引入不確定參數(shù)的汽車盤式制動器振動穩(wěn)定性分析

呂 輝， 于德介， 陳 寧， 夏百戰(zhàn)

(湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室， 湖南 長沙 410082)

引 言

盤式制動器以其優(yōu)異的性能在汽車上得到了廣泛的應(yīng)用，但制動器結(jié)構(gòu)如果設(shè)計不合理，就有可能在工作過程中處于不穩(wěn)定狀態(tài)，引起強烈的振動，并形成刺耳的噪聲。

在汽車制動噪聲的頻率范圍中，以1～16 kHz之間的尖叫聲最困擾乘客的聽覺，嚴重影響汽車的舒適性[1]。針對汽車制動噪聲問題，不少學(xué)者通過對制動器系統(tǒng)的復(fù)特征值進行分析來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，從而預(yù)測制動噪聲的產(chǎn)生趨勢?；谟邢拊膹?fù)特征值分析方法是一種研究制動器系統(tǒng)穩(wěn)定性的有效方法[2]。文獻[3]從子結(jié)構(gòu)模態(tài)的角度對制動器穩(wěn)定性進行研究，基于制動器摩擦閉環(huán)耦合有限元模型求解了系統(tǒng)復(fù)特征值的正實部，分析了正實部對子結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的靈敏度，將敏感參數(shù)作為優(yōu)化參數(shù)進行研究，提出了修改制動盤和支撐支架的改進措施。該研究在汽車盤式制動器制動噪聲的預(yù)估和抑制上取得了很好的效果，但沒有考慮參數(shù)的不確定性及系統(tǒng)穩(wěn)定性的可靠性問題；且對參數(shù)進行靈敏度分析時，采用的是基于偏導(dǎo)理論的局部靈敏度分析。

在工程實際中，材料特性和作用載荷等參數(shù)往往具有不確定性，考慮各設(shè)計參數(shù)的不確定性構(gòu)建隨機模型進行分析，能更好地反映工程實際[4]?？煽啃苑治瞿鼙ＷC隨機模型不因參數(shù)的波動而失效，但復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)可靠性問題的功能函數(shù)通常具有高維數(shù)、隱式表達和非線性等特征，導(dǎo)致可靠性分析過程的計算量過大，從而影響了各種可靠性分析方法在工程實際中的推廣應(yīng)用。蒙特卡洛法作為求解結(jié)構(gòu)可靠性的重要方法之一，對仿真問題的維數(shù)不敏感，且不受任何假設(shè)的約束，可通過大量的隨機抽樣獲取較高的求解精度，具有很強的適用性[5]。

由于工作環(huán)境多變和結(jié)構(gòu)復(fù)雜，因此制動器振動噪聲是很多不確定參數(shù)共同影響的結(jié)果，難以捕捉和重復(fù)，適合采用隨機模擬和統(tǒng)計試驗方法進行研究。局部靈敏度分析只能分析確定性參數(shù)發(fā)生微小變化時對系統(tǒng)性能的影響，應(yīng)用于制動器系統(tǒng)上有一定的局限性。全局靈敏度法[6]考慮了參數(shù)的概率分布情況對輸出的影響，并且分析時所有參數(shù)可以大范圍同時變化，適用于具不確定參數(shù)的制動器系統(tǒng)分析。Sobol′法[7]是一種基于方差的全局靈敏度分析法，與其他全局靈敏度分析法相比，它能夠采用蒙特卡洛法快速簡便計算出各階靈敏度和高階交叉影響項。

本文將基于蒙特卡洛法的可靠性分析引入到汽車盤式制動器穩(wěn)定性研究中，采用隨機和區(qū)間參數(shù)對制動器系統(tǒng)進行描述，將響應(yīng)面法與有限元復(fù)特征值技術(shù)相結(jié)合，實現(xiàn)了制動器振動穩(wěn)定性的可靠性分析模型的參數(shù)化，大大提高了分析效率。采用蒙特卡洛法分析了系統(tǒng)參數(shù)為正態(tài)分布隨機參數(shù)和區(qū)間參數(shù)下，某型車的浮鉗盤式制動器系統(tǒng)的穩(wěn)定性可靠度，結(jié)合Sobol′法對系統(tǒng)參數(shù)進行了全局靈敏度分析，甄別了不確定性參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并從可靠性角度提出了改善制動器系統(tǒng)振動穩(wěn)定性的工程措施，不確定性分析技術(shù)的引入提高了傳統(tǒng)研究方法的適用性，分析方法對抑制制動噪聲具有一定的工程指導(dǎo)性。

