概率問題中易錯(cuò)題剖析

姜慧斌

一、 對(duì)等可能性的理解有誤

例1 一個(gè)美國家庭有3個(gè)孩子，求這個(gè)家庭中有2個(gè)女孩和1個(gè)男孩的概率.

【錯(cuò)誤解法】共有四種情況：男男男，男男女，男女女，女女女.

故得P=.

【錯(cuò)因分析】這是初學(xué)概率的人最容易犯的錯(cuò)誤. 雖然出現(xiàn)的男孩和女孩的情況只有上述四種，但每一種出現(xiàn)的可能性并不相同，不能忽略概率的等可能性這個(gè)重要特征.

【正確解法】考慮三個(gè)孩子出生性別的等可能性，畫樹狀圖：

類似的問題還有：投擲兩枚硬幣，求出現(xiàn)一正一反的概率等等，都要注意每一事件出現(xiàn)的等可能性，避免犯類似的錯(cuò)誤.

例2 從有2個(gè)紅球和5個(gè)白球的不透明口袋中隨機(jī)摸取2個(gè)球，求這兩個(gè)球是1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率.

【錯(cuò)誤解法】P=×=.

【錯(cuò)因分析】把一次摸兩個(gè)球看作是連續(xù)不放回地摸兩次，采用乘法原理分別計(jì)算出第一次摸到紅球和第二次摸到白球的概率并把它們相乘. 看似正確，但忽略了另一種情況：就是第一次摸到白球，第二次摸到紅球的可能. 因?yàn)楫?dāng)把一次摸2個(gè)球看作是連續(xù)不放回地摸兩次，每次摸一個(gè)球時(shí)，要考慮它們出現(xiàn)的不同順序. 這是很多同學(xué)最容易忽略的問題.

【正確解法】P=×+×=.

也可以用列表法求解（a代表紅球，b代表白球）：

二、 對(duì)有無放回問題的理解有誤

例3 現(xiàn)有分別標(biāo)有1，2，3，4的四張撲克牌：（1） 同時(shí)從中任取兩張，猜測(cè)兩數(shù)和為奇數(shù)的概率；（2） 先從中任取一張，放回后攪勻再取一張，猜測(cè)兩數(shù)和為奇數(shù)的概率. 小明說（1）、（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率相等；小剛說（1）、（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率不相等. 他們倆誰的判斷正確？請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法說理.

【錯(cuò)誤解法】小明的判斷正確. 根據(jù)題意，列表1如下：

由表1可知，（1）、（2）兩種情況下均有16種等可能的結(jié)果，且其中兩數(shù)和為奇數(shù)的都有8種，所以，（1）、（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率都等于. 故小明的判斷正確.

【錯(cuò)因分析】閱讀理解能力欠缺，不能正確獲取題中的信息. 因而需要分清題意、理清思路正確求解，如（1）、（2）兩題的差別在于“有無放回”，（1）屬于“無放回問題”，（2）屬于“有放回問題”. 可多數(shù)學(xué)生認(rèn)為是一回事，導(dǎo)致出錯(cuò).

【正確解法】小剛的判斷正確. 根據(jù)題意（1），列表如下：

由表2可知，（1）的情況下共有12種等可能的結(jié)果，其中兩數(shù)和為奇數(shù)的有8種，

所以，（1）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率：=. 由表3可知，（2）的情況下共有16種等可能的結(jié)果，其中兩數(shù)和為奇數(shù)的有8種，所以（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率：=.

因?yàn)?gt;，所以（1）、（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率不相等. 故小剛的判斷正確.

三、 對(duì)頻率、概率的理解有誤

例4 擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5. 小剛將一枚均勻的硬幣擲了100次，可是出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)卻不是50次，他很納悶，請(qǐng)你幫他解釋一下為什么？

【正確解法】“擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5”，說明擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的可能性為，而并不是說每擲兩次就有一次正面朝上. 因此擲100次出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)不一定是50次了.

