設(shè)計(jì)幾何動(dòng)畫在初中教學(xué)中的應(yīng)用

傅世球

隨著多媒體設(shè)備在中小學(xué)教學(xué)中的逐步普及，數(shù)學(xué)課的教具演示亦變得多姿多彩了。不單單拘泥于黑板加白字，通過(guò)一些多媒體技術(shù)，一些以前難以用黑板表現(xiàn)出來(lái)的幾何動(dòng)畫所顯示數(shù)學(xué)的美，現(xiàn)在可以輕而易舉的在學(xué)生面前活靈活現(xiàn)的表現(xiàn)出來(lái)了。下面就簡(jiǎn)單的來(lái)闡述一下幾何畫板在教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用實(shí)例。如要證明“任意三角形三高線相交于一點(diǎn)。”可以作“幾何動(dòng)畫”，在動(dòng)態(tài)中當(dāng)三角形變成銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形時(shí)，都觀察出三線共點(diǎn)的不變真理，然后再去證明它們。

1求定值問(wèn)題的動(dòng)畫

例1如圖1，在等腰直角三角形HBA中，底面上任意一點(diǎn)P向兩腰作垂線PD、PC，垂足分別為D、C兩點(diǎn)，求證：PD+PC為定值.

圖1眾所周知，定值是等腰直角三角形的腰長(zhǎng)。證明由學(xué)生自己完成.

如何設(shè)計(jì)、演示例1的幾何動(dòng)畫呢？

先在“自定義工具”中長(zhǎng)按一級(jí)菜單欄中的三角形，再在“二級(jí)菜單欄中的等腰直角三角形”完成笫一步后，再在“自定義工具”中長(zhǎng)按一級(jí)菜單欄中的“線工具”到“二級(jí)菜單欄中的“垂直線工具”作出PC⊥HA，PD⊥HB，然后點(diǎn)擊“箭頭工具”，拉動(dòng)P點(diǎn)在BA上運(yùn)動(dòng)，形成幾何動(dòng)畫。當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)與B點(diǎn)重合時(shí)，讀者可直觀地發(fā)現(xiàn)：PD+PC為定值是腰長(zhǎng)HB.

圖2例2如圖2，任意等腰三角形ABC中，AB=AC，求證：底邊BC上任意一點(diǎn)P，到兩腰的距離之和為定值.

動(dòng)畫的設(shè)計(jì)、演示都可按例1的方法進(jìn)行.

從特殊到一般地探索是教學(xué)研究的好方法。

分析按先猜后證地進(jìn)行。動(dòng)畫的設(shè)計(jì)、演示是“先猜”，“后證”至少有六種方法：特殊和、特殊差、三角函數(shù)法、面積法、利用三角形相似及解析法。

證明1（三角函數(shù)法）如圖2，因等腰三角形兩底角相等∠B=∠C，PD=PC·sinC，PF=PB·sinC，所以PD+PF=PC·sinC+PB·sinC=（PC+PB）sinC=BC·sinC=BE（腰上的高，定值）。

證明2（面積法）在圖2中連結(jié)AP，S△PAC=112AC·PD，S△PAB=112AB·PFS△PAC+S△PAB

=112AC×（PD+PF）=112AC×BEBE=PD+PF。

例3如圖3，在等腰直角三角形HBA中，底面延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)P向兩腰的延長(zhǎng)線作垂線PD、PE，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，求證：PE-PD為定值.

圖3類比、聯(lián)想告訴我們“等腰三角形HBA中，底面延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)P向兩腰的延長(zhǎng)線作垂線PD、PE，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，求證：PE-PD為定值?！币部梢灶愃频剡M(jìn)行探索與研究，得出例4。

例4任意等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之差是一個(gè)定值.

