一類高階線性微分方程解的增長(zhǎng)級(jí)

鐘文波，易才鳳

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西南昌330022)

0 引言和主要結(jié)果

本文假定讀者熟悉Nevanlinna值分布的基本理論和標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)［1-2］，用T(r，f)表示亞純函數(shù)f的特征函數(shù)，ρ(f)表示亞純函數(shù)f的增長(zhǎng)級(jí)，μ(f)表示f的下級(jí)，n(Ω(θ-ε，θ+ε，r)，f=a)表示f-a在角域Ω(θ-ε，θ+ ε，r)={z:θ- ε＜argz＜ θ+ ε，內(nèi)的零點(diǎn)(計(jì)重?cái)?shù))個(gè)數(shù).

定義1［3］設(shè)f(z)是λ(0＜λ≤∞)級(jí)亞純函數(shù)，1條從原點(diǎn)出發(fā)的射線argz=θ稱為f的1條λ級(jí)Borel方向，如果

至多除去2個(gè)例外的復(fù)數(shù)a.

定義2［4］設(shè)f(z)是下級(jí)為μ(f)(0＜μ(f)＜∞)的亞純函數(shù)，λ為一有限常數(shù)且滿足μ(f)≤λ≤ρ(f)，1條從原點(diǎn)出發(fā)的射線argz=θ稱為f的1條級(jí)≥λ的Borel方向，如果

至多除去2個(gè)例外的復(fù)數(shù)a.

眾所周知，關(guān)于2階線性微分方程

當(dāng)A(z)，B(z)是整函數(shù)時(shí)，方程(1)的解都是整函數(shù)，并且如果B(z)是超越的，而f1，f2是方程(1)的2個(gè)線性無關(guān)解，則f1，f2中至少有1個(gè)是無窮級(jí).一個(gè)很自然的問題:當(dāng)A(z)，B(z)滿足什么條件時(shí)，會(huì)使得方程(1)的所有非零解都是無窮級(jí)?1988年，G.G.Gundersen在文獻(xiàn)［5］中假定A(z)，B(z)為整函數(shù)并滿足ρ(A)＜ρ(B)，以及 1991年 S.Hellerstein等在文獻(xiàn)［6］中假定A(z)是多項(xiàng)式，B(z)是超越的或ρ(B)＜ρ(A)≤1/2，在這些條件下證明了方程(1)的所有非零解均為無窮級(jí).關(guān)于方程解的無窮級(jí)討論，還有一些有趣的結(jié)論，詳見文獻(xiàn)［7-10］.

熟知，虧值和Borel方向是亞純函數(shù)Nevanlinna值分布理論中的2個(gè)不同概念，而楊樂和張廣厚卻驚奇地發(fā)現(xiàn)2者之間有直接聯(lián)系，即下面定理A.

定理A 假設(shè)f是具有有限下級(jí)μ(μ＞0)的整函數(shù)，q為f的級(jí)≥μ的Borel方向的條數(shù)，p為f的有限虧值的個(gè)數(shù)，則p≤q/2.

本文中稱定理A中的“p≤q/2”為楊-張不等式，如果f滿足極端情況p=q/2，則稱f滿足楊-張不等式的極端情況.2013年，龍見仁等在文獻(xiàn)［11］中，運(yùn)用楊-張不等式的極端情形進(jìn)一步研究了方程(1)的相關(guān)問題，得出下面的結(jié)論.

定理B 假設(shè)A(z)是滿足楊-張不等式的極端情況p=q/2的整函數(shù)，B(z)為一超越整函數(shù)且ρ(A)≠ρ(B)，則方程(1)的所有非零解f都具有無窮級(jí).

定理C 設(shè)A(z)是滿足楊-張不等式的極端情況p1=q1/2的整函數(shù)，B(z)也滿足楊-張不等式的極端情況p2=q2/2，若有下列條件之一成立:

(i)q1≠q2;

(ii)q1=q2且A(z)的Borel方向的集合不同于B(z)的Borel方向的集合，則方程(1)的所有非零解f都具有無窮級(jí).

本文主要從楊-張不等式的極端情況來研究高階線性微分方程

解的增長(zhǎng)性，證明了以下結(jié)論.

