活動經(jīng)歷：數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)形成的關(guān)鍵

費(fèi)嶺峰

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出的課程總目標(biāo)中的“四基”之一。筆者曾撰文談道：數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的形成，在具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出不同的特點(diǎn)，并以“數(shù)的運(yùn)算”學(xué)習(xí)為例，談了基本活動經(jīng)驗(yàn)在具體內(nèi)容學(xué)習(xí)中的特定表現(xiàn)及形成關(guān)鍵。本文將就此問題，結(jié)合“平面圖形的面積計算”的學(xué)習(xí)作進(jìn)一步探討。

一、數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)形成的特點(diǎn)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在課程總目標(biāo)中提出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)?！蓖ㄟ^深入思考，筆者認(rèn)為，“四基”目標(biāo)有其各自的內(nèi)涵，但相互之間又有著密切的聯(lián)系。

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識是指數(shù)學(xué)課程中所涉及的基本概念、基本性質(zhì)、基本法則、基本公式等，基本技能則包括基本的運(yùn)算、測量、繪圖等。數(shù)學(xué)的基本思想主要是指“數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想和數(shù)學(xué)模型的思想。之所以把這些稱之為數(shù)學(xué)基本思想，是因?yàn)樗鼈冐灤┯跀?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，是對數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的集中體現(xiàn)”。數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)則是指學(xué)習(xí)主體在經(jīng)歷為理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、習(xí)得數(shù)學(xué)基本技能以及獲取數(shù)學(xué)基本思想而設(shè)計的數(shù)學(xué)活動的過程中，所形成的具有較強(qiáng)個性特色的感受與體驗(yàn)。

從“四基”的含義或特征來看，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能與基本思想是具體的、顯性的，學(xué)習(xí)過程中也有特定指向，特別是基礎(chǔ)知識和基本技能，是由具體的數(shù)學(xué)知識理解或掌握與否來體現(xiàn)的。而數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的形成則不同，其形成過程中必定有承載著學(xué)習(xí)主體“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”等行為發(fā)生的數(shù)學(xué)活動作支撐，且這個過程是一個長期的、不太顯性的、潛移默化的累積過程，更多表現(xiàn)在學(xué)習(xí)方法的選擇與思維過程的推進(jìn)層面，并且伴隨在知識理解、技能習(xí)得、思想獲取的過程中發(fā)生。

二、“平面圖形的面積計算”學(xué)習(xí)中基本活動經(jīng)驗(yàn)的解構(gòu)

根據(jù)以上分析，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的形成，與學(xué)習(xí)活動的目標(biāo)有著直接的聯(lián)系。特定數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，需借助相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)；學(xué)習(xí)者特定數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的豐富，有助于相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。這就要求我們教師在設(shè)計具體的學(xué)習(xí)活動時，需關(guān)注有利于學(xué)習(xí)者相應(yīng)活動經(jīng)驗(yàn)的積累，從而在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)知識的過程中，能更好地形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)。

就“平面圖形的面積計算”的學(xué)習(xí)而言，我們知道，基礎(chǔ)知識主要是相關(guān)平面圖形的面積計算公式的理解與掌握，基本技能則是會用面積計算公式解決相應(yīng)的問題，基本思想體現(xiàn)為“面積計算公式”探索時思維過程的發(fā)生與發(fā)展、公式提煉時的思考方法的選擇與應(yīng)用?；诖?，我們可以在“平面圖形的面積計算”的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷相關(guān)平面圖形的面積計算公式的理解活動、基本技能的習(xí)得過程、基本思想的獲取歷程的全過程中，結(jié)合具體的猜想驗(yàn)證、動手操作、交流分享、原理思辨等活動，逐漸積累起個性化的感受與體驗(yàn)。同時，根據(jù)“平面圖形的面積計算”學(xué)習(xí)的不同階段，可以將基本活動經(jīng)驗(yàn)的形成解構(gòu)成三個層次：一是基于面積計算本質(zhì)內(nèi)涵理解活動的概念、理解經(jīng)驗(yàn)的形成，二是基于面積計算方法探索活動的模型建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)的形成，三是基于實(shí)際面積問題解決活動的技能應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)的形成。

三、基于“平面圖形的面積計算”學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)形成過程分析

如前所述，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的形成，伴隨著相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，如觀察活動、猜測驗(yàn)證活動、推理與交流活動及抽象與概括活動等。這些活動由于指向目標(biāo)的不同，在經(jīng)驗(yàn)形成過程中起著不同的作用。筆者現(xiàn)就“平面圖形的面積計算”學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的形成過程，結(jié)合實(shí)踐作具體分析。

1.經(jīng)歷面積計算本質(zhì)內(nèi)涵理解的活動，積累概念理解經(jīng)驗(yàn)