【錯(cuò)因分析】小剛的錯(cuò)誤在于他對(duì)“頻率”、“概率”的概念還沒有清晰的理解. 頻率是事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，與試驗(yàn)的條件及次數(shù)有關(guān)；而概率是等可能條件下事件發(fā)生的可能性大小，它是由該隨機(jī)事件的本質(zhì)所決定的，與試驗(yàn)條件及次數(shù)無關(guān). 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)特別多時(shí)，頻率的值越來越穩(wěn)定在某一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是該事件發(fā)生的概率.

同學(xué)們，當(dāng)你學(xué)了高中數(shù)學(xué)以后便可知道，“擲一枚均勻的硬幣100次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)是50次”的概率只有8%左右. 類似地，容易產(chǎn)生這樣錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的問題很多，如：某人購買中獎(jiǎng)率為1%的彩票，他認(rèn)為購買100張肯定中獎(jiǎng)，其實(shí)不然.

概率在我們的日常生活和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，因此我們要學(xué)好概率知識(shí)，學(xué)會(huì)用概率知識(shí)去描述和分析現(xiàn)實(shí)生活中的一些隨機(jī)現(xiàn)象，運(yùn)用概率知識(shí)去解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)概率模型的作用以及運(yùn)用概率思考問題的特點(diǎn)，初步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識(shí).

（作者單位：昆山市秀峰中學(xué)）

一、 對(duì)等可能性的理解有誤

例1 一個(gè)美國家庭有3個(gè)孩子，求這個(gè)家庭中有2個(gè)女孩和1個(gè)男孩的概率.

【錯(cuò)誤解法】共有四種情況：男男男，男男女，男女女，女女女.

故得P=.

【錯(cuò)因分析】這是初學(xué)概率的人最容易犯的錯(cuò)誤. 雖然出現(xiàn)的男孩和女孩的情況只有上述四種，但每一種出現(xiàn)的可能性并不相同，不能忽略概率的等可能性這個(gè)重要特征.

【正確解法】考慮三個(gè)孩子出生性別的等可能性，畫樹狀圖：

類似的問題還有：投擲兩枚硬幣，求出現(xiàn)一正一反的概率等等，都要注意每一事件出現(xiàn)的等可能性，避免犯類似的錯(cuò)誤.

例2 從有2個(gè)紅球和5個(gè)白球的不透明口袋中隨機(jī)摸取2個(gè)球，求這兩個(gè)球是1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率.

【錯(cuò)誤解法】P=×=.

【錯(cuò)因分析】把一次摸兩個(gè)球看作是連續(xù)不放回地摸兩次，采用乘法原理分別計(jì)算出第一次摸到紅球和第二次摸到白球的概率并把它們相乘. 看似正確，但忽略了另一種情況：就是第一次摸到白球，第二次摸到紅球的可能. 因?yàn)楫?dāng)把一次摸2個(gè)球看作是連續(xù)不放回地摸兩次，每次摸一個(gè)球時(shí)，要考慮它們出現(xiàn)的不同順序. 這是很多同學(xué)最容易忽略的問題.

【正確解法】P=×+×=.

也可以用列表法求解（a代表紅球，b代表白球）：

二、 對(duì)有無放回問題的理解有誤

例3 現(xiàn)有分別標(biāo)有1，2，3，4的四張撲克牌：（1） 同時(shí)從中任取兩張，猜測(cè)兩數(shù)和為奇數(shù)的概率；（2） 先從中任取一張，放回后攪勻再取一張，猜測(cè)兩數(shù)和為奇數(shù)的概率. 小明說（1）、（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率相等；小剛說（1）、（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率不相等. 他們倆誰的判斷正確？請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法說理.

【錯(cuò)誤解法】小明的判斷正確. 根據(jù)題意，列表1如下：

由表1可知，（1）、（2）兩種情況下均有16種等可能的結(jié)果，且其中兩數(shù)和為奇數(shù)的都有8種，所以，（1）、（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率都等于. 故小明的判斷正確.

