“銳角三角函數(shù)”的幾個知識點

王新奇

銳角三角函數(shù)是計算線段長度和角度的大小的重要工具，也是聯(lián)系數(shù)與代數(shù)、空間與圖形知識體系的紐帶. 同時，在涉及測量、航海等實際問題時，利用銳角三角函數(shù)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的建模思想、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想. 在中考中，這部分知識若與相似形、方程、函數(shù)、圓的知識相結(jié)合，會形成具有一定難度的綜合題. 現(xiàn)將本章涉及的重要知識點透析如下：

知識點1 特殊角的三角函數(shù)值

（1） 30°角的三角函數(shù)值

求30°角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是利用“直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半”這一特征. 例如設(shè)30°角的對邊為1，則斜邊為2，可求得30°角的鄰邊為，如圖1所示，由此可以求出30°角的三角函數(shù)值.

（2） 60°角的三角函數(shù)值

求60°角的三角函數(shù)值，可利用求30°角的三角函數(shù)值的三角形. 如圖1所示，此時30°角的對邊和鄰邊分別是60°角的鄰邊和對邊，由此可求出60°角的三角函數(shù)值.

（3） 45°角的三角函數(shù)值

求45°角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是利用 “含45°角的直角三角形是等腰三角形”這一特征. 例如設(shè)一條直角邊為1，則另一條直角邊也為1，斜邊為，如圖2所示，由此可求出45°角的三角函數(shù)值.

知識點2 解直角三角形的概念

在直角三角形中由已知元素求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形. 在直角三角形的六個元素中，除直角外，如果知道兩個元素（其中至少有一個是邊），這個三角形就可以確定下來，這樣就可以由已知的兩個元素求出其余的三個元素. 這兩個元素主要包括：一邊一銳角（一條斜邊和一個銳角或一條直角邊和一個銳角）；兩邊（一條斜邊和一條直角邊或兩條直角邊）.

如圖3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，c=5，如何求∠B、a和b呢？

由∠A+∠B=90°，∠A =50°，得∠B=90°-∠A=40°. 由sinA=，得a=c·sinA=5×sin50°≈5×0.766≈3.83. 由cosA=，得b=c·cosA=5×cos50°≈5×0.642 8≈3.21.

上述問題中，我們除直角外，已知一條邊和一個銳角，可以求未知的另兩條邊和一個銳角.

解直角三角形過程中常用知識如下：

在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊.

（1） 三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）.

（2） 銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

（3） 邊角之間的關(guān)系：sinA=，cosA=，tanA=；sinB=，cosB=，tanB=.

（4） 直角三角形的有關(guān)定理：

①直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

②直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

③射影定理：如圖4所示，則有：

CD2=AD·DB，AC2=AD·AB，CB2=BD·BA.

④面積公式：如圖4所示，則有：S△ABC=CA·CB=AB·CD.

知識點3 銳角三角函數(shù)應(yīng)用中的幾個重要概念

（1） 仰角、俯角：如圖5所示，OC為水平線，OD為鉛垂線，OA、OB為視線，我們把視線OA與水平線OC所形成的∠AOC稱為仰角；把視線OB與水平線OC所形成的∠BOC稱為俯角. 進(jìn)行高度測量時，視線與水平線所成的角中，當(dāng)視線在水平線上方時叫做仰角；當(dāng)視線在水平線下方時叫做俯角.

（2） 坡角、坡度：如圖6所示，BC表示水平面，AB表示坡面，我們把水平面BC與坡面AB所形成的∠ABC稱為坡角.

一般地，線段BC的長度稱為斜坡AB的水平寬度，線段AC的長度稱為斜坡AB的鉛垂高度，坡面的鉛垂高度h與水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h∶l，坡度通常寫成1∶m的形式，坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α. 于是i==tanα，顯然，坡度越大，坡面就越陡.

（3） 方位角、方向角

方位角：從某點的正北方向沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向所形成的角叫做方位角. 如圖7所示，∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角.

如圖7所示，目標(biāo)方向OA表示的方位角是50°，目標(biāo)方向OB表示的方位角是110°，目標(biāo)方向OC表示的方位角是250°.

方向角：從正北方向或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角叫做方向角. 如圖8所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方向角.

如圖8所示，目標(biāo)方向OA表示的方向角是北偏東35°，目標(biāo)方向OB表示的方向角是南偏東75°，目標(biāo)方向OC 表示的方向角是南偏西45°，也稱西南方向，目標(biāo)方向OD表示的方向角是北偏西40°.

