波傳播法求解低頻激勵下水中加端板圓柱殼的振動

陳美霞， 張 聰， 鄧乃旗， 魏建輝， 謝 坤

(華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院， 湖北 武漢 430074)

引 言

水下噪聲是限制海軍裝備性能的水下聲音。在艇上安裝的各種動力機械的不平衡力和力矩會產(chǎn)生振動和噪聲，并引起與艇體相連接的結(jié)構(gòu)單元振動。同時，低頻時水是極好的傳播介質(zhì)。因此研究低頻水中艇體的振動響應(yīng)特性對于控制殼體航行噪聲具有重要意義。

潛艇中部可以簡化為圓柱殼并采用殼體理論進行分析[1]。國內(nèi)外有很多學(xué)者對圓柱殼體的振動特性進行了研究，從不同邊界條件下殼體的自由振動分析到不同端部結(jié)構(gòu)的殼體的振動響應(yīng)[2～5]。從計算方法上看，低頻圓柱殼求解主要有模態(tài)疊加法和波傳播法[6～8]。其中，模態(tài)疊加法通過已知邊界條件設(shè)立位移函數(shù)，對圓柱殼的軸向、周向、徑向位移進行疊加，并對運動方程積分求解。而波傳播法將含待定系數(shù)的位移表達式代入運動方程，再通過兩端的邊界條件及結(jié)構(gòu)之間的連續(xù)條件求解待定系數(shù)，從而求得其響應(yīng)結(jié)果。因而波傳播法可以靈活用于多種邊界條件，并能通過增加連續(xù)條件處理端板、環(huán)肋加強、艙壁等附屬結(jié)構(gòu)及不連續(xù)結(jié)構(gòu)。另外，F(xiàn)uller和Tso研究了圓柱殼和圓板之間的連接作用[9,10],而鄒明松等則重點研究了空氣中兩端圓板封閉的圓柱殼的自由振動特性[11]。對于水下圓柱殼體，Amabili和Paidoussis研究了有無流固耦合作用的殼體的振動特性[12]，F(xiàn)uller和Scott研究了內(nèi)部流體和外部流體對圓柱殼體振動的影響[13,14]，Caresta對水中不連續(xù)的加筋圓柱殼進行了具體的理論推導(dǎo)及響應(yīng)分析[7]。

本文在以上文獻的基礎(chǔ)上，采用波傳播法研究了水下加端板圓柱殼體的振動特性。與已有文獻不同，本文重點著眼于激勵及端板對圓柱殼體的影響。介紹了采用解析法求解帶端板圓柱殼振動特性的方法，一定程度上揭示了端板對殼體振動的影響。本文研究中考慮了4種激勵，即加載在端部圓板中心的軸對稱載荷、加載在圓柱與圓板結(jié)合處的軸向和徑向載荷、加載在圓柱中間的徑向載荷，通過比較各激勵作用下圓柱殼的振動特性，討論了激勵的方向和位置對振動響應(yīng)的影響。此外，通過對比含端板和不含端板殼體的響應(yīng)，討論了端板對不同激勵下殼體響應(yīng)的影響。

1 水中加端板圓柱殼理論推導(dǎo)

1.1 水中圓柱殼振動分析

設(shè)x，θ和z分別為圓柱殼軸向、周向和徑向的坐標軸，uc，vc和wc分別為三個方向的位移。殼體的長度為L，半徑為a，厚度為hc。由Flügge理論可得圓柱殼的運動方程[1]。采用波傳播法表示位移函數(shù)并求解圓柱殼振動的方法可以靈活用于多種邊界條件，并能通過連續(xù)條件的建立實現(xiàn)加端板、加筋、加艙壁、加不同位置不同方向的載荷等，其表達式為[1]:

uc(x,θ,t)=Ucejknxcos(nθ)e-jωt

(1)

vc(x,θ,t)=Vcejknxsin(nθ)e-jωt

(2)

wc(x,θ,t)=Wcejknxcos(nθ)e-jωt

(3)

