k-Noetherian半環(huán)的Ore擴張

卓遠帆, 谷勤勤

(安徽工業(yè)大學 數(shù)理科學與工程學院, 安徽 馬鞍山 243032)

Noetherian環(huán)是指在左理想和右理想上滿足升鏈條件的一種環(huán).1893年,Hilbert[1]在研究不變量理論時首先發(fā)現(xiàn)了多項式環(huán)的任意理想都是有限生成的.隨后,Noether[2]在1921年從中歸納出升鏈條件.之后,越來越多的研究者開始關注這種環(huán),如文獻[3-5]所示.一些Noetherian環(huán)的例子和性質(zhì)也被相繼給出.在這些性質(zhì)之中,最重要的一個結論就是：Noetherian環(huán)R的Ore擴張R[x;γ,d]也是Noetherian的,其中映射γ為R的自同構(見文獻[3]的定理2.6).

作為環(huán)的一種推廣,半環(huán)首先出現(xiàn)在1894年Dedekind[6]的代數(shù)數(shù)論原著中.1934年,Vandiver[7]率先給出了半環(huán)的定義,并對其進行系統(tǒng)研究.近年來,半環(huán)理論迅速發(fā)展,在線性代數(shù)、模糊數(shù)學等方面都有著一定的應用[8-10].同時,各種Noetherian性質(zhì)也被運用到半環(huán)上.1972年,Stone[11]得到了關于半環(huán)(i.e.加法可消半環(huán))Hilbert基定理的一種形式：令H為一個有單位元的半環(huán),則H[x]為k-Noetherian的當且僅當D(H)為Noetherian的.這里D(H)表示H的微分環(huán).1973年,Olson等[12]證明了k-Noetherian半環(huán)的任意詣零子半環(huán)都是冪零的.在Stone研究的基礎上,Mukherjee等[13]在1996年說明了具有單位元這個條件可以省略.2015年,Lescot[14]證明了k-Noetherian半環(huán)只有有限個極小素理想.2019年,Abuhlail等[15]證明了關于k-Noetherian半環(huán)Bass-Papp定理的一種形式.

本文首先得到半環(huán)上Hilbert基定理的一種新形式.它區(qū)別于Stone[11]和Mukherjee等[13]所提出的,并且更加接近于環(huán)上Hilbert基定理的形式.之后,通過推廣文獻[3]的定理2.6到左k-Noetherian半環(huán)上,證明左k-Noetherian半環(huán)的Ore擴張R[x;γ,d]也是左k-Noetherian的,其中映射γ為R的自同構.特別地,當Ore擴張中d為零映射時,R[x;γ]為斜多項式半環(huán)S(R).令γ為R的自同構,N(R)表示R中所有冪零元的集合,可以得到如果R是2-素的Noetherian半環(huán),則γ(N(R))=N(R)；如果R是對稱的k-Noetherian半環(huán),則

S(N(R))=N(S(R)).

1 預備知識

定義 1.1[16]半環(huán)是帶有2個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)(R,+,·,0,1)且滿足下列條件：

1) (R,+,0)是交換幺半群；

2) (R,·,1)是幺半群；

3) 對于任意的a,b,c∈R,有a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca；

4) 對于任意的r∈R,有0·r=r·0=0；

5) 0≠1.

特別地,如果對于任意的r,r′∈R,都有r·r′=r′·r,則稱半環(huán)R是交換的.

定義 1.2[16]半環(huán)中的左(右)理想I是半環(huán)R中的一個非空子集且滿足下列條件：

1) 如果a,b∈I,則a+b∈I；

2) 如果a∈I并且r∈R,則ra∈I(ar∈I).

定義 1.3[16]半環(huán)中的理想I是指半環(huán)R中既是左理想又是右理想的非空子集.

對于任意a,b∈R,如果a∈I和a+b∈I可以推出b∈I,則稱理想I是可減的,用k-理想來表示.如果半環(huán)R的所有理想都是k-理想,則稱半環(huán)R為k-半環(huán).

例 1.1每個環(huán)都是k-半環(huán).

例 1.2令R={0,1,u}為一個加法冪等半環(huán)且滿足條件1+u=u+1=u.發(fā)現(xiàn){0,u}是R的一個理想,但它不是可減的.所以,R不是k-半環(huán).

