淺析輔助函數(shù)的構(gòu)造原理及其在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

王釩

摘 要： 構(gòu)造輔助函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是分析法的一種技巧，它在數(shù)學(xué)分析中的命題推證，一些不等式的證明，以及在求條件極值時(shí)都有用到.有時(shí)候構(gòu)造輔助函數(shù)也是解決數(shù)學(xué)分析問題的簡便而有效的方法之一.

關(guān)鍵詞： 輔助函數(shù) 構(gòu)造原理 數(shù)學(xué)分析 教學(xué)應(yīng)用

在解題過程中，根據(jù)問題的條件與結(jié)論的特點(diǎn)，通過逆向分析、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基本原理，經(jīng)過深入地思考、縝密地觀察和廣泛地聯(lián)想，構(gòu)造出一個(gè)與問題有關(guān)的輔助函數(shù)，通過對函數(shù)特征的考察達(dá)到解決問題的目的，這種解決問題的方法叫做構(gòu)造輔助函數(shù)法.

對于輔助函數(shù)的構(gòu)造的內(nèi)涵十分豐富，沒有固定的模式和方法，構(gòu)造過程充分體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、類比、逆向思維及歸納、猜想、分析、化歸等思想.基本思路是從一個(gè)愿望出發(fā)，聯(lián)想起某種曾遇到過的方法、手段，而后借助于這些方法和手段接近目標(biāo)，或者從這些方法和手段出發(fā)，聯(lián)想別的通向目標(biāo)的方法和手段.這樣繼續(xù)下去，直到達(dá)到把問題歸結(jié)到一個(gè)明顯成立的結(jié)構(gòu)——構(gòu)造輔助函數(shù)上為止.使用構(gòu)造輔助函數(shù)法是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，一般無章可循，它要求既要有深厚堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)背景，又要有豐富的想象力和敏銳的洞察力，針對問題的具體特點(diǎn)采用相應(yīng)的構(gòu)造輔助函數(shù)方法，常?？梢允棺鲱}過程簡潔明了.所以要構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)并不容易，很多同學(xué)對于如何構(gòu)造輔助函數(shù)的問題是相當(dāng)頭痛，學(xué)習(xí)積極性不高，那么怎樣才能掌握好輔助函數(shù)的構(gòu)造并巧妙地應(yīng)用它們呢？下面我就對定理的證明和自己做題過程中的一些問題加以探討。

一、利用解微分方程的方法構(gòu)造輔助函數(shù)

主要適用于中值定理類問題的證明.其基本思路是：將求證存在ξ使F（ξ）=0中的ξ看作自變量，然后通過求解微分方程F（ξ）=0得=H（ξ）=C（其中C是任意常數(shù)），因?yàn)镠′（ξ）=0等價(jià)于F（ξ）=0，所以H（x）就是我們所需構(gòu)造的輔助函數(shù).

例：設(shè)f（x）在[0， ]上可微，且f（0）=f（ ）= ，證明存在ξ∈（0， ），使得f′（ξ）+f（ξ）=cosξ.

分析：解微分方程f′（ξ）+f（ξ）=cosξ（這是一階非齊次線性方程）可得

f（ξ）=e [ e （cosξ+sinξ）+C]

從中解出C=e [f（x）- e （cosξ+sinξ）+C]=H（ξ）

證：令H（x）=e [f（x）- （cosx+sinx）]，由題設(shè)可知H（x）在[0， ]上可微，且H（0）=H（ ）= 根據(jù)羅爾（Rolle）定理知，存在ξ∈（0， ）使得H′（ξ）=0

整理得e [f′（ξ）+f（ξ）-cosξ]=0

所以f′（ξ）+f（ξ）=cosξ.

二、分析與綜合相結(jié)合構(gòu)造輔助函數(shù)

對于一些綜合性較強(qiáng)或形式較復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題，應(yīng)該用綜合法和分析法兩種方式進(jìn)行思考，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，充分挖掘已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過不斷轉(zhuǎn)化命題構(gòu)造輔助函數(shù).

方法歸納：此例中把不等式中的所有上限（或下限）改為X，從而引出輔助函數(shù)F（x），把問題轉(zhuǎn)化為F（x）≥0，再使用單調(diào)性分析證明這個(gè)不等式.另外，在定積分的證明題中，經(jīng)常會(huì)使用積分中值定理，可以將積分消去，從而與其他項(xiàng)作大小比較.

總之，輔助函數(shù)的構(gòu)造離不開分析、推理和聯(lián)想，解題者只有把知識(shí)學(xué)得系統(tǒng)、深入、融會(huì)貫通，才能取得事半功倍之效.

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