除半環(huán)的分配格問題

吳雙權(quán)

【摘 要】半環(huán)代數(shù)理論是較為活躍的代數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域之一本文研究了矩形除半環(huán)及矩形除半環(huán)的分配格，討論了這些半環(huán)與它們的乘法半群之間的關(guān)系，進(jìn)一步分析了它們的次直積分解，討論了純整的矩形除半環(huán)的分配格。

【關(guān)鍵詞】半環(huán)；分配格；矩形除半環(huán)

1.矩形除半環(huán)

定義1：半環(huán)S叫做乘法矩形帶半環(huán)，是指它的乘法半群（S，·）是矩形帶.我們用 表示所有的乘法矩形帶半環(huán)類.

命題 1：若S∈Re，則S∈I.

證：設(shè)S∈Re，則（S，·）是矩形帶，?a，b∈S，S滿足aba=a，所以，a+a=a3+a3=a（a+a）a=a，所以S∈I.

定義 2：半環(huán)S叫做矩形除半環(huán)，是指S同構(gòu)于乘法矩形帶半環(huán)和除半環(huán)的直積.

用ReG表示所有的矩形除半環(huán)類.

推論1：對一個(gè)矩形除半環(huán)S，我們有

（1）（S，·）是矩形群。

（2）H是S上的半環(huán)同余。

（3）S的每一個(gè)H-類是S的一個(gè)子除半環(huán)。

定理1：半環(huán)S是知形除半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)S滿足下述條件：

（1）S的乘法半群（S，·）是矩形群。

（2）H是S上的半環(huán)同余。

證明：根據(jù)推論，必要性是顯然的.

充分性：設(shè)半環(huán)s的乘法半群（S，·）是矩形群且 是半環(huán)同余，我們知道y是半環(huán)S的最小除半環(huán)同余，我們有D=HY是S上的泛關(guān)系，H∩Y是S上的恒等關(guān)系，我們定義映射

φ：S→×，（?a∈S），aφ=（H，y）很容易驗(yàn)證φ是一個(gè)同構(gòu)，即φ：S≌×，其中∈Re，∈G這就表明了S是矩形除半環(huán).

2.矩形除半環(huán)的分配格

我們用ReGD表示所有的矩形除半環(huán)的分配格類.

定：2：半環(huán)S是矩形除半環(huán)的分配格，即S∈ReGD，當(dāng)且僅當(dāng)D是S上的最小分配格同余，且每一個(gè)D是矩形除半環(huán).

證明：設(shè)半環(huán)S是矩形除半環(huán)的分配格，則存在半環(huán)同余ρ，使得 是分配格，每一個(gè)ρ類是矩形除半環(huán).因?yàn)镾的乘法半群（S，·）是矩形群的半格，是完全正則半群，那么D是（S，·）上的最小半格同余，我們有D?ρ.另一方面，對任意的u∈S，由于ρu是矩形除半環(huán)，它的乘法半群是半環(huán)S的完全單子半群，所以ρ?D.這就證明了ρ=D.也就是說 D是S上的最小分配格同余，且每一個(gè)D類是矩形除半環(huán).

反之，若D是S上的最小分配格同余，并且每一個(gè)D類是矩形除半環(huán)，由定義可知，S顯然是矩形除半環(huán)的分配格.

定理3：若半環(huán)S是矩形除半環(huán)的分配格，則s滿足：對?a，b∈S，

（ab）0=（ab）0（ba）0（ab）0，

（a+b）0=（a+b）0（b+a）0（a+b）0，

a0=（a+ab）0a0=a0（a+ba）0=（ab+a）0a0=a0（ba+a）0.

證明：設(shè)半環(huán)S是矩形除半環(huán)的分配格，則D是S_上的最小分配格同余，所以對?a，b∈S，abDba，

由于每一個(gè)D-類是矩形除半環(huán)，它的乘法半群是矩形群，所以

（ab）0=（ab）0（ba）0（ab）0，

（a+b）0=（a+b）0（b+a）0（a+b）0，

a0=（a+ab）0a0=a0（a+ba）0=（ab+a）0a0=a0（ba+a）0.

定理4：若S是矩形群的半格，則S是純整的.

證明：設(shè)S是矩形群的半格，對?a，f∈E（S），根據(jù)定理3，我們有

ef=（ef）（ef）0=（ef）2（ef）-1=（ef）2（ef）0（fe）0（ef）0=（ef）2（ef）0=（ef）2，

所以S是純整的.