式中kn為殼體的軸向結(jié)構(gòu)波數(shù)；ω為圓柱的圓頻率。

對于水中的圓柱殼體，外部流體對圓柱殼產(chǎn)生外部壓力，其表達式為[15]：

(4)

(5)

其中，

(6)

將位移函數(shù)(1)～(3)代入運動方程，可以得到AX=0，即：

(7)

由于系數(shù)行列式A的值必須為0，可以得到一個關(guān)于kn和ω的方程。對于每一個ω, 可以解得一個關(guān)于軸向結(jié)構(gòu)波數(shù)kn的8次控制方程。本文采用搜索法求解軸向結(jié)構(gòu)波數(shù)kn，步驟為：先解得空氣中(即pa=0)的結(jié)構(gòu)波數(shù)，得到4對共軛解，分別取出每對共軛解中的一個解，構(gòu)成初始的4個解作為搜索起點。對于實數(shù)初始解，在實域范圍內(nèi)的初始解附近進行搜索，搜得能使控制方程為0的解。同理對于虛數(shù)初始解，在虛域范圍內(nèi)的初始解附近進行搜索。對于復(fù)數(shù)的初始解，將初始解分解為實部與虛部，即kn=kre+jkim。同樣的，將控制方程也分解為實部與實部C=Cre+jCim，在初始附近解得同時能使控制方程實部和控制方程虛部為0的解，即將控制方程C=0化為{Cre=0;Cim=0}并求解。由于求法過程比較復(fù)雜，可以將流體項逐步增加并最后考慮含結(jié)構(gòu)阻尼的楊氏模量Ec(1-jηs)，其中ηs為結(jié)構(gòu)阻尼，這樣的搜索方式可以使求解過程更加準確。這種在復(fù)平面搜索復(fù)波數(shù)的數(shù)值方法簡單且在低頻范圍內(nèi)具有一定的準確性，但其搜索效率較低。盡管如此，在借助MATLAB 等計算軟件的基礎(chǔ)上進行求解，相比有限元軟件如ANSYS計算求解水中殼體振動特性，在計算速度上還是具有很大優(yōu)勢的。另外，這種搜索方法在周向波數(shù)n較大時有漏根的可能，使用的時候需要根據(jù)具體的計算模型及頻率范圍調(diào)整其搜索范圍和搜索間隔，以得到更為精確的計算結(jié)果。

1.2 端板振動分析

端板可以看作是有限圓板。圓板的運動方程為[10]:

(8)

(11)

cos(nθ)e-jωt

(12)

sin(nθ)e-jωt

(13)

1.3 邊界條件和連續(xù)條件

由1.1和1.2的推導(dǎo)可得，帶端板圓柱殼共有12個待定系數(shù)，即8個圓柱殼的待定系數(shù)Wcn,i(i=1:8)和4個圓板待定系數(shù)Apn,i和Bpn,i(i=1,2)。因此可以通過邊界條件和連續(xù)條件得到方程：BX=F，其中X為12個待定系數(shù)向量，F(xiàn)為外力向量。如圖1所示，殼體在兩端自由時，圓板和圓柱的位移、轉(zhuǎn)角、內(nèi)力和力矩在兩端即x=0和L連接處的連續(xù)條件為：

圖1 圓柱殼和端板的位移、轉(zhuǎn)角、內(nèi)力和力矩

(14)

vp=vc

(15)

wp=uc

(16)

(17)

Fc,x+Fp,x=0

(18)

Fc,θ-Fp,θ=0

(19)

Mc,x+Mp,x=0

(20)

Fc,r-Fp,r=0

(21)

圓柱和圓板的內(nèi)力和力矩表達式見參考文獻[1,10]。

1.4 力激勵

圖2 殼體上的軸向、徑向載荷

考慮不同位置不同方向軸向激勵和徑向激勵對殼體響應(yīng)的影響。如圖2所示，F(xiàn)1為作用于端板中心的軸向力，是軸對稱載荷，F(xiàn)2為作用于端板與圓柱連接處的軸向力，F(xiàn)3為作用于端板與圓柱連接處的徑向力，F(xiàn)4為作用于殼體中點的徑向力。

