一類高階線性微分方程解在角域上的增長性

楊碧瓏，易才鳳

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西南昌330022)

0 引言與結(jié)果

本文使用Nevanlinna值分布理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)［1-2］，以 T(r，f)記亞純函數(shù)f(z)的特征函數(shù)，N(r，f=a)表示函數(shù)f(z)的a值點(diǎn)的密值量，ρ(f)和μ(f)分別表示f(z)的級(jí)與下級(jí)，用δ(a，f)表示函數(shù)f(z)在點(diǎn)a的虧量等.

關(guān)于亞純系數(shù)高階線性微分方程

非零解在全平面上的增長性已有很多研究，本文主要討論此類方程的解在某些角域上的增長性.

論文的證明需要用到角域上特征函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)［3-4］.

假設(shè)f(z)是角域Ω(α，β)上的亞純函數(shù)，其中

亞純函數(shù)f(z)在角域Ω(α，β)上的增長級(jí)和下級(jí)依次定義為

下面定義角域上的Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)［5］，令

定義

并運(yùn)用Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)定義了f(z)在角域Ω(α，β)上的級(jí)和下級(jí):

然而這2種不同定義的增長級(jí)存在一定的聯(lián)系，根據(jù)文獻(xiàn)［6］中證明的不等式

其中 Ω= Ω(α，β)，ω= π(β - α)，容易知道，若則σαβ(f)＜∞.若{αj，βj}(j=1，2，…，q)為 q 組實(shí)數(shù)，滿足

定理A［7］設(shè)A0(z)于開平面亞純，具有非零的增長級(jí)ρ(0＜ρ≤∞)，其下級(jí)μ=μ(A0)＜∞，在∞的虧量δ= δ(∞，A0)＞ 0.{αj，βj}(j=1，2，…，q)為滿足(3)式的 q組實(shí)數(shù)，并且，其中σ ＞ 0，μ≤σ≤ρ.若A(z)(j=j1，2，…，k)于開平面亞純且 T(r，Aj)=o(T(r，A0))，則方程

的每1個(gè)非零解f(z)有σX(f)=+∞，其中αj≤argz≤βj}.

自然會(huì)問:當(dāng)A0(z)為具有有限虧值的亞純函數(shù)時(shí)，方程(1)是否也有相同的結(jié)論?下面的定理回答了上述問題.

定理1 設(shè)A0(z)為ρ=ρ(A0)級(jí)亞純函數(shù)，其下級(jí)μ=μ(A0)＜∞，極點(diǎn)收斂指數(shù)λ=λ(1/A0)＜ρ，存 在 有 限 虧 值 a，δ= δ(a，A0) ＞ 0.{αj，βj}(j=1，2，…，q)為滿足(3)式的 q組實(shí)數(shù)，令ω=max{π/(β1-α1)，…，π/(βq-αq)}，且ω＜ρ，，其中 σ＞ 0，max{ω，μ，λ}＜ σ≤ρ.若Aj(z)(j=1，2，…，k-1)于開平面亞純且ρ(Aj)=0，則方程

1 引理

為了證明定理，還需要下面的相關(guān)記號(hào)和引理.

引理1［8］設(shè)f(z)為角域上的有限ρ級(jí)亞純函數(shù)，令 Γ={(n1，m1)，(n2，m2)，…，(nj，mj)}表示滿足ni＞mi≥0(i=1，2，…，j)的不同整數(shù)對(duì)的有限集合，設(shè)ε＞0及δ＞0為給定的正常數(shù)，則存在只與f，ε，δ有關(guān)的常數(shù)k＞0，使得

對(duì)所有(n，m)∈Γ 成立，其中z=reiφ∈Ω(α +δ，β-δ)且z?D，D為由半徑之和為有限的可數(shù)個(gè)圓盤構(gòu)成的R-集，其中kδ=π/(β-α-2δ).

引理2［6，9］設(shè)f(z)為開平面上的超越亞純函數(shù)，下級(jí)μ和級(jí)ρ分別滿足μ＜∞ 和0＜ρ≤∞，則對(duì)任意滿足μ≤σ≤ρ的正數(shù)σ和1個(gè)線性測(cè)度為有限的集合E，存在1個(gè)正數(shù)序列{rn}滿足以下條件:

(iii)T(t，f)≤(1+o(1))(2t/rn)σT(rn/2，f)，t∈［rn/n，nrn］，并稱滿足上述條件的序列{rn}為f(z)在除集E外的σ級(jí)Pólya峰序列.

設(shè)f(z)為開平面上的亞純函數(shù)，a為復(fù)常數(shù)，令

引理3［10］設(shè)f(z)為開平面上的超越亞純函數(shù)，下級(jí)μ和級(jí)ρ分別滿足μ＜∞ 和0＜ρ≤∞，若f(z)具有虧值a∈c^=c∪{∞}，δ= δ(a，f)＞0，則對(duì)f(z)的任一σ(μ≤σ≤ρ)級(jí)Pólya峰序列{rn}有

引理4［11］設(shè)f(z)為開平面上的亞純函數(shù)，Ω(α，β)為開平面上的任一角域，0＜β-α≤2π，則對(duì)任意復(fù)數(shù)a≠∞，有Sαβ(r，1/(f-a))=Sαβ(r，f)+ε(r，a)，其中 ε(r，a)= Ο(1)(r→∞).

引理5［12］設(shè)f(z)為開平面上的亞純函數(shù)，當(dāng)f(0)≠∞時(shí)，

當(dāng)f(0)=∞時(shí)，

其中C-m表示f(z)在z=0點(diǎn)鄰域內(nèi)展式中的首項(xiàng)非零系數(shù).