定理5：設(shè)半環(huán)S是矩形除半環(huán)的分配格，那么S是矩形除半環(huán)的堅(jiān)固分配格當(dāng)且僅當(dāng)s的乘法半群（S，·）是矩形群的堅(jiān)固半格.

證明：顯然分配格D是構(gòu)架，由于D?St，ReG?MRG，故

ReGD?MRGSt，結(jié)淪是顯然的.

定理6：設(shè)半環(huán)S是矩形除半環(huán)的分配格，那么S是矩形除半環(huán)與分配格的次直積，當(dāng)且僅當(dāng)它的乘法半群（S，·）是矩形群和半格的次直積.

定理7：半環(huán)S是矩形除半環(huán)的堅(jiān)固分配格當(dāng)且僅當(dāng)S是矩形除半環(huán)的分配格并且滿足：

（1）E*（S）是正規(guī)帶。

（2）（S，·）是E-酉的。

（3）對任意的e，f，g∈E·（S），e+fgμ（e+f）（e+g），ef+gμ（e+f）（e+g）。

證明：設(shè)半環(huán)s是矩形除半環(huán)的分配格并且滿足E*（S）是正規(guī)帶，

（S，·）是E-酉的，同時(shí)，對任意的e，f，g∈E·（S），

e+fgμ（e+f）（e+g），ef+gμ（e+f）（e+g），

由于半環(huán)S是矩形除半環(huán)的分配格，E*（S）是正規(guī)帶.根據(jù)，E*（S）是矩形群的強(qiáng)半格，我們有：對任意的α≥β∈D和任意的a∈Sa，存在唯一的eβ∈E·（Sβ），使得eβa=aeβ，且a≥eβ，我們有（S，·）=[（D，·）；（Sa，·）；φα，β]；， 其中（D，·）和（Sa，·.）分別表示分配格D=和矩形除半環(huán)Sa的乘法半群，其中，Sa是半環(huán)的D-類，且φα，β定義為：（?a∈S）aφα，β=eβa=aeβ

下面我們證明φα，β是單射：

對?a，b∈Sa存在eβ，fβ∈E·（Sβ）使得：

aφα，β=eβa=aeβ，a-1φα，β=a-1eβ=eβa-1，bφα，β=fβb=bfβ

如果aφα，β=bφα，β，則aeβ=bfβ，eβa=fβb

若aeβ=bfβ，則

aeβa-1eβ=bfβa-1eβ，（兩邊右乘a-1eβ）

aa-1eβeβ=ba-1fβeβ，

a0eβ=ba-1a0fβeβ=ba-1eβ，（E·（Sβ）是矩形帶，E*（S）是正規(guī)帶）

由于（S，·）是E-酉的，所以ba-1E·（Sa），根據(jù)引理4，我們得到bya

又因?yàn)镋·（Sa）是矩形帶，所以ba-1=b0（ba-1）a0=b0a0，則，

eβ=a0eβ=ba-1eβ=b0a0b0eβ=b0aβ， （E*（S）是正規(guī)帶）

類似地，可得eβ=eβb0，所以b0≥eβ，fβ=eβ，

由a0eβ=b0aβ，可得：

a0eβ+a0=b0aβ+a0，（兩邊右加a0）

a0（eβ+a0）a0=a0eβa0+a0=a0eβ+a0=b0aβ+a0=b0aβb0+a0，

a0Ha0（eβ+a0）a0=a0eβa0+a0H（b0+a0）（eβ+a0）（b0+a0），

a0=[（b0+a0）（eβ+a0）（b0+a0）]0

=（b0+a0）0（eβ+a0）0（b0+a0）0

=（b0+a0）0

類似地可得b0=（b0+a0）0，所以a0=（b0+a0）0=b0，即。aHb

因?yàn)閍Hb且ayb，所以a=b，這就證明了φ是單射，也就是說半環(huán)S的乘法半群是矩形群的堅(jiān)固半格，根據(jù)定理5，我們得到半環(huán)S是矩形除半環(huán)的堅(jiān)固分配格.

反之，設(shè)半環(huán)S是矩形除半環(huán)Sa的堅(jiān)固分配格D，顯然S是矩形除半環(huán)的分配格，它的乘法半群是矩形群的堅(jiān)固半格，根據(jù)定理知， E*（S）是正規(guī)帶.

對任意α，β∈D，e∈E*（Sa），a∈Sβ，若，ea=fαβ∈E*（Sαβ），則ea=eφα，αβaφβ，αβ=fαβ由于（Sαβ，.）是矩形群，是E-酉的，所以aφβ，αβ∈E*（Sαβ），因?yàn)棣帐菃瓮瑧B(tài)，所以a∈E*（Sβ），這就證明了（S，·）是E-酉的.

