一般多位數(shù)整數(shù)乘法心算分析

張志權(quán) 郭 陽(yáng)

(蘭州商學(xué)院國(guó)際貿(mào)易學(xué)院，甘肅蘭州 730020)

心算包括乘除運(yùn)算、乘方運(yùn)算、開(kāi)方運(yùn)算等多種形式，在多數(shù)人看來(lái)，其中多位數(shù)乘法運(yùn)算最基礎(chǔ)最沒(méi)規(guī)律性最難掌握。在《最強(qiáng)大腦》中外終極PK賽上，外國(guó)選手3×3運(yùn)算用時(shí)1分18秒88，中國(guó)選手4×4運(yùn)算用時(shí)4分24秒27，相比各自的乘方開(kāi)方運(yùn)算用時(shí)多得多，這就是最好的例證［1］。其實(shí)不然，筆者不知道他們心算各自用的是什么方法，但節(jié)目中的兩位選手顯然用時(shí)是有點(diǎn)多了。在這里筆者來(lái)分析一下自己對(duì)一般多位數(shù)整數(shù)心算的方法，相信學(xué)習(xí)該方法后，一般人都能成為優(yōu)秀的心算者。

1 兩位數(shù)乘以兩位數(shù)

分析多位數(shù)(三位數(shù)以上)乘法心算，得先學(xué)會(huì)兩位數(shù)乘法心算。設(shè)任意兩個(gè)兩位數(shù)=10a+b=10c+d.

由上式可以看出，一般兩位數(shù)整數(shù)相乘可以轉(zhuǎn)化為三項(xiàng)乘積的和形式，其中第一項(xiàng)末尾兩個(gè)零，第二項(xiàng)末尾一個(gè)零，第三項(xiàng)末尾沒(méi)有零，這就是規(guī)律之所在。我們?cè)谟?jì)算的時(shí)候，可以先不考慮各項(xiàng)末尾零的情況，改用數(shù)位對(duì)齊來(lái)替代末尾零。

⑵式說(shuō)明，兩個(gè)兩位數(shù)的首項(xiàng)乘以首項(xiàng)(如a×c)，尾項(xiàng)乘以尾項(xiàng)(如b×d)，兩次結(jié)果從左至右依次排列，如果尾項(xiàng)乘以尾項(xiàng)是一位數(shù)，則前面添零后再排列。然后兩內(nèi)項(xiàng)乘積加上兩外項(xiàng)乘積(如bc+ad，即x)，將x的個(gè)位與前者十位對(duì)齊，再相加，得出結(jié)果即是最終結(jié)果［2］。

之所以能這么處理，是因?yàn)槲覀冎朗醉?xiàng)與首項(xiàng)相乘的積后面有兩個(gè)零，寫(xiě)數(shù)時(shí)我們?yōu)榱擞?jì)算方便將其省略;尾項(xiàng)乘以尾項(xiàng)的積能在后面直接排列是因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)一位數(shù)相乘只有兩種可能，結(jié)果為一位數(shù)或兩位數(shù)，所以，積是兩位數(shù)時(shí)直接依次排列，積是一位數(shù)時(shí)中間添零;兩內(nèi)項(xiàng)之積和兩外項(xiàng)之積后面都有一個(gè)零，為了計(jì)算方便我們省略其后面的零，直接將其與前次計(jì)算結(jié)果的十位數(shù)對(duì)齊。

對(duì)于兩位數(shù)乘以兩位數(shù)心算時(shí)，如果是筆試出題，計(jì)算過(guò)程中要記住兩個(gè)數(shù)(首項(xiàng)積與尾項(xiàng)積排列后的結(jié)果、兩內(nèi)項(xiàng)積與兩外項(xiàng)積的和)，在實(shí)際操作中是不難記憶的;但如果是口試出題即原題不在題板上顯示，要求記住原題中的兩個(gè)兩位數(shù)，這就要求記住四個(gè)數(shù)，二者比較，在記憶難度上實(shí)際上增加了很多，所以后者更容易出錯(cuò)。筆者建議，對(duì)待后一種情形，我們可以換一種方法應(yīng)對(duì)。

我們稱(chēng)這種方法為湊整法，即在兩個(gè)兩位數(shù)中，選擇一個(gè)更容易湊成整十或整百的數(shù)湊整，這樣很巧妙地把兩位數(shù)乘以兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為了兩位數(shù)乘以一位數(shù)，計(jì)算量大大降低。

這種方法，其理論依據(jù)是乘法的分配律，計(jì)算過(guò)程中只需記住兩個(gè)數(shù)即湊整后與另一個(gè)數(shù)的乘積、湊整后的余數(shù)與另一個(gè)數(shù)的乘積。