定義 1.4[16]半環(huán)R中的理想I是素理想當且僅當對于任意的HK?I,這里存在H?I或者K?I,其中H和K是R的理想.

半環(huán)R中所有素理想組成的集合稱為R的譜,用Spec(R)來表示.用MinSpec(R)表示半環(huán)R中所有極小素理想的集合.

定義 1.5[17]半環(huán)R中的理想I是完全素理想,如果對于任意的a,b∈R,由ab∈I可以推出a∈I或者b∈I.

下面介紹Noetherian半環(huán)的定義和一個關于它的重要性質(zhì).

定義 1.6[16]一個半環(huán)是左(右)Noetherian的當且僅當它所有的左(右)理想滿足升鏈條件.如果一個半環(huán)既是左Noetherian的,又是右Noetherian的,則稱它是Noetherian的.

這里的升鏈條件是指在半環(huán)R中,對于一個關于左(右)理想的無限升鏈

I1?I2?…?In?…,

這里存在一個正整數(shù)N,使得對于所有n≥N,In=In+1.

命題 1.1[16]在半環(huán)R中,下列條件互相等價：

1)R是左Noetherian的；

2)R中包含任意個左理想的非空集合都有一個極大元；

3)R的每一個左理想都是有限生成的.

證明步驟見文獻[16]的命題6.16,其中1)?2)也可以用Zorn引理證明.右Noetherian半環(huán)的等價條件是類似的.

定義 1.7[15]一個半環(huán)如果在左(右)k-理想上滿足升鏈條件,則稱為左(右)k-Noetherian半環(huán).如果一個半環(huán)既是左k-Noetherian的,又是右k-Noetherian的,則稱它是k-Noetherian的.

命題 1.2[14]半環(huán)R是k-Noetherian的當且僅當R的每一個k-理想都是有限生成的.

考慮單邊的情況,類似于命題1.1的證明方法,可以得到：半環(huán)R是左(右)k-Noetherian的當且僅當R的每一個左(右)k-理想都是有限生成的.

例 1.3半域是Noetheriank-半環(huán)(i.e.半域是指所有非零元具有乘法逆的交換半環(huán)).的確,半域的理想只有(0)及其本身,這兩個理想都是可減的,并且滿足升鏈條件.

例 1.4[15]Z+是Noetherian半環(huán).但是,由于Z+不是k-半環(huán),所以它不是Noetheriank-半環(huán).這里Z+表示所有正整數(shù)的集合.

例 1.5[15]R+[x]是k-Noetherian半環(huán),但不是Noetherian半環(huán).這里R+表示所有正實數(shù)的集合.

2 半環(huán)上的Hilbert基定理

本節(jié)將提出半環(huán)上Hilbert基定理的一種新形式,并從中得到一些推論.

首先,回顧多項式半環(huán)的概念.假設R是一個半環(huán),x表示一個未定元,x可與R中任意元素交換,則可用R[x]表示半環(huán)上的多項式

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,

其中ai∈R.稱,an為多項式的首項系數(shù),n為多項式的次數(shù).

下面介紹環(huán)上的Hilbert基定理(見文獻[4]的定理2.11)，如果環(huán)R是Noetherian的,則多項式環(huán)R[x]也是Noetherian的.由于半環(huán)中可能不存在加法逆,所以這個結果不可直接推廣到半環(huán)上.一個明顯的反例就是：半環(huán)R+是Noetherian的,但多項式半環(huán)R+[x]不是Noetherian的(見例1.5).因此,通過引入k-理想的概念,有如下定理,其與環(huán)上的Hilbert基定理類似.

定理 2.1如果半環(huán)R是左k-Noetherian的,則多項式半環(huán)R[x]也是左k-Noetherian的.

證明假設U是R[x]的一個左k-理想,顯然其包含0.由命題1.2的單邊情況可知,要證明R[x]是左k-Noetherian的,只需要證明U是有限生成的.注意到U中的元素都是多項式.用A來表示U中所有多項式首項系數(shù)組成的集合.推斷A是R的左k-理想.