2證明三線段相等的動(dòng)畫

例5如圖4，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R，T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？

解此題可以用幾何畫板作動(dòng)畫。先設(shè)計(jì)動(dòng)畫：長(zhǎng)按“自定義工具”中的一級(jí)菜單的四邊形，移動(dòng)鼠標(biāo)到二級(jí)菜單中的“平行四邊形”；又長(zhǎng)按“自定義工具”中的一級(jí)菜單中的線段，再找“二級(jí)菜單中”之中點(diǎn)，最后點(diǎn)擊“線段工具欄”連結(jié)EB、FB與AC相交于R、T。

圖4再演示動(dòng)畫，拖動(dòng)平行四邊形的頂點(diǎn)D，即可動(dòng)態(tài)觀察，當(dāng)平行四邊形ABCD動(dòng)態(tài)成菱形、矩形、正方形時(shí)，AR=RT=TC。

這也說(shuō)明幾何動(dòng)畫是由直觀性進(jìn)入抽象性的向?qū)А?/p>

對(duì)例5，設(shè)計(jì)動(dòng)畫、演示動(dòng)畫前，可以對(duì)它先進(jìn)行嚴(yán)格的證明：

證明連結(jié)DB，則R，T分別是△DAB和△BDC的重心。由三角形重心性質(zhì)知AR=213AO=113AC，TC=213CO=113AC，所以AR=RT=TC.

例5是已知平行四邊形一組鄰邊的中點(diǎn)之證明。若改為一組對(duì)邊中點(diǎn)，其證明方法更多，讀者試試看，又如何證明呢？

3證明角相等的動(dòng)畫

圖5例6已知在△ABC中，AB、BC、CA的中點(diǎn)分別是E、G、F，高為AD，求證：∠EDF=∠EGF.

如何設(shè)計(jì)、演示動(dòng)畫？讓學(xué)生獲得等角的感性認(rèn)識(shí)呢？

設(shè)計(jì)動(dòng)畫如下首先點(diǎn)擊自定義工具中一級(jí)菜單中的三角形，到二級(jí)菜單中的任意三角形ABC，其次點(diǎn)擊自定義工具中一級(jí)菜單中的線段，到二級(jí)菜單中的線段中點(diǎn)，找出E、F、G，笫三，點(diǎn)擊自定義工具中一級(jí)菜單中的線段，到二級(jí)菜單中的線段垂線，作出AD⊥BC.

演示動(dòng)畫如下用鼠標(biāo)拖動(dòng)A點(diǎn)向左、右移動(dòng)，不管△ABC是鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形時(shí)，∠EDG=∠EFG。在動(dòng)畫演示中永遠(yuǎn)不變。

證明1（利用相似三角形的傳遞性）如圖5，讀者容易證明△ABC∽△EFG，△ABC∽△DEF，所以△EFG∽△DEF，故∠EDF=∠EGF.

證明2（利用四點(diǎn)共圓）在△EDG與△FGD中∠GDC=∠EFB=∠C，ED=GF=112AB，又DF公用，所以△EDF≌△GFD，所以∠DEG=∠DFG推出E、D、F、G四點(diǎn)共圓，故∠EDF=∠EGF.

4設(shè)計(jì)直問(wèn)與曲問(wèn)的動(dòng)畫

所謂直問(wèn)是“問(wèn)在此而意在此”的設(shè)問(wèn)；而所謂曲問(wèn)是“問(wèn)在此而意在彼”的設(shè)問(wèn)。請(qǐng)看幾何甲問(wèn)題：“兩同心圓的外圓上任意兩點(diǎn)分別作內(nèi)圓的兩割線AEB和CFD（圖6），求證：AE·AB=CF·CD”.

圖6圖7曲問(wèn)是提出乙問(wèn)題：“兩同心圓的外圓上任意一點(diǎn)到內(nèi)圓的切線長(zhǎng)一定嗎？”回答是肯定的。

可設(shè)計(jì)動(dòng)畫加以說(shuō)明：首先點(diǎn)擊圓工具作兩個(gè)同心圓，再在自定義工具中點(diǎn)擊一級(jí)菜單中的圓工具長(zhǎng)按不放到二級(jí)菜單中的過(guò)內(nèi)圓上一點(diǎn)作切線，最后點(diǎn)擊線工具連結(jié)PO、AO，即得幾何動(dòng)畫（圖7）.

如何演示動(dòng)畫（乙）呢？只要拖動(dòng)內(nèi)圓切點(diǎn)A，切線段長(zhǎng)永遠(yuǎn)不變，是PA=R2-r2.endprint

不管任意點(diǎn)P在外圓什么地方，切線PA=R2-r2，在圖6中，只要過(guò)A、C兩點(diǎn)作內(nèi)圓的兩切線AH和CR，AH2=AE×AB，CR2=CF×CD，而AH=CR，所以AE·AB=CF·CD.

