函數(shù)與方程思想在數(shù)學解題中的應用

袁海軍

函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學的基本思想，是高中數(shù)學的一條主線，也是歷年高考的重點.函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，函數(shù)思想使常量數(shù)學進入了變量數(shù)學，即用函數(shù)的觀點去分析和研究數(shù)學問題中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系式或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質去解決問題；方程思想就是分析數(shù)學中變量間的等量關系，建立方程或方程組，運用方程的性質去解決問題.對于函數(shù)y=f（x），可轉化到二元一次方程y-f（x）=0.如解方程f（x）=0求函數(shù)y=f（x）的零點.因此，許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法去解決；反之，許多有關函數(shù)的問題也可用方程的方法去解決.

函數(shù)與方程思想在解題中應用廣泛：如函數(shù)與方程兩者之間的相互轉化，在集合、導數(shù)與不等式中，在數(shù)列、三角函數(shù)與平面向量中，在解析幾何、立體幾何中都可以充分體現(xiàn)，本文就它在數(shù)學解題中的應用舉例分析，供同學們參考

一、函數(shù)與方程兩者之間的相互轉化

例1 若方程2a·9sinx+4a·3sinx+a-8=0有解，則a的取值范圍是__________.

解析 令t=3sinx，則t∈[，3]，方程可轉化為：2at2+4at+a-8=0……①

（方法一）記f（t）=2at2+4at+a-8，則原問題轉化為f（x）=0在[，3]內有解（即有一解或兩解），留意到f（t）的對稱軸t=-1[，3]，

∴f（t）=0在[，3]內不可能有兩根，

∴f（t）=0在[，3]有一根只須f（）·f（3）≤0，

即（++a-8）·（18a+12a+a-8）≤0，

∴（-8）·（31a-8）≤0，∴≤a≤.

（方法二）由①轉化為a==.

∵t∈[，3]，∴2（t+1）2-1∈[，31]，

∴a∈[，].

點評 本題先通過換元轉化到熟悉的一元二次方程，接下來再轉化到二次函數(shù)的零點問題，并結合二次函數(shù)圖像性質，再釆用兩種方法計算出答案，前者方程思想，后者函數(shù)思想，明顯看出利用分離常數(shù)求函數(shù)值域更為簡單，這更加體現(xiàn)函數(shù)思想在解題中的實效性.

二、函數(shù)與方程思想在集合中的應用

例2 設A={x│x2+4x=0}，B={x│x2+2（a+1）x+a2-1=0}，若BA，求實數(shù)a的取值范圍.

解析 由A={x│x2+4x=0}={x│x=0或x=-4}={0，-4}.

∵BA，∴B=或B={0}或B={-4}或B={0，-4}.

當B=時，即x2+2（a+1）x+a2-1=0無實根，由△<0，

即4（a+1）2-4（a2-1）<0，解得a<-1；

當B={0}時，由根與系數(shù)的關系：0+0=-2（a+1），0×0=a2-1a=-1；

當B={-4}時，由根與系數(shù)的關系：-4-4=-2（a+1），（-4）×（-4）=a2-1a∈；

當B={0，-4}時，由根與系數(shù)的關系：0-4=-2（a+1），0×（-4）=a2-1a=1；

綜上所得a=1或a≤-1.

點評 對于稍復雜的某些集合題目，一定要全面考慮并仔細審題，防止解的取值擴大或縮小.本題考查了方程思想、分類討論思想.首先要確定對集合B多種情況的討論，千萬不能遺忘B=這一特殊情形；再分別利用方程求根公式及韋達定理求解，最后答案必須進行檢驗，否則解的取值可能擴大.

三、函數(shù)與方程思想在不等式中的應用

例3 已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c.

（1）若a>b>c，且f（1）=0，證明f（x）的圖像與x軸有2個交點；

（2）在（1）的條件下，是否存在mR，使當f（m）=-a成立時，f（m+3）為正數(shù)，若存在，證明你的結論，若不存在，說明理由；

（3）若x1，x2∈R，且x1

解析 （1）∵ f（1）=a+b+c=0且a>b>c，∴a>0且c<0，∴△=b2-4ac>0，∴f（x）的圖像與x軸有兩個交點.

（2）∵ f（1）=0，∴1為f（x）=0的一個根，由韋達定理知另一根為.又∵a>0且c<0，∴<0<1.

又a>b>c，b=-a-ca>0，a>-a-c-2<<0，

則a（m-）（m-1）=-a<0，∴

∴m+3>+3>-2+3=1.

∵f（x）在（1，+∞）單調遞增，∴f（m+3）>f（1）=0.

即存在這樣的m使f（m+3）>0.

（3）令g（x）=f（x）-[f（x1）+f（x2）]，則g（x）是二次函數(shù).

∵g（x1）·g（x2）=[f（x1）-][f（x2）-]=-[f（x1）-f（x2）]2≤0，又∵f（x1）≠f（x2），g（x1）·g（x2）<0，∴g（x）=0的根必有一個屬于（x1，x2）.

點評 本題是典型的函數(shù)、方程、不等式交匯的綜合題.考查考生的讀題，審題，計算，推理，閱讀理解的數(shù)學能力.此題雖然解題思路較為清晰，但涉及到的變量較多，難度偏大；側重考查考生能夠充分利用二次函數(shù)與一元二次方程相互轉化，觀察二次函數(shù)圖像性質，函數(shù)零點存在定理，同時考查不等式基本性質的靈活應用和數(shù)形結合思想.

四、函數(shù)與方程思想在函數(shù)與導數(shù)中的應用

例4 已知函數(shù)f（x）=x+b的圖像與函數(shù)g（x）=x2+3x+2的圖像相切，記F（x）=f（x）g（x）.

（Ⅰ）求實數(shù)b的值及函數(shù)F（x）的極值；