1 汽車盤式制動器振動穩(wěn)定性

以汽車盤式制動器為研究對象，系統(tǒng)的運動方程可以表示為[8]

(1)

式中M，C和K分別為無摩擦制動器系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，Kf為摩擦接觸剛度矩陣，u為系統(tǒng)在平衡位置附近振動的廣義位移向量。

由式(1)可知，引入摩擦力后，系統(tǒng)的剛度矩陣不對稱，系統(tǒng)的特征值在一定條件下為復(fù)數(shù)，即系統(tǒng)對應(yīng)的模態(tài)為復(fù)數(shù)。

式(1)的解可寫成如下形式

u=φeλt

(2)

式中φ為振型矩陣，λ為系統(tǒng)特征值。上式代入式(1)，得

(λ2M+λC+K-Kf)φ={0}

(3)

若系統(tǒng)第i階特征值為復(fù)數(shù)，則可表示為

λi=αi+jβi

(4)

式中αi為特征值實部，是系統(tǒng)的阻尼系數(shù)，βi為特征值虛部，是系統(tǒng)的自然頻率。

與第i階特征向量對應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)可表示為

ui=φieαitcosβit

(5)

參考文獻[9]，定義系統(tǒng)第i階阻尼比

(6)

由式(5)和(6) 可知，若某階阻尼比為負，則對應(yīng)的特征值具有正實部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)隨著時間推移而放大振動。系統(tǒng)阻尼比為負時可等效為系統(tǒng)存在負阻尼，此時阻尼不耗散能量，反而向系統(tǒng)中饋入能量，形成自激振動，引發(fā)制動噪聲，以噪聲的形式向外輻射能量。因此根據(jù)系統(tǒng)的阻尼比可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，預(yù)測系統(tǒng)出現(xiàn)制動噪聲的趨勢。

2 基于可靠性的汽車盤式制動器振動穩(wěn)定性分析

2.1 基于蒙特卡洛的可靠度分析

可靠性分析能保證結(jié)構(gòu)模型不因參數(shù)的波動而失效。若結(jié)構(gòu)參數(shù)為隨機變量，則結(jié)構(gòu)可靠度的計算公式為

(7)

式中R表示可靠度，Pr表示概率，fX(X)為獨立隨機向量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)，g(X)為功能函數(shù)，可表示結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)

(8)

g(X)=0為極限狀態(tài)方程，是一個多維數(shù)曲面，稱為極限狀態(tài)面或失效臨界面。

蒙特卡洛法又稱隨機模擬法或統(tǒng)計試驗法，是一種依據(jù)統(tǒng)計抽樣理論，從已知概率分布的變量中隨機抽樣，依據(jù)隨機抽樣結(jié)果計算輸出的數(shù)字特征。采用蒙特卡洛法進行可靠度分析，式(7)表示為

(9)

式中I[ ]為特征函數(shù)，且滿足

(10)

可靠度的蒙特卡洛近似估計為

(11)

若在結(jié)構(gòu)中引入?yún)^(qū)間參數(shù)，則結(jié)構(gòu)的可靠度為

R=Pr{g(X,Y)≥0}

(12)

式中Y為區(qū)間向量

Y∈[YL,YU]

(13)

式中 L和U分別表示參數(shù)的下界和上界。功能函數(shù)的蒙特卡洛估計量滿足

Y∈Y

(14)

特征函數(shù)滿足

(15)

結(jié)合式(11)得可靠度區(qū)間為

R∈[RL,RU]

Y∈Y

(16)

2.2 Sobol′全局靈敏度分析

傳統(tǒng)的靈敏度分析是在一個變量產(chǎn)生微小變化的同時保持其他變量不變，觀察由變量變化引起的結(jié)果變動。在工程實際中，考慮變量在某一大的范圍內(nèi)變化且計及多個變量相互影響的全局靈敏度信息具有更高的參考價值。

