軟半環(huán)的軟同態(tài)和軟商半環(huán)

朱寬云，詹建明

( 湖北民族學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖北 恩施445000)

在1999 年，Molodtsov［1］介紹了軟集的概念，這可以看作是一種新的數(shù)學(xué)工具來(lái)處理不確定性問(wèn)題．隨后，軟集理論不斷發(fā)展，有些學(xué)者將其應(yīng)用到代數(shù)結(jié)構(gòu)上．Jun［2］介紹和研究了軟Bck/BCI 代數(shù)．后來(lái)，Acar［3］提出軟環(huán)的定義并且給出軟環(huán)的一些性質(zhì)．在文獻(xiàn)［4－5］中，Liu 已經(jīng)在軟環(huán)上建立了三個(gè)同構(gòu)定理和模糊同構(gòu)定理，隨后，F(xiàn)eng［6］介紹了軟半群的軟同態(tài)和軟商半群．后來(lái)，Xin［7］將同余關(guān)系作用到環(huán)上，研究了環(huán)上的軟同余關(guān)系，并建立了幾個(gè)軟同構(gòu)定理．本文主要介紹半環(huán)上的軟同余關(guān)系，并且通過(guò)軟同余關(guān)系來(lái)構(gòu)造商結(jié)構(gòu)，刻畫幾個(gè)軟半環(huán)的軟同構(gòu)定理．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［8］令(F，A)和(G，B)分別是半環(huán)S和T上的兩個(gè)軟半環(huán)，令f:S→T和g:A→B是兩個(gè)函數(shù)，如果滿足下面的幾個(gè)條件，那么序?qū)?f，g)稱作軟半環(huán)同態(tài)．

1)f是半環(huán)上的滿同態(tài);2)g是滿射;3)對(duì)于所有的x∈A，f(F(x))=G(g(x))．

如果在(F，A)和(G，B)之間存在一個(gè)軟半環(huán)同態(tài)，那么說(shuō)(F，A)對(duì)(G，B)軟同態(tài)化，表示為(F，A)～(G，B)．更近一步，如果f是半環(huán)上的同構(gòu)，g是雙射，那么稱(f，g)是軟半環(huán)同構(gòu)．在這種情況下，說(shuō)(F，A)對(duì)(G，B)軟同構(gòu)化，表示為(F，A)?(G，B)．

例1 表示? 和Zn分別是整數(shù)半環(huán)和模n的整數(shù)半環(huán)．令f:? →Zn是一個(gè)自然映射，對(duì)于所有的x∈? ，定義為f(x)=［x］．很明顯，f是半環(huán)上的滿同態(tài)．令?+是所有正整數(shù)的集合，定義一個(gè)映射為g:?+→Zn，對(duì)于所有的x∈?+，g(x)=［x］，很容易驗(yàn)證g是滿射．令(α，?+)是? 上的軟集，這里α:? →P(? )是一個(gè)極值映射，對(duì)于所有的x∈?+定義為α(x)= 3xk|k∈Z}

{

．很容易驗(yàn)證對(duì)于所有的x∈?+，α(x)=3x? 是? 上的子半環(huán)．因此(α，?+)是? 上的軟半環(huán)．令(β，Zn)是Zn上的軟集，這里β:Zn→P(Zn)是一個(gè)極值映射對(duì)于所有的［x］∈Zn定義為β(［x］)= ［3xk］|k∈Z}

{

．很容易證明(β，Zn)是Zn上的軟半環(huán)．更進(jìn)一步，對(duì)于所有

的x∈?+，因?yàn)椴⑶?，得到f(α(x))，因此(f，g)是軟半環(huán)同態(tài)并且

2 軟商半環(huán)和軟同構(gòu)定理

定理1 令(σ，A)是半環(huán)S上的軟同余關(guān)系，對(duì)于，那么對(duì)于α∈A，S/σ(α)在下面的二元運(yùn)算下是一個(gè)半環(huán)．

這里x，y∈S．

證明 首先驗(yàn)證上面的二元運(yùn)算是定義合理的．對(duì)于所有α∈A，a，a'，b，b'∈S，首先考慮［a］σ(α)=［a'］σ(α)，［b］σ(α)=［b'］σ(α)．因此(a，a')∈σ(α)，(b，b')∈σ(α)，根據(jù)半環(huán)同余的定義，立即可以得到(a+b，a+b')∈σ(α)，(ab，ab')∈σ(α)，因此［a+b］σ(α)=［a'+b'］σ(α)，［ab］σ(α)=［a'b'］σ(α)，現(xiàn)在很容易驗(yàn)證S/σ(α)是一個(gè)半環(huán)．

