傅里葉望遠(yuǎn)鏡對實(shí)際有縱深目標(biāo)成像的研究

董 磊

(中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春130033)

1 引言

傅里葉望遠(yuǎn)鏡具有合成孔徑和主動照明的優(yōu)勢，可以對遠(yuǎn)距離靜止或運(yùn)動目標(biāo)高分辨率成像，成為近年來激光主動成像領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究對象［1－4］。在已有的研究中，不論是計(jì)算機(jī)仿真［5－9］還是室內(nèi)［10－12］或外場實(shí)驗(yàn)［13－15］，所采用的目標(biāo)均是平面合作目標(biāo)。有時為了模擬真實(shí)目標(biāo)的漫反射特性，在目標(biāo)的前面或后面放置透射式漫射體，產(chǎn)生和真實(shí)目標(biāo)類似的漫散射效果。然而真實(shí)目標(biāo)不是平面的，而是有一定的縱向深度，并且縱深是漸變的，或者局部階梯變化。這相當(dāng)于平面目標(biāo)被分割成小塊，塊與塊之間存在軸向距離。對于縱深變化的目標(biāo)，其整體散射回波將不再同步，而是由大量彼此間有一定時間延遲的局部回波組成。局部回波在時間上的錯位將引起解調(diào)信號時間頻譜的展寬，有可能降低重構(gòu)圖像的質(zhì)量，嚴(yán)重則造成無法成像。

由此可知開展傅里葉望遠(yuǎn)鏡對實(shí)際有縱深目標(biāo)的成像研究具有重要意義，它決定了成像系統(tǒng)是否可以對實(shí)際目標(biāo)高分辨率成像。文章后續(xù)部分的安排如下:在原理分析部分從成像基本公式入手，引出有縱深目標(biāo)散射回波信號存在時間延遲問題;然后在仿真分析部分，通過先定性后定量的方式逐步揭示回波相對延遲及目標(biāo)分塊數(shù)目對成像結(jié)果的影響;隨后在討論和建議部分給出避免重構(gòu)圖像質(zhì)量下降所需信號外差頻率范圍以及對短脈沖激光成像提出建議;最后對全文進(jìn)行總結(jié)。

2 原理分析

傅里葉望遠(yuǎn)鏡的成像原理，簡單來說，就是利用地面不同的二維基線的選擇，在目標(biāo)平面處產(chǎn)生不同取向和周期的干涉條紋，從而可以獲取目標(biāo)不同空間頻率的頻譜信息，然后利用傅里葉逆變換重構(gòu)目標(biāo)圖像。其原理的出發(fā)點(diǎn)基于任何二維圖像均可以利用不同空間頻率的周期性條紋疊加而成。由此也可以看出，傅里葉望遠(yuǎn)鏡成像是針對二維平面目標(biāo)，如果目標(biāo)本身有一定的縱向深度或者中心和邊緣的縱向厚度不一樣，則或許影響成像效果甚至無法成像。該問題更具體的分析可基于常見的成像基本公式。

傅里葉望遠(yuǎn)鏡成像原理的基本公式為［1］:

其中，S(k)代表目標(biāo)散射的瞬時回波信號，由公式(1)可以看出該信號正比于目標(biāo)反射率O(x+vt)和相干光場E1exp(iω1t'+k1·x)與E2exp(iω2t'+k2·x)在目標(biāo)表面形成的干涉條紋光強(qiáng)的乘積在目標(biāo)平面處的積分，c．c．代表前面指數(shù)項(xiàng)的復(fù)共軛。公式(1)中，c代表積分常數(shù);每束發(fā)射光波在目標(biāo)處單獨(dú)產(chǎn)生的光強(qiáng);ω=ω1－ω2為兩束光之間的外差頻率;v為目標(biāo)運(yùn)動速度。k=k0Δx/z，其中k0為光波數(shù)，Δx為兩個發(fā)射光束在地面的距離矢量即基線矢量，z為目標(biāo)離地面的距離。由此可以看出空間頻率k與地面基線矢量Δx同向，而地面基線矢量為地平面內(nèi)的二維矢量，故k平行于地平面。只有目標(biāo)平面平行于地面時，k才能同時代表目標(biāo)處條紋的空間頻率，所以從成像基本公式可以看出空間頻率k，地平面和目標(biāo)平面三者互相平行。

我們可以先簡單分析一下公式(1)所代表的理想情況。按照公式(1)，探測器測量到的瞬時光強(qiáng)正比于目標(biāo)反射率和干涉條紋光強(qiáng)的乘積在目標(biāo)平面處的積分。該積分為對空間坐標(biāo)的二維積分，和時間參數(shù)無關(guān)，當(dāng)二維空間積分完成后，再對采樣周期內(nèi)的信號進(jìn)行時間積分。這說明在理想情況下，目標(biāo)任何一個局部散射的回波信號到達(dá)探測器的時間均相同，或者說每個局部散射的回波信號能夠彼此無相對延遲地疊加。而對于有一定縱深的目標(biāo)，每個局部的散射回波彼此間存在相對延遲。