（作者單位：蘇州市工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）

銳角三角函數(shù)是計算線段長度和角度的大小的重要工具，也是聯(lián)系數(shù)與代數(shù)、空間與圖形知識體系的紐帶. 同時，在涉及測量、航海等實際問題時，利用銳角三角函數(shù)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的建模思想、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想. 在中考中，這部分知識若與相似形、方程、函數(shù)、圓的知識相結(jié)合，會形成具有一定難度的綜合題. 現(xiàn)將本章涉及的重要知識點透析如下：

知識點1 特殊角的三角函數(shù)值

（1） 30°角的三角函數(shù)值

求30°角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是利用“直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半”這一特征. 例如設(shè)30°角的對邊為1，則斜邊為2，可求得30°角的鄰邊為，如圖1所示，由此可以求出30°角的三角函數(shù)值.

（2） 60°角的三角函數(shù)值

求60°角的三角函數(shù)值，可利用求30°角的三角函數(shù)值的三角形. 如圖1所示，此時30°角的對邊和鄰邊分別是60°角的鄰邊和對邊，由此可求出60°角的三角函數(shù)值.

（3） 45°角的三角函數(shù)值

求45°角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是利用 “含45°角的直角三角形是等腰三角形”這一特征. 例如設(shè)一條直角邊為1，則另一條直角邊也為1，斜邊為，如圖2所示，由此可求出45°角的三角函數(shù)值.

知識點2 解直角三角形的概念

在直角三角形中由已知元素求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形. 在直角三角形的六個元素中，除直角外，如果知道兩個元素（其中至少有一個是邊），這個三角形就可以確定下來，這樣就可以由已知的兩個元素求出其余的三個元素. 這兩個元素主要包括：一邊一銳角（一條斜邊和一個銳角或一條直角邊和一個銳角）；兩邊（一條斜邊和一條直角邊或兩條直角邊）.

如圖3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，c=5，如何求∠B、a和b呢？

由∠A+∠B=90°，∠A =50°，得∠B=90°-∠A=40°. 由sinA=，得a=c·sinA=5×sin50°≈5×0.766≈3.83. 由cosA=，得b=c·cosA=5×cos50°≈5×0.642 8≈3.21.

上述問題中，我們除直角外，已知一條邊和一個銳角，可以求未知的另兩條邊和一個銳角.

解直角三角形過程中常用知識如下：

在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊.

（1） 三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）.

（2） 銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

（3） 邊角之間的關(guān)系：sinA=，cosA=，tanA=；sinB=，cosB=，tanB=.

（4） 直角三角形的有關(guān)定理：

①直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

②直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

③射影定理：如圖4所示，則有：

CD2=AD·DB，AC2=AD·AB，CB2=BD·BA.

④面積公式：如圖4所示，則有：S△ABC=CA·CB=AB·CD.

知識點3 銳角三角函數(shù)應(yīng)用中的幾個重要概念

（1） 仰角、俯角：如圖5所示，OC為水平線，OD為鉛垂線，OA、OB為視線，我們把視線OA與水平線OC所形成的∠AOC稱為仰角；把視線OB與水平線OC所形成的∠BOC稱為俯角. 進(jìn)行高度測量時，視線與水平線所成的角中，當(dāng)視線在水平線上方時叫做仰角；當(dāng)視線在水平線下方時叫做俯角.

（2） 坡角、坡度：如圖6所示，BC表示水平面，AB表示坡面，我們把水平面BC與坡面AB所形成的∠ABC稱為坡角.

一般地，線段BC的長度稱為斜坡AB的水平寬度，線段AC的長度稱為斜坡AB的鉛垂高度，坡面的鉛垂高度h與水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h∶l，坡度通常寫成1∶m的形式，坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α. 于是i==tanα，顯然，坡度越大，坡面就越陡.

（3） 方位角、方向角

方位角：從某點的正北方向沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向所形成的角叫做方位角. 如圖7所示，∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角.

如圖7所示，目標(biāo)方向OA表示的方位角是50°，目標(biāo)方向OB表示的方位角是110°，目標(biāo)方向OC表示的方位角是250°.

方向角：從正北方向或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角叫做方向角. 如圖8所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方向角.

如圖8所示，目標(biāo)方向OA表示的方向角是北偏東35°，目標(biāo)方向OB表示的方向角是南偏東75°，目標(biāo)方向OC 表示的方向角是南偏西45°，也稱西南方向，目標(biāo)方向OD表示的方向角是北偏西40°.