對于F1，求解方法是將端板分割成一個小圓板和一個環(huán)板，設(shè)小圓板的半徑為a1，當a1足夠小的時候，作用于端板中心的力可以看作是作用在小圓板邊緣處，再通過小圓板和環(huán)板連接處的連續(xù)條件求解[16]。

對于F2，由于點激勵作用在端板和圓柱殼的連接處，即(x0,θ0)=(0,0)。此時點激勵可以用δ函數(shù)表示，在軸向方向，等式(18)化為

(22)

式中F0為點激勵的振幅。等式兩邊同時乘以cos(nθ)并在周向從-π到π積分，得到[7]

Fc,x|x0+Fp,x|x0=εF0cos(nθ0)

(23)

其中，當n=0時，ε=1/(2πa)，否則，ε=1/(πa)。

同理，對于F3，在徑向方向，等式(21)化為

Fc,r|x0-Fp,r|x0=εF0cos(nθ0)

(24)

其中，當n=0時，ε=1/(2πa)，否則，ε=1/(πa)。

對于F4，則在圓柱殼體加載荷的地方將圓柱殼分段，采用連接點處的位移、轉(zhuǎn)角、內(nèi)力和力矩的連續(xù)條件求解，且徑向的內(nèi)力之和為F4。

2 水中加端板圓柱殼振動響應(yīng)及結(jié)果分析

加端板圓柱殼的幾何尺寸為：圓柱殼的半徑a=3.25 m，厚度hc=0.04 m，長度L=15 m。端板的厚度hp=0.04 m。殼體和端板的材料相同，密度為ρc=ρp=7 800 kg·m-3，楊氏模量Ec=Ep=2.1×1011N·m-2，泊松比μc=μp=0.3。結(jié)構(gòu)阻尼ηs=0.02，因此復(fù)楊氏模量為E(1-jηs)。圓柱殼周圍的流體密度為ρf=1 000 kg·m-3，流體速度cf=1 500 m·s-1。點激勵振幅為單位力(F0=1 N)，考慮4種激勵，激勵位置及方向如圖3所示。為了比較不同激勵下的柱殼響應(yīng)，任取殼體上一點隨頻率變化的軸向位移及徑向位移結(jié)果曲線進行對比，本節(jié)的位移曲線均來自于端部(x=0，θ=0)處的響應(yīng)點，即與F1和F2激勵點位置相同。

本文采用Ansys建有限元模型得到的數(shù)值法結(jié)果與解析法結(jié)果進行比較。其中，圓柱殼及端板采用shell63單元，流體用fluid30單元，流場邊界單元用fluid130單元，流場與殼體結(jié)合處的節(jié)點及單元設(shè)置為具有流固耦合特性的節(jié)點及單元。

2.1 流體對傳播波波數(shù)的影響

由1.1可以得知，求解水中殼體的結(jié)構(gòu)波數(shù)時，需要先解得空氣中的結(jié)構(gòu)波數(shù)，得到四對共軛解，分別取出每對共軛解中的一個解，構(gòu)成初始的四個解作為搜索起點，這四個初始解中含一個實數(shù)解、一個虛數(shù)解和兩個復(fù)數(shù)解。通過搜索得到水中殼體的結(jié)構(gòu)波數(shù)，得到新的實數(shù)解、虛數(shù)解和復(fù)數(shù)解。為了討論流體對結(jié)構(gòu)波數(shù)的影響，現(xiàn)以復(fù)數(shù)解的實部和虛部為代表，比較空氣中的結(jié)構(gòu)波數(shù)和水中結(jié)構(gòu)波數(shù)隨頻率變化的結(jié)果曲線，對比結(jié)果如圖3所示。