本文采用Sobol′法進行全局靈敏度分析，Sobol′法是一種基于方差的蒙特卡洛法[10]，其主要思想是將函數(shù)f(z)分解成2n項遞增項之和，通過采樣計算模型響應(yīng)的總方差及各項偏方差，從而求得靈敏度。在輸入?yún)?shù)域In為n維單元體的情況下，將函數(shù)f(z)分解為2n個遞增項之和

f1,2,…,n(z1,z2,…,zn)

(17)

式中f0為常量，且其他加數(shù)項對其所包含任意一變量的積分必定為零，即

(18)

由式(17)，(18)可知，式(17)中的所有加數(shù)項之間都是正交的，且可以表示為函數(shù)f(z)的積分

(19)

(20)

(21)

由此類推，即可求出式(17)中的其他高階項。

將式(17)兩邊平方并在整個參數(shù)域In內(nèi)積分，結(jié)合式(18)有

(22)

函數(shù)f(z)的總方差D為

(23)

偏方差為

(24)

由式(22)可知

(25)

這樣，全局靈敏度指數(shù)就可以表示為

Si1,…,is=Di1,…,is/D

(26)

Sobol′法的一個顯著特點是對于式(23)和(24)的定積分，可直接用蒙特卡洛法求得。

實際工程中的參數(shù)域一般不在[0,1]的范圍內(nèi)，本文按式(27)對參數(shù)進行離差標準化

(27)

2.3 汽車盤式制動器穩(wěn)定性分析

由第1節(jié)分析可知，特征值阻尼比ζ是表征制動器系統(tǒng)穩(wěn)定性的指標。為在一定程度上保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，ζ應(yīng)大于某一臨界值ζc，參考文獻[11] ，取ζc=-0.01。由此本文從可靠性角度提出如下功能函數(shù)

g(Z)=g(X,Y)=ζ(Z)-ζc=ζ(Z)+0.01

(28)

式中Z為隨機或者區(qū)間變量，ζ(Z)為目標特征值阻尼比。

本文提出的基于蒙特卡洛法與全局靈敏度的汽車盤式制動器穩(wěn)定性分析方法主要步驟為:

(1)基于制動器系統(tǒng)的有限元模型，在不確定參數(shù)空間進行試驗設(shè)計，求出系統(tǒng)對應(yīng)各組試驗樣本的各階特征值；

(2)選擇特征值實部大于0的特征值為研究對象，建立系統(tǒng)目標特征值的參數(shù)化響應(yīng)面模型；

(3)基于特征值響應(yīng)面模型，建立系統(tǒng)可靠性研究的功能函數(shù)參數(shù)化模型；

(4)基于功能函數(shù)模型，采用蒙特卡洛法對系統(tǒng)的可靠性進行分析；

(5)采用Sobol′法對系統(tǒng)不確定參數(shù)進行全局靈敏度分析；

(6)根據(jù)靈敏度研究各參數(shù)對制動器系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并從可靠性的角度提出提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的改進方案。

本文方法的具體分析步驟如圖1所示。

圖1 基于可靠性的制動器振動穩(wěn)定性分析

3 算例研究

3.1 汽車盤式制動器參數(shù)化模型

本文利用Altair. Hypermesh軟件建立了某型轎車的制動器有限元簡化模型，如圖2所示。

圖2 制動器有限元模型

簡化模型由制動盤、制動片、支撐背板和絕緣板等部分組成，共劃分成26 125個實體單元，37 043個節(jié)點，制動片與制動盤之間為摩擦接觸面，整個系統(tǒng)為一個摩擦耦合系統(tǒng)。有限元復(fù)特征值分析主要與材料密度、彈性模量和載荷約束等條件有關(guān)。本文選取各部件材料密度、彈性模量、摩擦系數(shù)和制動壓力作為不確定量。由于摩擦損耗引起的是部件剛度的改變，因此磨損引起的不確定性可由材料彈性模量的不確定性間接體現(xiàn)。參考文獻[12]，給出不確定變量的分布類型和取值如表1所示。

表1中的正態(tài)分布采用截斷高斯分布，即使用帶有上下界的正態(tài)分布，從而在抽樣中忽略掉概率極小的樣本，使得所有不確定參數(shù)的波動范圍均為其均值的±5%。為便于試驗設(shè)計和Sobol′法求解靈敏度，本文按下式將各設(shè)計變量進行離差標準化