可見(jiàn)只要曲問(wèn)（乙），甲問(wèn)題自然通過(guò)我們?cè)O(shè)計(jì)的動(dòng)畫，輕松地解決了.

所謂追問(wèn)是數(shù)學(xué)教師根據(jù)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，設(shè)計(jì)出以疑引疑、環(huán)環(huán)相扣、窮追不舍、刨根問(wèn)底、直到學(xué)生弄明白而設(shè)計(jì)的問(wèn)題。

追問(wèn)又有是非答案的追問(wèn)、在知識(shí)結(jié)合部的追問(wèn)、在知識(shí)關(guān)鍵點(diǎn)上的追問(wèn)、明確概念的追問(wèn)、明確方法的追問(wèn)、審思結(jié)果的追問(wèn)、明確定理的追問(wèn)和類比處的追問(wèn)等。如為什么上面甲問(wèn)題的證明要?dú)w結(jié)為乙問(wèn)題的證明？既是曲問(wèn)，又是在知識(shí)結(jié)合部的追問(wèn)。

由于演繹設(shè)問(wèn)是從一般到特殊的連續(xù)追問(wèn)；歸納是從特殊到一般的連續(xù)追問(wèn)；分析設(shè)問(wèn)從未知看需知，逐步靠攏已知的的連續(xù)追問(wèn)；而綜合設(shè)問(wèn)是從已知推可知，逐步推向未知的連續(xù)追問(wèn)；類比設(shè)問(wèn)是從一種特殊到另一種特殊的連續(xù)追問(wèn)。

5設(shè)計(jì)線段比的動(dòng)畫

例8已知P是正方形ABCD的外接圓周AD上任意一點(diǎn)，求證：PC+PA1PB為定值.

分析先用“幾何動(dòng)畫”演示教具，如圖8，當(dāng)P點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)到P、A兩點(diǎn)重合時(shí)，可看出PA=0，這時(shí)PA+PC1PB=2，特殊化求出了定值.

這個(gè)動(dòng)畫是如何設(shè)計(jì)的呢？先點(diǎn)擊圓工具作出圓來(lái)；其次長(zhǎng)按自定義工具欄一級(jí)菜單中的四邊形到二級(jí)菜單中的正方形，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊圓上一點(diǎn)，自然生成正方形直到其它三個(gè)正方形頂點(diǎn)落在圓周上為止，最后點(diǎn)擊直線工具，在AD弧上找任意點(diǎn)P，連結(jié)PB、PC即得動(dòng)畫。

圖8圖9圖10證明1如圖9，過(guò)A作AE⊥PB，所以∠APC=∠ADC=90°，在Rt△ABE與Rt△ACP中，因?yàn)椤螦BP=∠ACP，所以Rt△ABE∽R(shí)t△ACP，所以PA1AE=PC1BE=AC1ABPA+PC1AE+EB=AC1AB，∠APB=∠ACB=45°.

所以AE=PE代換線段得PC+PA1PB=AC1AB=2AB1AB=2為定值.

證明2（用托米勒定理，圖10）AB·PC+BC·PA=AC·PB，AC=2AB，a·PC+a·PA1PB=2aPC+PA1PB=2.

綜上所述，首先是舊知識(shí)，新方法，能使初中幾何教學(xué)“與時(shí)俱進(jìn)”、“常教常新”。筆者在去年8月在中國(guó)鐵道出版社出版的《數(shù)學(xué)課堂教學(xué)藝術(shù)》一書28萬(wàn)字，是“與時(shí)俱進(jìn)”的一部專著，其封面設(shè)計(jì)就是“幾何動(dòng)畫”派生出來(lái)的三幅“幾何靜畫”。此書有為了啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維而設(shè)計(jì)提問(wèn)；構(gòu)造類比；設(shè)計(jì)動(dòng)畫和設(shè)計(jì)“先猜后證”四大特點(diǎn)，本文可見(jiàn)四大特點(diǎn)中的兩方面：設(shè)計(jì)提問(wèn)與設(shè)計(jì)動(dòng)畫。endprint

不管任意點(diǎn)P在外圓什么地方，切線PA=R2-r2，在圖6中，只要過(guò)A、C兩點(diǎn)作內(nèi)圓的兩切線AH和CR，AH2=AE×AB，CR2=CF×CD，而AH=CR，所以AE·AB=CF·CD.