以目標(biāo)中心與邊緣的縱向深度差為1 m為例，如圖1所示，局部1與局部2的縱深差為1 m，則局部1與局部2散射回波的時間延遲差為(1 m×2)/(3×108m/s)=6．7 ns。考慮到大氣湍流引起不同光束光程的變化一般為幾十個波長量級，故光程差應(yīng)小于1 mm，時間延遲差小于1 mm/(3×108m/s)=3．3 ps。該值遠(yuǎn)小于目標(biāo)縱深差引起的時間延遲差，故可以忽略大氣湍流的影響。上面的分析將初始問題轉(zhuǎn)化為，目標(biāo)不同局部散射回波信號有最大6．7 ns時間延遲時，疊加后的信號經(jīng)過時間解調(diào)的結(jié)果是否會明顯偏離理想情況。在后續(xù)的仿真分析部分將采用先定性后定量的方法，對該問題進(jìn)行更加具體的研究。

圖1 縱深為1m的目標(biāo)Fig．1 Object with depth of 1 meter

3 仿真分析

首先嘗試進(jìn)行定性分析。假如信號周期比時間延遲6．7 ns大很多，如圖2所示，比如150 kHz外差信號的周期為6．7μs。該值遠(yuǎn)大于6．7 ns，也就是說，不同信號的延遲(＜6．7 ns)相對于信號周期可以被忽略，不同信號在時間上近似是同步的或者對準(zhǔn)的，故經(jīng)過時間解調(diào)后的結(jié)果不會明顯偏離理想情況。相反，假如信號周期和時間延遲6．7 ns差不多，如圖3所示，比如信號頻率為150 MHz，則對應(yīng)周期恰好為6．7 ns。該時間延遲相對于信號周期就無法被忽略，經(jīng)過時間解調(diào)后的結(jié)果很可能明顯偏離理想情況。

圖2 信號周期遠(yuǎn)大于時間延遲Fig．2 Signal period much larger than time delay

圖3 信號周期與時間延遲接近Fig．3 Signal period similar to time delay

下面將利用matlab軟件開展定量仿真分析。仿真的主要步驟如下:對不同時間延遲情況分別建模，并與無延遲情況的圖像重構(gòu)結(jié)果相比較，找出較好重構(gòu)結(jié)果對應(yīng)的時間延遲范圍。然后改變目標(biāo)分塊數(shù)目，比較不同縱深的分塊數(shù)目的變化對重構(gòu)結(jié)果的影響，從而找出較好重構(gòu)結(jié)果對目標(biāo)分塊數(shù)目的要求。

3．1 不同時間延遲的成像仿真

為了簡單起見，假設(shè)目標(biāo)由縱向深度不同的兩部分組成，每部分的回波時間延遲不同。仿真采用3種不同形狀的衛(wèi)星目標(biāo)，目標(biāo)圖片是分辨率為33×33的灰度圖片。成像仿真中的回波延遲采用兩回波相對延遲差與信號周期之比來表示，由小至大分別為:0，1/128，1/64，1/32，1/16，1/8。所有回波信號持續(xù)時間為4個周期，時間解調(diào)持續(xù)時間也是4個周期?？紤]到信號不可避免受到噪聲的影響，在回波信號中加入信噪比為100的隨機(jī)噪聲。

衍射受限目標(biāo)，重構(gòu)圖像及其對應(yīng)的Strehl值分別如圖4所示。從3種不同目標(biāo)圖像隨回波延遲增加的變化趨勢可以看出，當(dāng)目標(biāo)不同縱深的兩部分的回波延遲差為信號周期的1/32時，還能夠識別重構(gòu)目標(biāo)的輪廓，此時重構(gòu)圖像的Strehl值一般大于0．2。當(dāng)回波延遲差大于信號周期的1/16時，無法識別重構(gòu)目標(biāo)，此時重構(gòu)圖像的Strehl值小于0．1。

圖4 衍射受限目標(biāo)與重構(gòu)圖像的比較Fig．4 The comparison between diffraction－limited object and reconstructed images

3．2 不同縱深分塊數(shù)目的成像仿真

前面的仿真假設(shè)目標(biāo)由縱深不同的兩部分組成，而實(shí)際目標(biāo)的縱深變化往往是漸變的，產(chǎn)生不同延遲的大量回波?；夭〝?shù)目的增加是否影響重構(gòu)質(zhì)量是值得研究的問題，下面將比較分塊數(shù)分別為2，4，8時，重構(gòu)圖像及其Strehl值的變化。