(29)

表1 制動器不確定變量分布及取值

注：在正態(tài)分布類型中，參數(shù)1為均值，參數(shù)2為標準差；在區(qū)間分布類型中，參數(shù)1為變量下界，參數(shù)2為變量上界。

采用拉丁超立方試驗設(shè)計方法[13]在這些變量組成的不確定空間內(nèi)采樣，選取70 組樣本點代入到制動器系統(tǒng)有限元模型中進行計算，求出0～16 kHz范圍內(nèi)的特征值，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)對應(yīng)各組樣本點的第7階特征值實部均大于0，為不穩(wěn)定特征值；樣本點還在其他階數(shù)上出現(xiàn)不穩(wěn)定特征值，但其阻尼比都遠比2 kHz附近的第7階特征值小，因此本文將第7階特征值作為首要不穩(wěn)定特征值進行研究。其中某一樣本點下系統(tǒng)的特征值分布如圖3所示。

圖3 某一樣本下系統(tǒng)的特征值分布

在上述試驗設(shè)計的基礎(chǔ)上，基于二階多項式響應(yīng)面模型建立第7階特征值參數(shù)化的近似表達式為

α7=68.19+5.69z1+6.66z2-25.31z3-1.81z4-1.24z5+9.95z6+15.6z7-1.95z8+0.42z1z2-1.76z1z3+0.34z1z4-2.10z1z5-3.25z1z6+1.51z1z7+1.39z1z8+4.87z2z3+1.04z2z4-2.88z2z5+2.04z2z6+2.17z2z7-3.34z2z8+3.36z3z4+4.66z3z5+2.49z3z6-3.11z3z7+1.31z3z8+0.62z4z5+2.48z4z6-4.19z4z7-3.37z4z8+2.87z5z6+0.77z5z7-0.91z5z8-

(30)

β7=1 965.24-67.5z1+13.9z2-137z3+39.4z4-1.24z5+98.9z6+62.9z7-20.4z8+18.3z1z2-50.9z1z3-12.1z1z4-22.9z1z5-22.3z1z6+21.2z1z7+15.3z1z8+41.7z2z3+5.23z2z4-30.7z2z5+25.9z2z6+25.9z2z7-34.0z2z8+54.1z3z4+49.2z3z5+11.8z3z6-36.0z3z7+14.0z3z8+6.52z4z5+16.0z4z6-46.4z4z7-36.2z4z8+31.3z5z6+6.98z5z7-8.67z5z8-

(31)

式中α7為第7階特征值實部；β7為第7階特征值虛部；z1,z2,…,z8為標準化變量。按文獻[13]的方法對上述響應(yīng)面模型進行顯著性分析，可得響應(yīng)面模型的不可靠概率小于1%，與真實有限元模型的逼近程度高，能夠用于后續(xù)分析研究。

3.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性的可靠度分析

結(jié)合式(6)，(12)和(28)可知，系統(tǒng)第7階特征值穩(wěn)定的可靠度為

(32)

式中Z=(z1,z2,…,z8)為標準化向量。采用蒙特卡洛法進行30 000 次抽樣分析，求得初始值下系統(tǒng)穩(wěn)定的最小和最大可靠度分別為0%和34.4%?？梢娫诔跏疾淮_定參數(shù)下系統(tǒng)穩(wěn)定性極差，需要對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行改進提高。

3.3 Sobol′法全局靈敏度分析

由式(32) 可知，功能函數(shù)值越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越高，為了甄別各不確定參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的大小，對所有不確定參數(shù)均勻抽樣1 000 000次，采用Sobol′法計算功能函數(shù)對各標準化變量的一階全局靈敏度及總體全局靈敏度值，結(jié)果如表2所示。

表2 標準化變量的一階和總體全局靈敏度

為了更直觀地表示出功能函數(shù)對各標準化變量的靈敏度大小，繪制靈敏度直方圖如圖4所示。

圖4 標準化變量的全局靈敏度

表2中一階全局靈敏度系數(shù)反映的是變量自身變化對結(jié)果的影響程度，總體靈敏度系數(shù)不僅反映了該變量自身變化的影響，還反映該變量與其他變量變化交互作用的影響。因此當(dāng)某變量的一階靈敏度和總體靈敏度差值較大時，可知該變量與其他變量間存在明顯的交互作用。