可見(jiàn)只要曲問(wèn)（乙），甲問(wèn)題自然通過(guò)我們?cè)O(shè)計(jì)的動(dòng)畫，輕松地解決了.

所謂追問(wèn)是數(shù)學(xué)教師根據(jù)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，設(shè)計(jì)出以疑引疑、環(huán)環(huán)相扣、窮追不舍、刨根問(wèn)底、直到學(xué)生弄明白而設(shè)計(jì)的問(wèn)題。

追問(wèn)又有是非答案的追問(wèn)、在知識(shí)結(jié)合部的追問(wèn)、在知識(shí)關(guān)鍵點(diǎn)上的追問(wèn)、明確概念的追問(wèn)、明確方法的追問(wèn)、審思結(jié)果的追問(wèn)、明確定理的追問(wèn)和類比處的追問(wèn)等。如為什么上面甲問(wèn)題的證明要?dú)w結(jié)為乙問(wèn)題的證明？既是曲問(wèn)，又是在知識(shí)結(jié)合部的追問(wèn)。

由于演繹設(shè)問(wèn)是從一般到特殊的連續(xù)追問(wèn)；歸納是從特殊到一般的連續(xù)追問(wèn)；分析設(shè)問(wèn)從未知看需知，逐步靠攏已知的的連續(xù)追問(wèn)；而綜合設(shè)問(wèn)是從已知推可知，逐步推向未知的連續(xù)追問(wèn)；類比設(shè)問(wèn)是從一種特殊到另一種特殊的連續(xù)追問(wèn)。

5設(shè)計(jì)線段比的動(dòng)畫

例8已知P是正方形ABCD的外接圓周AD上任意一點(diǎn)，求證：PC+PA1PB為定值.

分析先用“幾何動(dòng)畫”演示教具，如圖8，當(dāng)P點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)到P、A兩點(diǎn)重合時(shí)，可看出PA=0，這時(shí)PA+PC1PB=2，特殊化求出了定值.

這個(gè)動(dòng)畫是如何設(shè)計(jì)的呢？先點(diǎn)擊圓工具作出圓來(lái)；其次長(zhǎng)按自定義工具欄一級(jí)菜單中的四邊形到二級(jí)菜單中的正方形，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊圓上一點(diǎn)，自然生成正方形直到其它三個(gè)正方形頂點(diǎn)落在圓周上為止，最后點(diǎn)擊直線工具，在AD弧上找任意點(diǎn)P，連結(jié)PB、PC即得動(dòng)畫。

圖8圖9圖10證明1如圖9，過(guò)A作AE⊥PB，所以∠APC=∠ADC=90°，在Rt△ABE與Rt△ACP中，因?yàn)椤螦BP=∠ACP，所以Rt△ABE∽R(shí)t△ACP，所以PA1AE=PC1BE=AC1ABPA+PC1AE+EB=AC1AB，∠APB=∠ACB=45°.

所以AE=PE代換線段得PC+PA1PB=AC1AB=2AB1AB=2為定值.

證明2（用托米勒定理，圖10）AB·PC+BC·PA=AC·PB，AC=2AB，a·PC+a·PA1PB=2aPC+PA1PB=2.

綜上所述，首先是舊知識(shí)，新方法，能使初中幾何教學(xué)“與時(shí)俱進(jìn)”、“常教常新”。筆者在去年8月在中國(guó)鐵道出版社出版的《數(shù)學(xué)課堂教學(xué)藝術(shù)》一書28萬(wàn)字，是“與時(shí)俱進(jìn)”的一部專著，其封面設(shè)計(jì)就是“幾何動(dòng)畫”派生出來(lái)的三幅“幾何靜畫”。此書有為了啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維而設(shè)計(jì)提問(wèn)；構(gòu)造類比；設(shè)計(jì)動(dòng)畫和設(shè)計(jì)“先猜后證”四大特點(diǎn)，本文可見(jiàn)四大特點(diǎn)中的兩方面：設(shè)計(jì)提問(wèn)與設(shè)計(jì)動(dòng)畫。endprint

不管任意點(diǎn)P在外圓什么地方，切線PA=R2-r2，在圖6中，只要過(guò)A、C兩點(diǎn)作內(nèi)圓的兩切線AH和CR，AH2=AE×AB，CR2=CF×CD，而AH=CR，所以AE·AB=CF·CD.