定理1 假設(shè)Aj(z)(j=0，1，…，k-1)為整函數(shù)，其中存在1個(gè)Ai(z)(i≠0)滿足楊-張不等式的極端情況 p=q/2，ρ(Ai)≠ρ(A0)，且ρ(Aj)＜ρ(A0)(j≠i)，則方程(2)的所有非零解f都具有無窮級(jí)，且超級(jí)滿足

定理2 假設(shè)Aj(z)(j=0，1，…，k-1)為整函數(shù)，其中存在1個(gè)Ai(z)(i≠0)滿足楊-張不等式的極端情況p1=q1/2，A0(z)也滿足楊-張不等式的極端情況 p2=q2/2，且ρ(Aj)＜ρ(A0)(j≠ i)，若下列條件之一成立:

(i)q1≠q2;

(ii)q1=q2，Ai(z)的Borel方向的集合不同于A0(z)的Borel方向的集合，則方程(2)的所有非零解f都具有無窮級(jí)，且超級(jí)滿足(3)式.

注1 在定理1和定理2 中，超級(jí)均滿足(3)式，進(jìn)一步，如果ρ(Ai)≤ρ(A0)，則ρ2(f)=ρ(A0).

1 引理

引理1［12］設(shè)Aj(z)(j=0，1，…，k-1)是整函數(shù)，且ρ(Aj)＜ρ(A0)＜∞(j=1，…，k-1)，則高階線性方程(2)的所有非零解f具有無窮級(jí).

引理2［13］假設(shè)f滿足楊-張不等式的極端情況，則μ(f)=ρ(f).進(jìn)一步，對(duì)于每1個(gè)虧值ai(i=1，…，p)，都存在 1 個(gè)相應(yīng)的角域 Ω(θki，θki+1)={z:θki＜argz＜θki+1}，使得對(duì)于每個(gè)ε＞0和z∈Ω(θki- ε，θki+1+ ε，r，∞)都有

其中A(θki，θki+1，ε，δ(ai，f))是僅依賴于 θki，θki+1，ε和 δ(ai，f)的正常數(shù).

引理3 假設(shè)f滿足楊-張不等式的極端情況，并且 ?θ∈ Ω(θj，θj+1)(1≤j≤q)，使得

引理4［14］設(shè)f(z)是開平面上的超越亞純函數(shù)，Γ={(k1，j1)，(k2，j2)，…，(kq，jq)}是由不同整數(shù)對(duì)組成的有限集合，滿足ki＞ji≥0(i=1，2，…，q)，又設(shè)α(α＞1)是給定的實(shí)常數(shù)及ε＞0為任意給定的正數(shù)，則存在零測(cè)度集E1?［0，2π)和僅依賴于Γ和α的常數(shù)C，使得如果φ0∈［0，2π)E1，則存在常數(shù)R0=R0(φ0)＞1，對(duì)滿足argz=φ0及的所有的z及所有的(k，j)∈Γ，都有

特別地，當(dāng)f(z)的級(jí)ρ(f)=ρ＜∞ 時(shí)，(4)式可由下面的(5)式代替:

引理5［15］設(shè)f(z)是具有無窮級(jí)的整函數(shù)，其超級(jí)ρ2(f)=ρ，令υ(r)為f的中心指標(biāo)，則

引理6 設(shè)Aj(z)(j=0，1，…，k-1)滿足定理1(或定理2 )的條件，且方程(2)的非零解f具有無窮級(jí)，則超級(jí)ρ2(f)≤max{ρ(A0)，ρ(Ai)}.

證由Wiman-Valiron理論可知，存在1個(gè)具有有窮對(duì)數(shù)測(cè)度的集合E2?(1，+∞)，使得當(dāng)z滿足時(shí)，有

記ρ1=max{ρ(A0)，ρ(Ai)}，顯然ρ(Aj)≤ρ1(j=0，1，…，k-1).?ε ＞ 0，當(dāng) r充分大時(shí)，有

方程(2)可變形為

即

由引理5和ε的任意性得

2 定理的證明

由定理1的假設(shè)，Ai(z)滿足楊-張不等式的極端情況，不妨設(shè)ai(i=1，…，p)是Ai(z)的所有有限虧值，argz= θj(j=1，2，…，2p)是Ai(z)的ρ(A0)級(jí)Borel方向，故存在2p個(gè)角域argz＜θj+1}(j=1，…，2p)，由引理 2、引理 3 和Borel方向的定義可以知道Ai(z)有如下性質(zhì):

在每個(gè)角域Sj中，或者存在一些ai，使得當(dāng)z∈Ω(θj- ε，θj+1+ ε，r，∞)時(shí)，有

其中 C(θki，θki+1，ε，δ(ai，Ai))是僅依賴于 θki，θki+1，ε和 δ(ai，Ai)的正常數(shù);或者 ?θ∈ Sj，使得

為方便起見，記 C(θki，θki+1，ε，δ(ai，f))為 C，注意到若存在某些ai在Sj中滿足(9)式，則在Sj-1和Sj+1中?θ使得(10)式成立;若?θ∈Sj滿足(10)式，則分別有某些ai或ai'在Sj-1和Sj+1上滿足(9)式.