仿真仍采用3種不同目標(biāo)的分辨率為33×33的灰度圖片作為目標(biāo)圖像。分塊數(shù)為4和8時，回波信號的延遲等間隔分布，間隔與信號周期之比分別為1/128，1/256。分塊數(shù)為2、4和8時，回波信號的最大延遲與周期之比分別為7/256，6/256，7/256，分布在0．02～0．03之間，小于1/32。每種分塊數(shù)各重構(gòu)5次，取最好結(jié)果，如圖5所示。

從圖5中3種不同目標(biāo)的重構(gòu)結(jié)果可以看出，分塊數(shù)增加并沒有使成像質(zhì)量下降。由此推知當(dāng)目標(biāo)縱深連續(xù)變化時，產(chǎn)生大量回波信號，只要回波信號的最大延遲差與信號周期之比小于1/32，則可重構(gòu)出可識別的目標(biāo)圖像。從中還看出分塊數(shù)為2時，Strehl值明顯低于分塊數(shù)為4和8對應(yīng)的Strehl值。對該情況的初步判斷是，分塊數(shù)為2時，最大延遲的兩端各對應(yīng)50%的回波信號，而分塊數(shù)為4或8時，最大延遲的兩端各對應(yīng)的回波信號比重明顯下降，分別為25%和12．5%。我們知道最大延遲越小，則圖像質(zhì)量越好，所以最大延遲對應(yīng)信號的比重降低使得重構(gòu)圖像質(zhì)量提高。

圖5 分塊數(shù)分別為2、4和8的重構(gòu)圖像的比較Fig．5 The comparison of reconstructed images with 2，4 or 8 parts

4 討論與建議

至此可以對原理分析中提出的問題給出明確地回答。縱深差為1 m時，對應(yīng)回波最大時間延遲時為6．7 ns。如果信號周期大于6．7 ns×32=214．4 ns，即外差頻率低于4．66 MHz，則回波信號經(jīng)過時間解調(diào)和重構(gòu)算法處理后能重構(gòu)出可識別的目標(biāo)。信號的外差頻率越低，則重構(gòu)圖像質(zhì)量越高。一般空間目標(biāo)的縱深為10 m以內(nèi)，對應(yīng)的最大時間延遲小于67 ns，則采用外差頻率低于466 kHz的信號可重構(gòu)出可識別目標(biāo)圖像。

低外差頻率對于連續(xù)或則寬脈沖激光成像的影響小，然而對于短脈沖激光成像則有明顯影響。傅里葉望遠(yuǎn)鏡成像要求時間解調(diào)持續(xù)時間為整數(shù)倍信號周期，否則成像出現(xiàn)混亂。然而對于超遠(yuǎn)距離成像，為了提高激光峰值功率必然會壓縮脈寬，脈寬有可能壓縮到幾十納秒。為了滿足時間解調(diào)整數(shù)倍信號周期的要求，則一個脈沖內(nèi)至少包含1個周期的信號。這時信號周期持續(xù)時間正好位于回波最大延遲時間以內(nèi)，圖像重構(gòu)結(jié)果將是混亂的，無法識別?；蛟S可以采用延遲補(bǔ)償?shù)姆椒?，對目?biāo)不同部位的回波延遲差進(jìn)行補(bǔ)償，然而補(bǔ)償?shù)那疤崾鞘孪戎滥繕?biāo)不同部位的縱深分布，這顯然是困難的?；蛟S也可以采用多脈沖拼接的方法［16］，降低加載到短脈沖激光上外差信號的頻率，這在理論上是可行的，但具體實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜，還需要進(jìn)一步的研究。

5 結(jié)論

本文開展針對傅里葉望遠(yuǎn)鏡對實(shí)際有縱深目標(biāo)成像的研究。研究發(fā)現(xiàn)實(shí)際目標(biāo)的回波信號不再同步，而是由大量彼此存在延遲的局部回波信號組成。對于縱深變化為米級的目標(biāo)，其回波最大延遲范圍約10 ns，只要信號周期遠(yuǎn)大于該值，則目標(biāo)縱深變化對成像無明顯影響。只要信號周期遠(yuǎn)大于回波最大延遲，目標(biāo)縱深連續(xù)變化或階梯變化對成像結(jié)果無明顯影響。如果信號周期與回波最大延遲相當(dāng)或則更小，則重構(gòu)圖像質(zhì)量嚴(yán)重下降，甚至無法成像。對于脈寬與米級縱深目標(biāo)的回波最大延遲相當(dāng)?shù)亩堂}沖激光成像，或許可以采用多脈沖拼接的方法降低信號外差頻率以實(shí)現(xiàn)對實(shí)際目標(biāo)的高分辨率成像。

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