從圖3可以看出，對于n=0和n=1模態(tài)，水中殼體結(jié)構(gòu)波數(shù)的實部在較低頻率下與空氣中殼體結(jié)構(gòu)波數(shù)實部相等，隨著頻率升高，兩者差距逐漸加大且水中殼體的結(jié)構(gòu)波數(shù)的實部大于空氣中的，相反的，水中殼體的結(jié)構(gòu)波數(shù)的虛部小于空氣中的。同時，流體對n=0模態(tài)下結(jié)構(gòu)波數(shù)的影響比對n=1模態(tài)下結(jié)構(gòu)波數(shù)的影響大，尤其是對于n=1模態(tài)下結(jié)構(gòu)波數(shù)的虛部，流體的影響非常小。

圖3 空氣中、水中殼體結(jié)構(gòu)波數(shù)求解比較

2.2 點激勵的方向和位置對殼體振動響應(yīng)的影響

在4種載荷下，殼體的響應(yīng)如圖4～7所示。首先，從圖4～7中波傳播法求解得到的軸向位移、徑向位移與數(shù)值法結(jié)果的對比可以看出，兩種方法得到的結(jié)果曲線吻合情況較好，但依然存在一定誤差，這主要是由于兩種方法對流體載荷的處理不一樣造成的，解析法將流體近似處理成無限區(qū)域內(nèi)的壓力，而數(shù)值法將用有限元方法對流體進行建模并將結(jié)合處單元設(shè)為流固耦合屬性。但是，從整體上看，兩者的結(jié)果曲線趨勢一致，由此可以證明，解析法得出的結(jié)果是可信的。

圖4是在端板中心軸向激勵F1作用下，殼體在軸向和徑向上的響應(yīng)位移。由于F1是軸對稱載荷，主要引起端板和圓柱殼的呼吸模態(tài)。

圖4 軸向激勵在端板中心時(F1)，殼體的響應(yīng)

圖5 軸向激勵在端板與圓柱連接處時(F2)，殼體的響應(yīng)

圖5是在端板與圓柱連接處軸向激勵F2作用下殼體在軸向和徑向上的位移響應(yīng)。從計算結(jié)果可得，當把軸向載荷從端板的中心移到邊緣以后，此時點激勵不再是軸對稱激勵，因此除了呼吸模態(tài)外，還能引起各個不同周向模態(tài)下的振動，在100 Hz以內(nèi)的頻率范圍內(nèi)，軸向方向響應(yīng)以n=0:3的運動為主，而在徑向方向，主要引起n=1彎曲模態(tài)的運動。同時，端板的運動與圓柱相比十分微小。

圖6是在端板與圓柱連接處徑向激勵F3作用下殼體在軸向和徑向上的位移響應(yīng)。從計算結(jié)果可以得出，此時點激勵激起的軸向運動及徑向運動在100 Hz范圍內(nèi)均主要來自彎曲模態(tài)n=1。與圖7相比較，可以看出當將端板與圓柱連接處的激勵由軸向方向變?yōu)閺较蚍较蛞院?，徑向方向位移曲線波峰位置變化不大，即主要為來自于n=1的運動，而在軸向方向，n≠1的運動被弱化，彎曲模態(tài)下的運動占到了絕對主要的位置。

圖6 徑向激勵在端板與圓柱連接處時(F3)，殼體的響應(yīng)

圖7 徑向激勵在圓柱殼中間時(F4)，殼體的響應(yīng)

圖7是在圓柱L/2處徑向激勵F4作用下殼體在軸向和徑向上的位移響應(yīng)。將徑向激勵從圓柱的端部移到中部以后，點激勵不再只激起n=1模態(tài)的位移，而是激起了各個模態(tài)下的運動，且波峰數(shù)目顯著增加。在軸向方向，各個模態(tài)下位移的峰值大小相似，而徑向位移在100 Hz范圍內(nèi)以n=1:2模態(tài)為主，其中，徑向位移中幅值較小的幾個峰值是端板的固有振動引起的，由此可見，在這種載荷下，端板的位移跟圓柱殼幅值大小相當?shù)孕?，這點在2.3節(jié)端板的影響中會詳細討論。