假設a1,a2∈A,則U中存在兩個多項式a1xm+…和a2xn+…,這里的+…表示加上低次數(shù)項.令p=m+n,對第一個多項式乘xn,對第二個多項式乘xm.因此,可以得到兩個多項式a1xp+…和a2xp+…,注意這兩個多項式也在U中.由于

(a1xp+…)+(a2xp+…)∈U,

所以a1+a2∈A.再令r∈R,因為

r(a1xp+…)∈U,

所以ra1∈A.因此,A是R的左理想.又由于U是可減的,所以A也是可減的.所以,A是R的左k-理想.

因為R是左k-Noetherian的,所以A是有限生成的.因此,A=(a1,a2,…,ah).所以U中存在一群以ai為首項系數(shù)的多項式fi,其中fi=fi(x),1≤i≤h.對這些fi乘以適當?shù)膞的某次冪,可以使他們的次數(shù)相同,次數(shù)記作M.所以,fi=aixM+…,1≤i≤h.

下面考慮U中次數(shù)不超過M-1的多項式.選取這些多項式中所有M-1次項的系數(shù)作為集合B.不難發(fā)現(xiàn),B為R的左k-理想且B=(b1,b2,…,bk).所以,可以在U中選取首項次數(shù)為M-1的多項式gi,其中

gi=gi(x)=bixM-1+…, 1≤i≤k.

運用同樣的方法,可以考慮U中次數(shù)不超過M-2的多項式.選取這些多項式中所有M-2次項的系數(shù)作為集合C.不難發(fā)現(xiàn),C為R的左k-理想且C=(c1,c2,…,cl).所以,可以在U中選取首項次數(shù)為M-2的多項式hi,其中

hi=hi(x)=cixM-2+…, 1≤i≤l.

類似地,可以獲得U中有限個多項式

f1,f2,…,fh,g1,g2,…,gk,h1,h2,…,hl,….

將說明是這些多項式生成了U.

假設任意的φ(x)=axN+…∈U,則a∈A.所以

a=ω1a1+ω2a2+…+ωhah,ωi∈R.

如果N≥M,則

φ(x)=ω1xN-Mf1+ω2xN-Mf2+…+

ωhxN-Mfh+d(x),

這里的d(x)表示次數(shù)小于N的多項式.由于U是可減左理想且fi∈U,所以由fi+(-fi)=0∈U可以推出-fi∈U.所以,實際上這里的

d(x)=φ(x)-ω1xN-Mf1-

ω2xN-Mf2-…-ωhxN-Mfh.

如果d(x)的次數(shù)大于等于M,則需要繼續(xù)分解d(x).假設d(x)的次數(shù)為T,首項系數(shù)為t.顯然,d(x)∈U.因此,t∈A且

t=η1a1+η2a2+…+ηhah,

其中ηi∈R.因此,

d(x)=η1xT-Mf1+η2xT-Mf2+…+

ηhxT-Mfh+e(x),

其中e(x)表示次數(shù)小于T的多項式,

e(x)=d(x)-η1xT-Mf1-

η2xT-Mf2-…-ηhxT-Mfh.

如果e(x)的次數(shù)仍大于等于M,則可運用該方法繼續(xù)分解.所以,最終可以得到這樣一個多項式

φ(x)=W1(x)f1+W2(x)f2+…+Wh(x)fh+ψ(x),

其中ψ(x)∈U且ψ(x)的次數(shù)小于等于M-1.下面,將展示

ψ(x)=μ1g1(x)+μ2g2(x)+…+μkgk(x)+

ν1h1(x)+ν2h2(x)+…+νlhl(x)+…,

其中

μ1,μ2,…,μk,ν1,ν2,…,νl,…∈R.

首先,選取系數(shù)μ1,μ2,…,μk,使得

ψ(x)=μ1g1(x)+μ2g2(x)+…+μkgk(x)+k(x),

這里ψ(x)和μ1g1(x)+μ2g2(x)+…+μkgk(x)關于xM-1項有相同的系數(shù),并且k(x)的次數(shù)為M-2.由于gi∈U且gi+(-gi)=0∈U,所以-gi∈U.所以,實際上這里

k(x)=ψ(x)-μ1g1(x)-μ2g2(x)-…-μkgk(x).