2 定理的證明

由方程(1)有

(i)若max{ω，μ，λ}＜σ＜ρ.

由引理1可知，對(duì)上述ε和對(duì)給定的ε0＞0以及充分大的N，對(duì)每個(gè)j存在ηj滿足

和只與 f，ε0，ηj有關(guān)的常數(shù) h ＞ 0，使得當(dāng) z=reiφ∈Ω(αj+ηj，βj-ηj)，z? D 時(shí)，對(duì)所以的(n，m)∈ Γ有

其中kδ= π/(βj-αj-2ηj)，D為引理1給出的R-集.

特別地，當(dāng)z=reiφ∈Ω(αj+2ηj，βj-2ηj)時(shí)上式成立，且φ-αj-ηj＞ηj＞0，此時(shí)l(l為某一常數(shù))，所以當(dāng)z=reiφ∈Ω(αj+2ηj，βj-2ηj)，z?D時(shí)，?M ＞ 0，不依賴z，使得

對(duì)A0(z)應(yīng)用引理2，?σ+2ε級(jí)Pólya峰序列{rn}，使

其中rn?F.

由引理3，對(duì)充分大的n有

但由0＜δ＜1，1/2≤ω＜σ可知，

則可得

不妨設(shè)對(duì)所有n都成立，若不然只須取其子列代替.當(dāng)n充分大時(shí)，有

令 Dn=(αj0+ ε，βj0- ε)D'(rn)，En=D(rn，a)∩ Dn，由 D(rn，a)的定義可知

又設(shè) B1:argz= αj0+ ε'，B2:argz= βj0- ε'為由原點(diǎn)發(fā)出的2條半直線，當(dāng)rn充分大時(shí)，取ε'∈(ε/3，2ε/3)使得B1，B2只與 D 中的有限個(gè)圓盤相交，令B2∩D}，則measM1＜+∞，measM2＜+∞.

由 Bαβ(r，f)的定義可得

即得

其中ωj0= π(βj0-αj0-2ε').

又由引理4可得

由rn?F及B1，B2只與D中的有限個(gè)圓盤相交可得

又由于

由(5)式，令 z=rei(αj0+ε')，當(dāng) r∈［1，rn］M1時(shí)，有

即可得

同理可得

即得

又由z=rneiθ∈Ω(αj0+ ε'，βj0- ε')?Ω(αj+2ηj，βj-2ηj)可知，有，則可得Bαj0+ε'，βj0-ε'(rn，f(j)/f)=O(1)，即得

對(duì)Aj(z)(j=1，2，…，k)應(yīng)用不等式(2)

其中 Ω= Ω(αj0+ ε'，βj0- ε')，ω= π/(βj0-αj0-2ε')，由引理5 可知 T0(r，f)=T(r，f)+O(1)，則Dαj0+ε'，βj0-ε'(rn，Aj)≤Sαj0+ε'，βj0-ε'(rn，Aj)=O(T0(rn，Ω，Aj))=O(T0(rn，Aj))=O(T(rn，Aj)).

從而

則

將(11)～(12)代入(10)式，再由(9)式可得

再聯(lián)立(8)式可得

因

由(6)式及(13)式可得

矛盾.

(ii)若σ=ρ時(shí)，對(duì)A0(z)應(yīng)用引理2，存在σ級(jí)Pólya峰序列{rn}，使

其中rn?F.

在(4)式和(7)式處用σ代替σ+2ε，其余過程同(i)得σ＜σ矛盾.故綜合(i)、(ii)，定理1得證.

關(guān)于方程的無窮級(jí)解的研究，還有許多有意義的結(jié)果.如文［13-14］等就是對(duì)方程的某些系數(shù)給定一定的條件，證明了方程的非零解為無窮級(jí).

［1］Hayman W K.Meromorphic function［M］.Oxford:Clarendon Press，1964.

［2］楊樂.值分布論及其新研究［M］.北京:科學(xué)出版社，1982.

［3］GoldbergAA，OstrovskiiIV.The distribution of values ofmeromorphic functions［M］.Russian:Izdat Nauk Moscow，1970.

［4］Nevannlinna R.Uber die eigenschaftenmeromorpher funktionen in einem winklraum［J］.Acta Soc Sci Fenn，1925，50(12):1-45.

［5］Tsuji M.Potential theory inmodern function theory［M］.Tokyo:Maruzen Co LTD，1959.

［6］Zheng Jianhua.Value Distribution ofmeromorphic Functions［M］.Berlin:Springer-Verlag，2010.

［7］Wu Nan.Growth of solutions to higher order linear homogeneous differential equations in angular domains［J］.Electronic Journal of Differential Equations，2010，164(1):1-7.

［8］Wu Shengjian.Estimates for thelogarithmic derivative of ameromorphic function in an angle and their application［C］.Nankai:Proceeding ofInternational Conference on ComplexAnalysis at the NankaiInstitute of Mathematics，International，1992:235-241.

［9］ Wu Shengjian.On transcendentalmeromorphic fuction with radially distributed values［J］.China SerA Math，2004，47(3):401-416.

［10］BaersteinA.Proof of edrei’s spead conjecture［J］.Proc London Math Soc，1973，26(3):418-434.

［11］Wu Shengjian.On the location of zeros of solution of f″+Af=0 whereA(z)is entire ［J］.Math Scand，1994，14(2):293-312.

［12］張廣厚.整函數(shù)和亞純函數(shù)理論［M］.北京:科學(xué)出版社，1986.

［13］涂金，劉翠云，徐洪焱.亞純函數(shù)相對(duì)于 φ(r)的［p，q］增長級(jí)［J］.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，36(1):47-50.

［14］石磊，易才鳳.一類高階線性微分方程解的增長性［J］.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，36(3):230-233.