總之，通過以上結(jié)果的對比可以看出，當激勵的位置發(fā)生改變的時候，殼體的位移響應(yīng)曲線也發(fā)生相應(yīng)改變，無論是在軸向上還是徑向上，不同模態(tài)下殼體的位移在總位移中所占的比例有較大變化，曲線的趨勢及峰值位置也都不同。而對于同樣位置的激勵，不同的激勵方向?qū)ξ灰祈憫?yīng)的影響相對較小，主要改變某一方向上的位移，如文中端部的軸向激勵和徑向激勵下的殼體位移相比，軸向上相差較大，而徑向上位移的峰值位置和各模態(tài)下位移在總位移中的比重均相似。

2.3 端板對殼體振動響應(yīng)的影響

由于F1作用在端板中心，無法討論端板對這種載荷下殼體響應(yīng)的影響，因此該部分只討論端板在F2，F(xiàn)3和F4激勵作用下對殼體響應(yīng)的影響。本節(jié)中如無特殊說明，計算的響應(yīng)位移為n=0∶10的合位移。

圖8 F2激勵下，加端板與不加端板的響應(yīng)比較

圖8是F2載荷下加端板與不加端板殼體的位移響應(yīng)曲線的對比結(jié)果。由圖中可知，在軸向激勵下，端板對徑向位移的影響遠大于對軸向位移的影響。沒有端板的殼體的徑向位移在波峰的數(shù)目和振幅上都大于有端板的殼體。這主要是由于端板對徑向位移的束縛造成的。分解到不同周向模態(tài)下，取n=1和n=2的結(jié)果如圖9和10所示。

從圖9和10可以看出，n=1時，端板對軸向位移和徑向位移影響并不大。但是n=2時，首先，由于端板的自身重量，使得位移的波峰向低頻方向平移，同時，端板減小了軸向位移在較高頻率范圍內(nèi)的幅值，并大幅度減小了徑向位移的幅值。并且不含端板時，軸向激勵激起的位移不再主要由n=0:3組成，高階各模態(tài)的位移與低階模態(tài)位移幅值相當?？偟膩碚f，端板主要抑制了高階模態(tài)振動，并以抑制徑向振動更為明顯。

圖11為F3載荷下軸向位移和徑向位移的對比結(jié)果。由圖中可知，端板減小了軸向和徑向位移的幅值大小并減少了波峰數(shù)目，換言之，端板從整體上減弱了該激勵的作用。分解到不同周向模態(tài)下，取n=1和n=2的結(jié)果如圖12和13所示。

從圖12和13可以看出，與軸向激勵下不同，在徑向激勵下，n=1時，軸向位移受端板影響不大，但徑向位移曲線的非波峰處及較高頻的波峰處的幅值均略有減小。而n=2時，端板使軸向位移和徑向位移的位移值都大幅減小，徑向位移固有頻率處的波峰已不明顯。因此，在徑向激勵下，端板抑制位移的作用更為明顯，各階模態(tài)下位移都受到其影響，而端板對徑向位移的影響依然大于對軸向位移的影響。

圖9 F2激勵下，加端板與不加端板n=1模態(tài)下響應(yīng)比較

圖10 F2激勵下，加端板與不加端板n=2模態(tài)下響應(yīng)比較

圖11 F3激勵下，加端板與不加端板的響應(yīng)比較

圖12 F3激勵下，加端板與不加端板n=1模態(tài)下響應(yīng)比較

圖13 F3激勵下，加端板與不加端板n=2模態(tài)下響應(yīng)比較

圖14為F4載荷下軸向位移和徑向位移的對比結(jié)果。與前兩種載荷相似，端板使得波峰變多并且位移響應(yīng)幅值減小，其中以減小徑向位移的效果更為明顯。分解到不同周向模態(tài)下，取n=1和n=2的結(jié)果如圖15和16所示。