面積就是物體表面或平面圖形的大小，度量面積的大小需要用到面積單位。測量某個平面圖形的面積，其實(shí)質(zhì)是測量該平面圖形包含的面積單位的個數(shù)。因此，我們可以這樣認(rèn)為，計算某個平面圖形的面積，其實(shí)質(zhì)便是算出該圖形所包含的面積單位的個數(shù)。如計算一個長5厘米、寬3厘米的長方形的面積，便是計算出這個長方形中包含的平方厘米的個數(shù)。

當(dāng)然，要理解長方形面積計算的本質(zhì)內(nèi)涵，積累起相應(yīng)的概念理解經(jīng)驗(yàn)，并不是一蹴而就的。它可以通過三個層次的數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷逐步積累起相關(guān)的感受與體驗(yàn)。

第一層次的活動：直觀判斷，感知長方形面積的特征及大小，即觀察某個特定的長方形，估測其面積的大小。

第二層次的活動：操作驗(yàn)證，確認(rèn)長方形面積的大小，即通過面積單位的度量，體會某個特定的長方形中含有面積單位的個數(shù)。

第三層次的活動：歸納提煉，深入理解長方形面積與其特定長方形的長和寬的關(guān)系，即通過對應(yīng)理解，總結(jié)方法。

三個層次的活動，可以幫助學(xué)習(xí)者從目標(biāo)、方法層面積累起平面圖形面積內(nèi)涵理解的活動經(jīng)驗(yàn)，即知道計算平面圖形的面積，首先需要弄清面積計算的實(shí)質(zhì)是什么；需要確認(rèn)圖形面積的大小，知道可借助面積單位去度量；最后清晰把握，求解平面圖形的面積時，知道需要根據(jù)長度信息與面積計算之間的關(guān)系，提煉運(yùn)算方法。

這便是學(xué)習(xí)者在長方形面積內(nèi)涵理解活動中獲取的活動經(jīng)驗(yàn)。這樣的活動經(jīng)驗(yàn)顯然是其后續(xù)學(xué)習(xí)其他平面圖形面積計算方法，立體圖形的表面積計算方法，乃至立體圖形體積計算方法的基礎(chǔ)。因?yàn)槲覀冎?，在求立體圖形的表面積時，其實(shí)質(zhì)同樣是在計算立體圖形表面所包含的面積單位的個數(shù)；求立體圖形的體積，其實(shí)質(zhì)則是在計算物體所包含的體積單位的個數(shù)。學(xué)生有了平面圖形的面積內(nèi)涵理解經(jīng)驗(yàn)之后，對這些概念內(nèi)涵的理解，便可以同樣采用直觀判斷、操作驗(yàn)證、歸納提煉等數(shù)學(xué)活動來完成，而這也是學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)形成與發(fā)展的意義體現(xiàn)。

2.經(jīng)歷面積計算方法探索活動，積累模型建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)

當(dāng)有了對平面圖形面積計算的本質(zhì)內(nèi)涵理解之后，面積計算方法的探索提煉才有根基，探索面積計算方法的活動，也才有可能是圍繞本質(zhì)的研究。筆者現(xiàn)以“平行四邊形的面積計算方法的探索”為例，來分析平面圖形的面積計算方法探索及其活動經(jīng)驗(yàn)形成的一般過程。

關(guān)于“平行四邊形的面積計算”這節(jié)內(nèi)容，學(xué)生是在僅僅學(xué)習(xí)和掌握了長方形的面積計算方法（正方形是特殊的長方形）之后學(xué)習(xí)的，因此，對學(xué)生而言，探索平行四邊形的面積計算方法，建構(gòu)面積計算模型，同樣需要經(jīng)歷以下三個層次的活動。

層次一：尋找恰當(dāng)?shù)奶骄柯窂?。從學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)來看，探索平行四邊形的面積計算方法的路徑之一，可如同長方形的面積計算方法探索那樣，從面積意義入手，通過擺面積單位去發(fā)現(xiàn)規(guī)律（事實(shí)上教材提供的擺方格紙的方法便是出于此目的），提煉模型，從而歸納出面積計算公式。這條路徑雖可行，但因?yàn)椴僮鞑牧舷拗疲〝?shù)據(jù)非整數(shù)時，數(shù)方格的方法便缺少說服力）而缺乏普適性。第二條路徑，便是將平行四邊形通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為長方形后，借助長方形的面積計算方法推導(dǎo)出平行四邊形的面積計算方法，此法因從兩者要素關(guān)系的分析入手，不受數(shù)據(jù)的影響，所以更具普適性。

層次二：分析要素間的聯(lián)系，找到合理的轉(zhuǎn)化方式。利用化歸法將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，通過“證實(shí)”與“證偽”，確認(rèn)以“剪拼”的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是合理的方法后，找到原平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的長方形的要素與面積間的聯(lián)系，通過長方形的面積計算公式推導(dǎo)出平行四邊形的面積計算公式。