結(jié)合表2和圖4可以看出：

(1)z1,z3和z7的一階全局靈敏度系數(shù)很高，改變這些變量對系統(tǒng)穩(wěn)定性有較大的影響，尤其是z3的一階全局靈敏度系數(shù)高達0.456 9，該變量單獨作用時對系統(tǒng)穩(wěn)定性有重要影響，在工程實際中應(yīng)特別對其不確定性嚴格控制，使其波動范圍盡可能小。而z5和z8的一階全局靈敏度系數(shù)幾乎接近0，對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響極小，工程實際中可以對其不確定性控制適當(dāng)放寬，以降低成本；在分析研究中則可忽略與其對應(yīng)的參數(shù)不確定性，當(dāng)作確定參數(shù)進行處理，以減小分析工作量。

(2)z3,z6和z7的一階全局靈敏度與總體全局靈敏度的差值分別達到了0.006 3，0.009 7和0.007 6，表明它們與其他變量之間存在明顯的交互作用。

3.4 系統(tǒng)穩(wěn)定性可靠度的提高

由第3.3節(jié)分析可知，z5和z8對系統(tǒng)穩(wěn)定性幾乎沒有影響，而z1,z2和z3分別對應(yīng)系統(tǒng)各部件的材料密度，一般來說材料密度在工程上很少進行修改。因此本文主要考察z4,z6和z7對系統(tǒng)穩(wěn)定性可靠度的影響。與z4,z6和z7對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)為支撐背板彈性模量、制動盤彈性模量和系統(tǒng)摩擦系數(shù)，對上述系統(tǒng)參數(shù)選取一系列區(qū)間值進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。在針對某個參數(shù)進行分析時，其他參數(shù)的不確定性取值及分布類型同表2，所有不確定參數(shù)的波動范圍仍為其均值的±5%。可靠度分析結(jié)果如表3～5所示。

由表3～5可以看出，隨著支撐背板彈性模量的增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性可靠度隨之增大；隨著制動盤彈性模量增大或摩擦系數(shù)增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性可靠度均減小。

表3 支撐背板不同彈性模量下系統(tǒng)的穩(wěn)定性

表4 制動盤不同彈性模量下系統(tǒng)的穩(wěn)定性

表5 不同摩擦系數(shù)下系統(tǒng)的穩(wěn)定性

減小制動盤彈性模量以提高制動器穩(wěn)定性，從結(jié)構(gòu)強度和剛度角度考慮是不可取的；而摩擦系數(shù)在實際工程中是個難以掌握和控制的變量，減小摩擦系數(shù)還會嚴重影響制動效率，因而通過減小摩擦系數(shù)來提高制動器穩(wěn)定性也不是直接有效的方法。

支撐背板既不是摩擦部件也易于更換，因而可通過提高其剛度來提高制動器穩(wěn)定性，工程上可采用彈性模量更大的材料或者加大支撐背板的幾何厚度等措施來提高支撐剛度，并在不改變系統(tǒng)摩擦系數(shù)和制動壓力的情況下能使制動器制動功能得到保證。

4 結(jié) 論

(1)本文將參數(shù)不確定性引入到汽車盤式制動器振動穩(wěn)定性的可靠性分析中，采用隨機參數(shù)和區(qū)間參數(shù)對制動器系統(tǒng)進行描述，將響應(yīng)面法與有限元復(fù)特征值技術(shù)相結(jié)合，實現(xiàn)了制動器穩(wěn)定性可靠度研究模型的參數(shù)化，大大提高了可靠性分析效率。

(2)采用蒙特卡洛法研究了系統(tǒng)參數(shù)為正態(tài)分布隨機參數(shù)和區(qū)間參數(shù)下，某型車的浮鉗盤式制動器系統(tǒng)的穩(wěn)定性可靠度，結(jié)合Sobol′法對不確定參數(shù)進行了全局靈敏度分析，甄別了不確定性參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并從可靠性角度提出了改善制動器系統(tǒng)振動穩(wěn)定性的工程措施，不確定參數(shù)的引入提高了傳統(tǒng)研究方法的適用性，分析方法對抑制制動噪聲具有一定的工程指導(dǎo)性。

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