可見(jiàn)只要曲問(wèn)（乙），甲問(wèn)題自然通過(guò)我們?cè)O(shè)計(jì)的動(dòng)畫，輕松地解決了.

所謂追問(wèn)是數(shù)學(xué)教師根據(jù)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，設(shè)計(jì)出以疑引疑、環(huán)環(huán)相扣、窮追不舍、刨根問(wèn)底、直到學(xué)生弄明白而設(shè)計(jì)的問(wèn)題。

追問(wèn)又有是非答案的追問(wèn)、在知識(shí)結(jié)合部的追問(wèn)、在知識(shí)關(guān)鍵點(diǎn)上的追問(wèn)、明確概念的追問(wèn)、明確方法的追問(wèn)、審思結(jié)果的追問(wèn)、明確定理的追問(wèn)和類比處的追問(wèn)等。如為什么上面甲問(wèn)題的證明要?dú)w結(jié)為乙問(wèn)題的證明？既是曲問(wèn)，又是在知識(shí)結(jié)合部的追問(wèn)。

由于演繹設(shè)問(wèn)是從一般到特殊的連續(xù)追問(wèn)；歸納是從特殊到一般的連續(xù)追問(wèn)；分析設(shè)問(wèn)從未知看需知，逐步靠攏已知的的連續(xù)追問(wèn)；而綜合設(shè)問(wèn)是從已知推可知，逐步推向未知的連續(xù)追問(wèn)；類比設(shè)問(wèn)是從一種特殊到另一種特殊的連續(xù)追問(wèn)。

5設(shè)計(jì)線段比的動(dòng)畫

例8已知P是正方形ABCD的外接圓周AD上任意一點(diǎn)，求證：PC+PA1PB為定值.

分析先用“幾何動(dòng)畫”演示教具，如圖8，當(dāng)P點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)到P、A兩點(diǎn)重合時(shí)，可看出PA=0，這時(shí)PA+PC1PB=2，特殊化求出了定值.

這個(gè)動(dòng)畫是如何設(shè)計(jì)的呢？先點(diǎn)擊圓工具作出圓來(lái)；其次長(zhǎng)按自定義工具欄一級(jí)菜單中的四邊形到二級(jí)菜單中的正方形，用鼠標(biāo)點(diǎn)擊圓上一點(diǎn)，自然生成正方形直到其它三個(gè)正方形頂點(diǎn)落在圓周上為止，最后點(diǎn)擊直線工具，在AD弧上找任意點(diǎn)P，連結(jié)PB、PC即得動(dòng)畫。

圖8圖9圖10證明1如圖9，過(guò)A作AE⊥PB，所以∠APC=∠ADC=90°，在Rt△ABE與Rt△ACP中，因?yàn)椤螦BP=∠ACP，所以Rt△ABE∽R(shí)t△ACP，所以PA1AE=PC1BE=AC1ABPA+PC1AE+EB=AC1AB，∠APB=∠ACB=45°.

所以AE=PE代換線段得PC+PA1PB=AC1AB=2AB1AB=2為定值.

證明2（用托米勒定理，圖10）AB·PC+BC·PA=AC·PB，AC=2AB，a·PC+a·PA1PB=2aPC+PA1PB=2.

綜上所述，首先是舊知識(shí)，新方法，能使初中幾何教學(xué)“與時(shí)俱進(jìn)”、“常教常新”。筆者在去年8月在中國(guó)鐵道出版社出版的《數(shù)學(xué)課堂教學(xué)藝術(shù)》一書28萬(wàn)字，是“與時(shí)俱進(jìn)”的一部專著，其封面設(shè)計(jì)就是“幾何動(dòng)畫”派生出來(lái)的三幅“幾何靜畫”。此書有為了啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維而設(shè)計(jì)提問(wèn)；構(gòu)造類比；設(shè)計(jì)動(dòng)畫和設(shè)計(jì)“先猜后證”四大特點(diǎn)，本文可見(jiàn)四大特點(diǎn)中的兩方面：設(shè)計(jì)提問(wèn)與設(shè)計(jì)動(dòng)畫。endprint