令σ 是半環(huán)S上的同余關(guān)系，(F，A)是半環(huán)S上的軟半環(huán)，把(F，A)/σ 表示為(K，A)，對(duì)于所有α∈A，K(α)= ［a］σ:a∈F(a)}

{

．因?yàn)镕(α)是半環(huán)S上的子半環(huán)，很容易知道K(α)是S/σ 的子半環(huán)．因此(F，A)/σ是S/σ 的一個(gè)軟半環(huán)．

定義1 令(F，A)和(G，B)分別是半環(huán)S和T上的兩個(gè)軟半環(huán)，令(f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個(gè)軟同態(tài)，把ker(f，g)定義為半環(huán)S上軟二元關(guān)系(δ，A)，對(duì)于所有α∈A，

命題1 令(F，A)和(G，B)分別是半環(huán)S和T上的兩個(gè)軟半環(huán)，如果(f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個(gè)軟同態(tài)，那么ker(f，g)是(F，A)上的軟同余關(guān)系．

證明 因?yàn)?f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個(gè)軟同態(tài)，由定義f:S→T是半環(huán)上的滿同態(tài)，g:A→B是滿射，并且對(duì)于所有的α∈A，f(F(x))=G(g(x))．把軟關(guān)系ker(f，g)寫為(δ，A)，對(duì)于所有的α∈A，δ(α)=(kerf)|F(α)．因?yàn)閗erf是半環(huán)S上的等價(jià)關(guān)系，容易知道對(duì)于所有的α∈A，δ(α)是子半環(huán)F(α)上的等價(jià)關(guān)系．更近一步，假設(shè)(a，a')∈σ(α)，(b，b')∈σ(α)，那么f(a)=f(a')，f(b)=f(b')，因此有:

這表明(a+b，a'+b')∈δ(a)，(ab，a'b')∈δ(a)，因此對(duì)于所有的α∈A，δ(α)是F(α)上的同余關(guān)系．故ker(f，g)是(F，A)上的軟同余關(guān)系．

定理2 令(F，A)和(G，B)分別是半環(huán)S和T上的兩個(gè)軟半環(huán)，如果(f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個(gè)軟同態(tài)并且g:A→B是一個(gè)單射，那么對(duì)于所有的α∈A，存在唯一一個(gè)軟同構(gòu)(h，g):(F，A)/kerf→(G，B)使得h(F(α)/kerf)=G(g(α))．

證明 因?yàn)?f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個(gè)軟同態(tài)，因此f:S→T是半環(huán)上的滿同態(tài)，g:A→B是滿射，并且對(duì)于所有的α∈A，f(F(x))=G(g(x))．令h:S/kerf→T是一個(gè)映射，定義為h(［a］kerf)=f(a)，這里a∈S．因?yàn)?

們立刻得到h既是良定義又是單射．更進(jìn)一步，可以驗(yàn)證h:S/kerf→T是半環(huán)上的滿同態(tài)．事實(shí)上，令a，b∈S，則:

因此h是從S/kerf→T的同態(tài)映射，因?yàn)橛杉僭O(shè)f:S→T是滿同態(tài)，所以h是滿射．把軟集(F，A)/kerf表示為(K，A)，對(duì)于所有的α∈A，K(α)=F(α)/kerf，因此，有:

而且，由題設(shè)條件，g是雙射，因此(h，g)是(F，A)/kerf→(G，B)的軟同構(gòu)．

定理3 令(F，A)和(G，B)分別是半環(huán)S和T上的兩個(gè)軟半環(huán)，如果(f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個(gè)軟同態(tài)，ρ 是半環(huán)S上的同余關(guān)系并且滿足ρ?kerf，那么對(duì)于所有的α∈A，存在唯一一個(gè)軟同態(tài)(h，g):(F，A)/ρ→(G，B)使得h(F(α)/ρ)=G(g(α))．

證明 因?yàn)?f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個(gè)軟同態(tài)，因此f:S→T是半環(huán)上的滿同態(tài)g:A→B是滿射，并且對(duì)于所有的α∈A，f(F(x))=G(g(x))．

令h:S/ρ→T是一個(gè)映射定義為h(［a］ρ)=f(a)，這里a∈S．

因?yàn)椋踑］ρ=［b］ρ?(a，b)∈ρ?kerf?f(a)=f(b)，立刻得到h是良定義，更進(jìn)一步，可以驗(yàn)證h:S/ρ→T是半環(huán)上的滿同態(tài)．事實(shí)上，令a，b∈S，則:

因此h是從S/ρ→T的同態(tài)映射，因?yàn)橛杉僭O(shè)f:S→T是滿同態(tài)，所以h是滿射．把軟集(F，A)/kerf表示為(K，A)，對(duì)于所有的α∈A，K(α)=F(α)/ρ，因此，有:

因此(h，g)是(F，A)/ρ→(G，B)的軟同態(tài)．

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