不失一般性，假設(shè)在S1中?argz=θ滿足(10)式，故在S3，S5，…，S2p-1中均存在相應(yīng)的1條射線滿足(10)式.由引理3可知，這些角域的張角均為πρ(Ai).

下面分2種情形討論.

情形1 當(dāng)ρ(A0)≥1/2時(shí)，由Phragman-lindelof定理可知，存在1個(gè)角域 Ω(α，β)(0≤α＜β＜2π)，使得 β-α≥ πρ(A0)，并且對(duì)于所有的argz= θ(α＜ θ＜ β)，有

調(diào)查表明，學(xué)生在學(xué)完《統(tǒng)計(jì)學(xué)原理》課程后，較少運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，其比例高達(dá)73.4%，超總體的2/3之多；能夠熟練運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)生僅有26.7%。這種現(xiàn)象在一定程度上說明了，學(xué)生沒有學(xué)以致用，缺乏應(yīng)用所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題的能力。

注意到ρ(Ai)＞ρ(A0)，不難知道存在角域Ω(α'，β')(α＜ α'＜ β'＜ β)和aj0，使得 ?θ(α'≤θ≤β')有

由引理4可知，?θ0(α'≤θ0≤β')和R1＞ 0，使得對(duì) j=1，…，k，當(dāng) r ＞ R1時(shí)，有

又由于

則?ε ＞0，?R2＞0，對(duì)所有的r＞R2，有

記 l=max{ρ(Aj)}(j≠ i)，顯然 l＜ρ(A0).

注意到

因此存在1列{rn}(ρ(A0)-l)2)，有

再由

及(11)～(14)式可知

當(dāng)n充分大時(shí)，上式顯然矛盾.

情形2 當(dāng)ρ(A0)＜1/2時(shí)，由于A0(z)是1個(gè)超越的整函數(shù)，由文獻(xiàn)［16-17］的結(jié)果可知，?θ∈［0，2π)，有

類似于情況1的討論，可得到矛盾.

綜合情形1和情形2可知，已經(jīng)證明了方程(2)的所有非零解均具有無窮級(jí)，由引理6可知ρ2(f)≤max{ρ(A0)，ρ(Ai)}.下面證明ρ2(f)≥ρ(A0)，也分2種情形討論.

(i)ρ(A0)≥1/2.

由引理4可知，存在1個(gè)零測(cè)度集合E1?［0，2π)和2個(gè)常數(shù)B ＞ 0，R3＞ 0，當(dāng)及argz= θ?E1時(shí)，有

對(duì)每個(gè)ε＞0(0＜ε＜(ρ(A0)-l)2)，取滿足(14)式的1 列{rn}，當(dāng) z=rneiθ1，且rn＞max(R2，R3)，θ1∈ Ω(α'，β')-E1時(shí)，有(11)、(13)～(14)和(16)式成立，將其代入(15)式，得

由ε的任意性可知ρ2(f)≥ρ(A0).

(ii)當(dāng)ρ(A0)＜1/2時(shí)，類似于(i)的證明方法可得結(jié)論成立.

定理2 的證明首先考慮Ai(z)，A0(z)滿足條件(i)的情形，若ρ(Ai)≠ρ(A0)，則由定理1可知方程(2)的所有非零解f滿足ρ(f)=∞，且超級(jí)滿足(3)式.下面考慮ρ(Ai)=ρ(A0)=ρ的情況，將其分為2種情形q1＜q2和q1＞q2.

情形1 當(dāng)q1＜q2時(shí)，從引理2和引理3可知，存在q2/2個(gè)張角為π/ρ的角域，使得

并有q1/2個(gè)張角為π/ρ的角域，使得

由q1＜q2不難看出，?α，β(0＜α＜β＜2π)，使得?θ∈(α，β)，Ai(z)有界，而A0(z)滿足(17)式，類似證明定理1的方法可知，方程(2)的每個(gè)非零解f具有無窮級(jí)，且超級(jí)滿足(3)式.

情形2 當(dāng)q1＞q2時(shí)，也存在1個(gè)角域Ω(α，β)，使得Ai(z)有界，而A0(z)滿足(18)式，也用類似證明定理1的方法可得結(jié)論.

當(dāng)Ai(z)，A0(z)滿足條件(ii)時(shí)，可看出存在1個(gè)角域，使得在該角域內(nèi)Ai(z)有界，而A0(z)滿足(17)式，類似于前面的討論，同樣可得到結(jié)論.

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