（作者單位：蘇州市工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）

銳角三角函數(shù)是計算線段長度和角度的大小的重要工具，也是聯(lián)系數(shù)與代數(shù)、空間與圖形知識體系的紐帶. 同時，在涉及測量、航海等實際問題時，利用銳角三角函數(shù)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的建模思想、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想. 在中考中，這部分知識若與相似形、方程、函數(shù)、圓的知識相結(jié)合，會形成具有一定難度的綜合題. 現(xiàn)將本章涉及的重要知識點透析如下：

知識點1 特殊角的三角函數(shù)值

（1） 30°角的三角函數(shù)值

求30°角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是利用“直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半”這一特征. 例如設(shè)30°角的對邊為1，則斜邊為2，可求得30°角的鄰邊為，如圖1所示，由此可以求出30°角的三角函數(shù)值.

（2） 60°角的三角函數(shù)值

求60°角的三角函數(shù)值，可利用求30°角的三角函數(shù)值的三角形. 如圖1所示，此時30°角的對邊和鄰邊分別是60°角的鄰邊和對邊，由此可求出60°角的三角函數(shù)值.

（3） 45°角的三角函數(shù)值

求45°角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是利用 “含45°角的直角三角形是等腰三角形”這一特征. 例如設(shè)一條直角邊為1，則另一條直角邊也為1，斜邊為，如圖2所示，由此可求出45°角的三角函數(shù)值.

知識點2 解直角三角形的概念

在直角三角形中由已知元素求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形. 在直角三角形的六個元素中，除直角外，如果知道兩個元素（其中至少有一個是邊），這個三角形就可以確定下來，這樣就可以由已知的兩個元素求出其余的三個元素. 這兩個元素主要包括：一邊一銳角（一條斜邊和一個銳角或一條直角邊和一個銳角）；兩邊（一條斜邊和一條直角邊或兩條直角邊）.

如圖3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，c=5，如何求∠B、a和b呢？

由∠A+∠B=90°，∠A =50°，得∠B=90°-∠A=40°. 由sinA=，得a=c·sinA=5×sin50°≈5×0.766≈3.83. 由cosA=，得b=c·cosA=5×cos50°≈5×0.642 8≈3.21.

上述問題中，我們除直角外，已知一條邊和一個銳角，可以求未知的另兩條邊和一個銳角.

解直角三角形過程中常用知識如下：

在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊.

（1） 三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）.

（2） 銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

（3） 邊角之間的關(guān)系：sinA=，cosA=，tanA=；sinB=，cosB=，tanB=.

（4） 直角三角形的有關(guān)定理：

①直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

②直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

③射影定理：如圖4所示，則有：

CD2=AD·DB，AC2=AD·AB，CB2=BD·BA.

④面積公式：如圖4所示，則有：S△ABC=CA·CB=AB·CD.

知識點3 銳角三角函數(shù)應(yīng)用中的幾個重要概念

（1） 仰角、俯角：如圖5所示，OC為水平線，OD為鉛垂線，OA、OB為視線，我們把視線OA與水平線OC所形成的∠AOC稱為仰角；把視線OB與水平線OC所形成的∠BOC稱為俯角. 進(jìn)行高度測量時，視線與水平線所成的角中，當(dāng)視線在水平線上方時叫做仰角；當(dāng)視線在水平線下方時叫做俯角.

（2） 坡角、坡度：如圖6所示，BC表示水平面，AB表示坡面，我們把水平面BC與坡面AB所形成的∠ABC稱為坡角.

一般地，線段BC的長度稱為斜坡AB的水平寬度，線段AC的長度稱為斜坡AB的鉛垂高度，坡面的鉛垂高度h與水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h∶l，坡度通常寫成1∶m的形式，坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α. 于是i==tanα，顯然，坡度越大，坡面就越陡.

（3） 方位角、方向角

方位角：從某點的正北方向沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向所形成的角叫做方位角. 如圖7所示，∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角.

如圖7所示，目標(biāo)方向OA表示的方位角是50°，目標(biāo)方向OB表示的方位角是110°，目標(biāo)方向OC表示的方位角是250°.

方向角：從正北方向或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角叫做方向角. 如圖8所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方向角.

如圖8所示，目標(biāo)方向OA表示的方向角是北偏東35°，目標(biāo)方向OB表示的方向角是南偏東75°，目標(biāo)方向OC 表示的方向角是南偏西45°，也稱西南方向，目標(biāo)方向OD表示的方向角是北偏西40°.

（作者單位：蘇州市工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校）