由于k(x)∈U,所以可以繼續(xù)選取系數(shù)ν1,ν2,…,νl,使得

k(x)=ν1h1(x)+ν2h2(x)+…+νlhl(x)+l(x),

這里k(x)與ν1h1(x)+ν2h2(x)+…+νlhl(x)關于xM-2項有相同的系數(shù),并且l(x)的次數(shù)為M-3.重復這樣的步驟,不難發(fā)現(xiàn)ψ(x)是有限生成的.因此,U是有限生成的.所以,R[x]也是左k-Noetherian的.

注 2.1推廣定理2.1到雙邊的情形,很容易得出：如果半環(huán)R是k-Noetherian的,則多項式半環(huán)R[x]也是k-Noetherian的.特別地,當半環(huán)R為環(huán)時,k-Noetherian半環(huán)即為Noetherian環(huán),定理2.1的雙邊情形即為環(huán)上的Hilbert基定理.

推論 2.1如果半環(huán)R是左k-Noetherian的,則多項式半環(huán)R[x1,x2,…,xn]也是左k-Noetherian的.

證明令

R0=R,Ri=R[x1,x2,…,xi], 1≤i≤n.

所以,有Ri+1=Ri[xi+1].由定理2.1可知,當Ri為左k-Noetherian時,Ri+1也是左k-Noetherian的.所以當R0是左k-Noetherian時,Ri都是左k-Noetherian的.特別地,Rn=R[x1,x2,…,xn]也是左k-Noetherian的.

推論 2.2如果半環(huán)R是左k-Noetherian的,則冪級數(shù)半環(huán)R[[x1,x2,…,xn]]也是左k-Noetherian的.

證明該證明方法類似于定理2.1.首先可以得到R[[x]]是左k-Noetherian的,其次利用數(shù)學歸納法,可以證明冪級數(shù)半環(huán)R[[x1,x2,…,xn]]也是左k-Noetherian的.

推論 2.3如果K是半域,則多項式半環(huán)K[x1,x2,…,xn]是k-Noetherian的.

證明顯然,半域是k-Noetherian半環(huán).所以,其多項式半環(huán)也是k-Noetherian半環(huán).

令R為一個半環(huán),γ：R→R為R到其本身的一個態(tài)射.γ-導子d是R→R上的一個函數(shù),它對任意的r,r′∈R滿足

d(r+r′)=d(r)+d(r′),
d(rr′)=γ(r)d(r′)+d(r)r′.

特別地,γ(1)=1,d(1)=0.可以在R[x]上定義一個新的乘法運算,即對于任意的r∈R,

xr=γ(r)x+d(r),

并且其乘法關于加法符合分配律.這樣一個半環(huán)用R[x;γ,d]表示,稱其為由γ和d構成的R的Ore擴張.下面給出一個k-Noetherian半環(huán)Ore擴張的例子.

例 3.1令F為一個半域,R=F[x]為一個交換的多項式半環(huán),γ是R的一個自同態(tài),其在F上恒等.因此,對于任意的多項式f∈R,γ-導子d始終可以被定義為d(x)=f.

特別地,如果取d為零映射,由R[x;γ,d]可以獲得R[x;γ],稱其為R上的斜多項式半環(huán),用S(R)表示.在半環(huán)上推廣文獻[3]的定理1.14,有如下命題.

命題 3.1如果半環(huán)R是左k-Noetherian的,則斜多項式半環(huán)S(R)也是左k-Noetherian的,其中γ是R的一個自同構.

證明此命題實際是定理2.1的一種推廣,可以遵循定理2.1的證明步驟.但是一些證明細節(jié)需要注意,其區(qū)別于定理2.1.

第一,對任意的多項式乘以x的某次冪,需要自右乘;第二,對于右k-Noetherian半環(huán)R,證明A是R的右k-理想的過程是有區(qū)別的.

假設a1,a2∈A,則U中存在兩個多項式a1xm+…和a2xn+…,這里的+…表示加上低次數(shù)項.令p=m+n,對第一個多項式右乘xn,對第二個多項式右乘xm.因此,可以得到兩個多項式a1xp+…和a2xp+…,注意這兩個多項式也在U中.由于

(a1xp+…)+(a2xp+…)∈U,

所以a1+a2∈A.再令r∈R,因為

(a1xp+…)r=a1γp(r)xp+…∈U,

所以a1γp(r)∈A.由于想要獲得a1r∈A,所以可以用γ-p(r)代替r.由于γ是R的一個自同構,所以有

(a1xp+…)γ-p(r)=a1rxp+…∈U.