層次三：在舉一反三基礎(chǔ)上的提煉與歸納。也就是結(jié)合舉例驗(yàn)證，確認(rèn)方法的合理性與公式的正確性，從而掌握平行四邊形的面積計算方法。

顯然，在以上三個層次的數(shù)學(xué)活動中，因?yàn)橛袊@化歸所設(shè)計的操作、驗(yàn)證等活動的充分實(shí)施，切實(shí)體驗(yàn)，其形成與積累的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的活動經(jīng)驗(yàn)，自然成為了后續(xù)學(xué)習(xí)三角形面積、梯形面積以及圓的面積的重要經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，而這也同樣是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)積累的重要價值。

3.經(jīng)歷實(shí)際面積問題解決的活動，積累技能應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)

通過教學(xué)實(shí)踐，我們已經(jīng)知道，學(xué)生應(yīng)用面積計算公式解決實(shí)際問題的過程一般分為三個步驟：一是信息的分析與處理；二是與相關(guān)面積計算方法建立連接，并進(jìn)行解答；三是對解決結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的驗(yàn)證，以確保問題解決的正確性。但在涉及具體問題時，卻又會產(chǎn)生不同的經(jīng)驗(yàn)。筆者認(rèn)為，學(xué)生在用面積計算公式解決實(shí)際問題時，技能應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)積累反映在對不同性質(zhì)問題的探究活動中?，F(xiàn)從三個層面加以說明：

（1）與平面圖形面積計算相關(guān)的基本問題解決經(jīng)驗(yàn)的積累。這是圖形面積計算方法的直接運(yùn)用階段。這樣的問題一般具有信息提供簡單、直接，問題指向明確等特點(diǎn)。如：用一個籬笆圍成一塊長5米、寬4米的長方形菜地，這塊菜地的面積是多少平方米？

解決此類問題時，學(xué)生只需將問題中的條件信息與相關(guān)圖形面積計算公式中的基本元素對應(yīng)起來，直接列式即可解答。以上問題中，實(shí)際是求一個長方形的面積。于是，根據(jù)長方形的面積計算公式：長×寬=面積，直接列出算式5×4計算可得20平方米，其間所涉及的思維要求是最為基本的，也是最為直接的。

（2）與平面圖形面積計算相關(guān)的變式問題解決經(jīng)驗(yàn)的積累。所謂變式問題，是指該問題呈現(xiàn)的信息不能與相關(guān)圖形的面積計算公式中的元素直接建立聯(lián)系，需要通過一定的轉(zhuǎn)化還原才能找到連接點(diǎn)，從而解決問題。如同樣是計算籬笆圍成的長方形菜地面積的問題：用一個36米長的籬笆，圍一塊一面靠墻的長方形菜地，這塊菜地長和寬的比是4：1，這塊菜地的面積是多少平方米？

解決此類問題時，其所利用的經(jīng)驗(yàn)與前一問題有著很大的不同。其首先得思考：根據(jù)全長與長寬之比求得長和寬，且因信息中沒有告知哪邊靠墻，所以結(jié)果又有兩種不同的可能。如果是長邊靠墻，圍成的長方形菜地的長是36÷6×4=24（米），寬為36÷6×1=6（米），面積即為24×6=144（平方米）；如果是短邊靠墻，圍成的長方形菜地長是36÷9×4=16（米），寬為36÷9×1=4（米），面積即為16×4=64（平方米）。這樣的活動經(jīng)驗(yàn)，相對基本問題的解決，就顯得更為豐富，也更為綜合了。

（3）與平面圖形面積計算相關(guān)的綜合問題解決經(jīng)驗(yàn)的積累。此處所講的綜合問題，是指那些雖與平面圖形面積計算相關(guān)，但并不是以求得圖形面積為最終目標(biāo)的問題。在求解過程中，需要學(xué)生有一定的甄別經(jīng)驗(yàn)。

如：用一塊長3米、寬2米的鋼板，切割成兩條直角邊均是0.5米的三角形鋼板，可以切出多少塊？

再如：用一塊長3米、寬2米的鋼板，切割成邊長為6分米的正方形鋼板，可以切出多少塊？

以上兩個問題中圖形信息的提供不是以求解圖形的面積為最終目的的，而是為解決另一個更為具體的生活問題服務(wù)的。顯然，與前面的問題相比，具有更強(qiáng)的綜合性。且在第二個問題的解決過程中，已經(jīng)跳出了用面積計算方法解答的范圍，這在思維要求上突破了平面圖形面積計算的思路，需要在更為廣闊的思維層面上分析問題、解決問題。此類解決問題經(jīng)驗(yàn)的形成與積累，同樣是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程需要完成的，且是后續(xù)學(xué)習(xí)更需要的，是學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的關(guān)鍵內(nèi)容。