【錯(cuò)因分析】閱讀理解能力欠缺，不能正確獲取題中的信息. 因而需要分清題意、理清思路正確求解，如（1）、（2）兩題的差別在于“有無放回”，（1）屬于“無放回問題”，（2）屬于“有放回問題”. 可多數(shù)學(xué)生認(rèn)為是一回事，導(dǎo)致出錯(cuò).

【正確解法】小剛的判斷正確. 根據(jù)題意（1），列表如下：

由表2可知，（1）的情況下共有12種等可能的結(jié)果，其中兩數(shù)和為奇數(shù)的有8種，

所以，（1）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率：=. 由表3可知，（2）的情況下共有16種等可能的結(jié)果，其中兩數(shù)和為奇數(shù)的有8種，所以（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率：=.

因?yàn)?gt;，所以（1）、（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率不相等. 故小剛的判斷正確.

三、 對(duì)頻率、概率的理解有誤

例4 擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5. 小剛將一枚均勻的硬幣擲了100次，可是出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)卻不是50次，他很納悶，請(qǐng)你幫他解釋一下為什么？

【正確解法】“擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5”，說明擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的可能性為，而并不是說每擲兩次就有一次正面朝上. 因此擲100次出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)不一定是50次了.

【錯(cuò)因分析】小剛的錯(cuò)誤在于他對(duì)“頻率”、“概率”的概念還沒有清晰的理解. 頻率是事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，與試驗(yàn)的條件及次數(shù)有關(guān)；而概率是等可能條件下事件發(fā)生的可能性大小，它是由該隨機(jī)事件的本質(zhì)所決定的，與試驗(yàn)條件及次數(shù)無關(guān). 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)特別多時(shí)，頻率的值越來越穩(wěn)定在某一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是該事件發(fā)生的概率.

同學(xué)們，當(dāng)你學(xué)了高中數(shù)學(xué)以后便可知道，“擲一枚均勻的硬幣100次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)是50次”的概率只有8%左右. 類似地，容易產(chǎn)生這樣錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的問題很多，如：某人購買中獎(jiǎng)率為1%的彩票，他認(rèn)為購買100張肯定中獎(jiǎng)，其實(shí)不然.

概率在我們的日常生活和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，因此我們要學(xué)好概率知識(shí)，學(xué)會(huì)用概率知識(shí)去描述和分析現(xiàn)實(shí)生活中的一些隨機(jī)現(xiàn)象，運(yùn)用概率知識(shí)去解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)概率模型的作用以及運(yùn)用概率思考問題的特點(diǎn)，初步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識(shí).

（作者單位：昆山市秀峰中學(xué)）

一、 對(duì)等可能性的理解有誤

例1 一個(gè)美國家庭有3個(gè)孩子，求這個(gè)家庭中有2個(gè)女孩和1個(gè)男孩的概率.

【錯(cuò)誤解法】共有四種情況：男男男，男男女，男女女，女女女.

故得P=.

【錯(cuò)因分析】這是初學(xué)概率的人最容易犯的錯(cuò)誤. 雖然出現(xiàn)的男孩和女孩的情況只有上述四種，但每一種出現(xiàn)的可能性并不相同，不能忽略概率的等可能性這個(gè)重要特征.

【正確解法】考慮三個(gè)孩子出生性別的等可能性，畫樹狀圖：

類似的問題還有：投擲兩枚硬幣，求出現(xiàn)一正一反的概率等等，都要注意每一事件出現(xiàn)的等可能性，避免犯類似的錯(cuò)誤.

例2 從有2個(gè)紅球和5個(gè)白球的不透明口袋中隨機(jī)摸取2個(gè)球，求這兩個(gè)球是1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率.

【錯(cuò)誤解法】P=×=.

