhǎng)。

4 結(jié) 論

本文在同步擠壓小波變換基本原理的基礎(chǔ)上，運(yùn)用時(shí)間窗思想提出了新的時(shí)變結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法。該方法從損傷前后的能量變化入手，通過(guò)小波能量變化率沿時(shí)間軸線的分布情況進(jìn)行時(shí)變結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別。簡(jiǎn)支梁在自由激勵(lì)下的損傷識(shí)別數(shù)值算例結(jié)果表明：結(jié)構(gòu)的小波能量變化率指標(biāo)對(duì)于結(jié)構(gòu)損傷是比較敏感的，該指標(biāo)不但能夠準(zhǔn)確地識(shí)別剛度突變及線性變化兩種工況下的時(shí)變損傷，也能夠有效地識(shí)別簡(jiǎn)支梁多點(diǎn)時(shí)變損傷，且時(shí)間窗的選取對(duì)時(shí)變損傷指標(biāo)取值基本上不影響。

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