例如:79×87=(80－1)×87=80×87－87=6873

在這個(gè)例子中，心算時(shí)只需記住80×87的結(jié)果和87，這個(gè)對(duì)一般人來(lái)說(shuō)都不難記憶。

2 三位數(shù)乘以三位數(shù)

分析完兩位數(shù)乘以兩位數(shù)再分析三位數(shù)乘以三位數(shù)就簡(jiǎn)單很多。

由⑷式可以看出，三位數(shù)乘以三位數(shù)可以轉(zhuǎn)化為五項(xiàng)乘積的和形式，其中第一項(xiàng)末尾四個(gè)零，第二項(xiàng)末尾三個(gè)零，第三項(xiàng)末尾兩個(gè)零，第四項(xiàng)末尾一個(gè)零，第五項(xiàng)末尾沒(méi)有零，同理，可用數(shù)位對(duì)齊來(lái)替代末尾的零。

⑸式說(shuō)明，首項(xiàng)乘以首項(xiàng)(如a×d)，尾項(xiàng)乘以尾項(xiàng)(如c×f)，兩次結(jié)果中間添加兩個(gè)零后從左至右依次排列，如尾項(xiàng)乘得結(jié)果是一位數(shù)，則中間添加三個(gè)零。然后把三個(gè)零的項(xiàng)與其千位對(duì)齊，兩個(gè)零的項(xiàng)與其百位對(duì)齊，一個(gè)零的項(xiàng)與其十位對(duì)齊，最后相加，得出最終結(jié)果。至于為什么能這么做，其原理跟兩位數(shù)乘以兩位數(shù)是一致的。

在此計(jì)算過(guò)程中，至少要記住四個(gè)數(shù)，短時(shí)間記住四個(gè)數(shù)并進(jìn)行運(yùn)算對(duì)一般人來(lái)說(shuō)是不容易的。如果兩個(gè)乘數(shù)位數(shù)再增加，可能要記住更多的數(shù)才能進(jìn)行心算。所以，對(duì)于三位數(shù)乘以三位數(shù)筆者不贊成簡(jiǎn)單套用兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的方法，可以運(yùn)用另外一種方法。

筆者稱(chēng)其為劃分模塊法即可以把三位數(shù)劃分成兩個(gè)模塊，再對(duì)模塊進(jìn)行運(yùn)算，模塊劃分的標(biāo)準(zhǔn)就是使運(yùn)算最簡(jiǎn)單，這樣劃分后，運(yùn)算就快很多。

這樣就把三位數(shù)乘以三位數(shù)轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘以兩位數(shù)形式，簡(jiǎn)單模塊劃分，給計(jì)算帶來(lái)的簡(jiǎn)便性卻是可觀的。

在這種方法中只需記住兩個(gè)數(shù)(即⑹或⑺式中兩個(gè)數(shù))就能進(jìn)行心算，一般人學(xué)會(huì)方法再加適度訓(xùn)練，就能很快對(duì)三位數(shù)乘以三位數(shù)進(jìn)行心算。

3 四位數(shù)乘以四位數(shù)

四位數(shù)乘以四位數(shù)，如果用兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的方法一，在計(jì)算過(guò)程中要記住六個(gè)數(shù)，一般人更無(wú)法企及，除非你有非凡的記憶力，所以這種方法顯然在四位數(shù)乘以四位數(shù)里不能得到推廣，其過(guò)程可參考兩位數(shù)乘以兩位數(shù)或者三位數(shù)乘以三位數(shù)的方法一。

四位數(shù)乘以四位數(shù)最簡(jiǎn)單易掌握的方法也屬劃分模塊法。

四位數(shù)乘以四位數(shù)通過(guò)模塊劃分最終還是轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘以兩位數(shù)形式。

四位數(shù)乘以四位數(shù)，雖然只需記住兩個(gè)數(shù)，但隨著位數(shù)增多，每個(gè)數(shù)也在增大，所以數(shù)位增多帶來(lái)的數(shù)值變大的困難只能通過(guò)訓(xùn)練來(lái)克服，沒(méi)有更好的方法。至于五位數(shù)乘以五位數(shù)乃至更高位數(shù)，劃分模塊無(wú)疑是一個(gè)不錯(cuò)的方法，但乘數(shù)位數(shù)增多，模塊劃分的方法運(yùn)用也越來(lái)越復(fù)雜，所以更高位數(shù)的心算方法就留給其他學(xué)者去探究。

心算本來(lái)就沒(méi)那么神奇，了解一點(diǎn)心算方法，懂得天才是方法加勤奮，而并非天賦異稟。

［1］江蘇衛(wèi)視.最強(qiáng)大腦—終極之戰(zhàn)［EB/OL］.http://v.pptv.com/show/UILoZ881peNGxAg.html.

［2］楊燁.神奇速算法［M］.太原:山西科學(xué)技術(shù)出版社，1992.