由圖15和16可知，徑向激勵在殼體中部時，n=1下的峰值位置和峰值大小并無顯著改變，但是加端板模型的位移響應(yīng)結(jié)果多了一些峰值，可見這些峰值是載荷激起的端板的振動，從n=2的比較結(jié)果也可以看到同樣的特征。這一現(xiàn)象在前兩種激勵下并不明顯，這是由于激勵在端板上時，端板的n=1，n=2等模態(tài)下的運動遠遠小于殼體的運動，而激勵移到殼體中部以后，殼體帶動端板一起進行振動，因此端板彎曲模態(tài)以及其他高階模態(tài)的位移增大。除此之外，從n=2的結(jié)果可以看到，端板在高階的時候同樣起到了抑制振動從而減小位移幅值的作用，并且抑制作用在徑向位移上更為明顯，同時，由于端板的自身重量使得峰值向低頻方向移動。

圖14 F4激勵下，加端板與不加端板的響應(yīng)比較

圖15 F4激勵下，加端板與不加端板n=1模態(tài)下響應(yīng)比較

圖16 F4激勵下，加端板與不加端板n=2模態(tài)下響應(yīng)比較

從以上各激勵下殼體含端板和不含端板的結(jié)果曲線對比可以看出，由于端板與圓柱殼連接時對其徑向變形的限制，因此端板對高階的徑向位移的抑制作用非常明顯；對于作用在端板與圓柱結(jié)合處上的徑向載荷，由于端板的限制作用對徑向載荷有一定抵消，因此端板的存在使得響應(yīng)位移整體減小；而對于作用在圓柱殼中間部位的載荷，端板不僅減小了位移曲線峰值大小，還增加了曲線波峰的數(shù)目，這些波峰對應(yīng)的頻率是端板的固有頻率。另外，值得一提的是，本文采用的端板與圓柱殼材料相同，即剛性較小，如果采用剛性較大的端板，除了主要抑制徑向位移以外，還會使殼體端部與端板連接處難以發(fā)生形變，其分析方法與本文類似。

3 結(jié) 論

本文介紹了如何采用波傳播法求解低頻時水中加端板圓柱殼的運動，其中，圓柱殼采用搜索法求得結(jié)構(gòu)波數(shù)的復(fù)數(shù)根，端板和圓柱殼之間采用連續(xù)條件方程求解。本文討論了不同方向與位置的激勵下殼體的動響應(yīng)特性，并分析了不同激勵下端板的對水中殼體動響應(yīng)的影響，帶端板的圓柱殼結(jié)構(gòu)的設(shè)計及某一艙段結(jié)構(gòu)振動分析有一定工程意義。得出的結(jié)論如下：

1) 隨著頻率升高，水中殼體的結(jié)構(gòu)波數(shù)的實部逐漸大于空氣中的，而水中殼體的結(jié)構(gòu)波數(shù)的虛部逐漸小于空氣中的。同時，流體對n=0模態(tài)下結(jié)構(gòu)波數(shù)的影響比對n=1模態(tài)下結(jié)構(gòu)波數(shù)的影響大。

2) 通過將波傳播法求解水中加端板圓柱殼的響應(yīng)結(jié)果與數(shù)值法計算結(jié)果對比，證明了該方法的正確性與可行性。

3) 激勵的位置對殼體的位移響應(yīng)影響較大，軸向及徑向的位移曲線的趨勢及峰值位置均發(fā)生改變，且各模態(tài)下位移在總位移中所占的比例有較大變化。而激勵的方向?qū)ξ灰祈憫?yīng)的影響相對較小，主要改變某一方向上的位移曲線特征。

4) 于作用在端板與圓柱殼連接處的載荷，端板主要抑制了高階的徑向位移。而對于作用在圓柱殼中間部位的載荷，端板不僅減小了位移曲線峰值大小，還增加了端板在其固有頻率處的峰值，即在這種激勵下，端板振動幅值與圓柱的幅值相差不大。

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