對任意，e∈E*（Sa），f∈E*（Sβ），g∈E*（Sγ），

（e+fg）2=e+efg+fge+fg （下轉(zhuǎn)第248頁）

（上接第231頁）=e+eφα，αβγfφγ，αβγgφγαβγ+fφβαβγgφγαβγeφα，αβγ+fφβ，βγgφγ，βγ

=[eα，αβγ+eφα，αβγfφβαβγgφγαβγ+fφβαβγgφγαβγeφα，αβγ+fφβ，αβγgφγ，αβγ]φαβγ，αβγ

=[eα，αβγ+eφα，αβγgφγαβγ+fφβαβγeφα，αβγ+fφβαβγgφγαβγ]φαβγ，αβγ.（e+f）（e+g）

=e+eg+fe+fg

=e+eφα，αβgφγαγ+fφβαβeφα，αβγ+fββγgφγβγ

=[eα，αβγ+eφα，αβγgφγαβγ+fφβαβγeφα，αβγ+fφβαβγgφγαβγ]φαβγ，αβγ

所以（e+f）（e+g）=（e+fg）2

因?yàn)镾α+βγ是矩形除半環(huán)，根據(jù)推論1，每一個(gè)H-類是Sα+βγ的子除半環(huán)，所以，e+fgH（e+fg）2=（e+f）（e+g），

類似地，我們可以證明ef+gH（e+f）（e+g）.

由定理7，我們直接可得如下定理：

定理8：半環(huán)S是矩形除半環(huán)和分配格的次直積當(dāng)且僅當(dāng)S是矩形除半環(huán)的分配格并且滿足：

（1）E*（S）是正規(guī)帶。

（2）（S，·）是E-酉的。

（3）對?a，f，g∈E*（S） e+fgH（e+f）（e+g） ef+gH（e+g）（f+g）

3.純整的矩形除半環(huán)的分配格

下面我們將討論的半環(huán)，其乘法冪等元E*（S）成為其子半環(huán)，稱這樣的半環(huán)是純整的，用O表示所有的純整的半環(huán)類.

我們用ReGD∩O表示所有的純整的矩形除半環(huán)的分配格類.

定理9：若S∈ReGD∩O，則E*（S）∈ROD.

證明：設(shè)S∈ReGD∩O，則?a，f∈E*（S），e2=e根據(jù)定理3，我們有e=（e+f）0e=（e+ef）e=e+efe，e=（e+f）0e=（e+ef）e=efe+e，從而，E*（S）滿足恒等式：x2≈x，x+xyx≈x，xyx+x≈x

我們得到E*（S）∈ROD.

定理10：若半環(huán)S∈ReGD∩O，那么S是矩形除半環(huán)的堅(jiān)固分配格當(dāng)且僅當(dāng)S滿足：

（1）（S，·）是E-酉的。

（2）E*（S）∈ID。

證明：設(shè)半環(huán)S∈ReGD∩O，（S，·）是E-酉的，E*（S）∈ID.我們有， E*（S）∈ROD，由定理7，我們知道E*（S）的乘法半群是正規(guī)帶，我們得到S是矩形除半環(huán)的堅(jiān)固分配格.

反之，設(shè)半環(huán)S∈ReGD∩O，且S是矩形除半環(huán)的堅(jiān)固分配格，我們有（s，·）是E-酉的，對?a，f，g∈E*（S）， e+fgH（e+f）（e+g）ef+gH（e+g）（f+g），

（e+fg）0=[（e+f）（e+g）]0=（e+f）0（e+g）0

（e+fg）0=[（e+f）（e+g）]0=（e+f）0（f+g）0

根據(jù)引理有e+fg=（e+f）（e+g） ef+g=（e+g）（f+g）

所以E*（S）∈ID. [科]

【參考文獻(xiàn)】

[1]HowieJ.M.FundamentalsofSemigrouPTheory.OxfordSeieneePublieations，Oxford，1995.

[2]HowieJ.M.AnIntroductiontoSemigrouPTheory.AcademiePress，1976.

[3]GolanJ.S.TheTheoryofSemiringswithAPPlieationinMathematicsandTheoretiealCom

PuterSeienee.LongmanScientificandTeehnieal，Harlow，1992.

[4]pastijnF.，ZhaoX.Z.Varieties of idempotent，semirings，with commutativeaddition.Algebra Universalis，2005.