【錯(cuò)因分析】把一次摸兩個(gè)球看作是連續(xù)不放回地摸兩次，采用乘法原理分別計(jì)算出第一次摸到紅球和第二次摸到白球的概率并把它們相乘. 看似正確，但忽略了另一種情況：就是第一次摸到白球，第二次摸到紅球的可能. 因?yàn)楫?dāng)把一次摸2個(gè)球看作是連續(xù)不放回地摸兩次，每次摸一個(gè)球時(shí)，要考慮它們出現(xiàn)的不同順序. 這是很多同學(xué)最容易忽略的問題.

【正確解法】P=×+×=.

也可以用列表法求解（a代表紅球，b代表白球）：

二、 對(duì)有無放回問題的理解有誤

例3 現(xiàn)有分別標(biāo)有1，2，3，4的四張撲克牌：（1） 同時(shí)從中任取兩張，猜測(cè)兩數(shù)和為奇數(shù)的概率；（2） 先從中任取一張，放回后攪勻再取一張，猜測(cè)兩數(shù)和為奇數(shù)的概率. 小明說（1）、（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率相等；小剛說（1）、（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率不相等. 他們倆誰的判斷正確？請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法說理.

【錯(cuò)誤解法】小明的判斷正確. 根據(jù)題意，列表1如下：

由表1可知，（1）、（2）兩種情況下均有16種等可能的結(jié)果，且其中兩數(shù)和為奇數(shù)的都有8種，所以，（1）、（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率都等于. 故小明的判斷正確.

【錯(cuò)因分析】閱讀理解能力欠缺，不能正確獲取題中的信息. 因而需要分清題意、理清思路正確求解，如（1）、（2）兩題的差別在于“有無放回”，（1）屬于“無放回問題”，（2）屬于“有放回問題”. 可多數(shù)學(xué)生認(rèn)為是一回事，導(dǎo)致出錯(cuò).

【正確解法】小剛的判斷正確. 根據(jù)題意（1），列表如下：

由表2可知，（1）的情況下共有12種等可能的結(jié)果，其中兩數(shù)和為奇數(shù)的有8種，

所以，（1）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率：=. 由表3可知，（2）的情況下共有16種等可能的結(jié)果，其中兩數(shù)和為奇數(shù)的有8種，所以（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率：=.

因?yàn)?gt;，所以（1）、（2）中兩數(shù)和為奇數(shù)的概率不相等. 故小剛的判斷正確.

三、 對(duì)頻率、概率的理解有誤

例4 擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5. 小剛將一枚均勻的硬幣擲了100次，可是出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)卻不是50次，他很納悶，請(qǐng)你幫他解釋一下為什么？

【正確解法】“擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5”，說明擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上的可能性為，而并不是說每擲兩次就有一次正面朝上. 因此擲100次出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)不一定是50次了.

【錯(cuò)因分析】小剛的錯(cuò)誤在于他對(duì)“頻率”、“概率”的概念還沒有清晰的理解. 頻率是事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，與試驗(yàn)的條件及次數(shù)有關(guān)；而概率是等可能條件下事件發(fā)生的可能性大小，它是由該隨機(jī)事件的本質(zhì)所決定的，與試驗(yàn)條件及次數(shù)無關(guān). 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)特別多時(shí)，頻率的值越來越穩(wěn)定在某一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是該事件發(fā)生的概率.

同學(xué)們，當(dāng)你學(xué)了高中數(shù)學(xué)以后便可知道，“擲一枚均勻的硬幣100次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)是50次”的概率只有8%左右. 類似地，容易產(chǎn)生這樣錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的問題很多，如：某人購買中獎(jiǎng)率為1%的彩票，他認(rèn)為購買100張肯定中獎(jiǎng)，其實(shí)不然.

概率在我們的日常生活和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，因此我們要學(xué)好概率知識(shí)，學(xué)會(huì)用概率知識(shí)去描述和分析現(xiàn)實(shí)生活中的一些隨機(jī)現(xiàn)象，運(yùn)用概率知識(shí)去解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)概率模型的作用以及運(yùn)用概率思考問題的特點(diǎn)，初步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識(shí).

（作者單位：昆山市秀峰中學(xué)）