因此,a1r∈A,A是R的右理想.又由于U是可減的,A也是可減的,所以A是R的右k-理想.

推論 3.1如果半環(huán)R是左k-Noetherian的,則Ore擴張R[x;γ,d]也是左k-Noetherian的,其中γ是R的一個自同構.

證明該證明方法類似于命題3.1.唯一的不同就是xnr=γn(x)xn+…+dn(r).

推論 3.2如果半環(huán)R是左k-Noetherian,則

R[x1;γ1,d1][x2;γ2,d2]…[xn;γn,dn]

R[x1;γ1,d1][x2;γ2,d2]…[xi-1;γi-1,di-1]

的一個自同構.

證明由數(shù)學歸納法可得.

分別用N0(R)、P(R)和N(R)表示半環(huán)R所有冪零理想的和、素根(i.e.所有素理想的交)和所有冪零元素的集合.由文獻[17]的命題3.16可知,在任意半環(huán)R中,P(R)?N(R).如果

P(R)=N(R),

則稱R是2-素的.2-素半環(huán)的例子見文獻[17]的例3.12.

對于半環(huán)R,如果對任意的a,b,c∈R,abc=0可以推出acb=0,則稱R為對稱半環(huán).如果對任意的a,b∈R,ab=0可以推出aRb=0,則稱R為半交換半環(huán).由文獻[18]可知,對稱半環(huán)是半交換半環(huán).

類似于詣零半交換環(huán)的定義(見文獻[19]的定義2.1),給出詣零半交換半環(huán)的定義.

定義 3.1稱半環(huán)R為詣零半交換半環(huán),如果對任意的a,b∈N(R),ab=0可以推出aRb=0.

顯然,半交換半環(huán)是詣零半交換半環(huán).但是,詣零半交換半環(huán)不是半交換半環(huán),反例見文獻[19]的例2.2.

引理 3.1在詣零半交換半環(huán)R中,N(R)是一個理想.

證明假設任意的a∈N(R),且a2m=0.由于R是詣零半交換的,則對任意的r∈R,有

amram=0.

顯然,am-1,aram∈N(R).因此,通過詣零半交換性,有am-1raram=0.又因為

am-1(ra)2,am-1∈N(R),

所以通過詣零半交換性,有

am-1(ra)2ram-1=0.

又因為am-1(ra)3,am-2∈N(R),所以通過詣零半交換性,有

am-1(ra)3ram-2=0.

重復這樣的步驟,有am-1(ra)m+1=0.等式兩邊左乘rm-1,有(ra)2m=0.因此,ra∈N(R).類似地,有ar∈N(R).

假設任意的a,b∈N(R),且am=0,bn=0.令k=m+n+1,則有

(a+b)k=∑ai1bj1ai2bj2…aisbjs.

其中,

0≤i1,i2,…,is,j1,j2,…,js≤k,

并且

i1+i2+…+is+j1+j2+…+js=k.

如果i1+i2+…+is≥m,則有

ai1ai2…ais=ai1+i2+…+is=0.

又因為對于任意的0≤p≤s,aip∈N(R),所以由于詣零半交換性,有ai1bj1ai2bj2…aisbjs=0.如果

i1+i2+…+is

則有j1+j2+…+js≥n.因此,bj1+j2+…+js=0.類似地有

ai1bj1ai2bj2…aisbjs=0.

所以,(a+b)k=0.因此,N(R)為詣零半交換半環(huán)的一個理想.

命題 3.2詣零半交換半環(huán)R是2-素的.

證明只需要證明N(R)?P(R).假設任意的a∈N(R).由引理3.1可知,N(R)是R的一個理想,從而RaR?N(R).由于R是詣零半交換半環(huán),RaR是R的一個冪零理想.所以

RaR∈N0(R)?P(R).

因此,每一個冪零元都包含在任意素理想中.

所以對于上述幾種非交換半環(huán),存在如下關系

對稱?半交換?詣零半交換?2-素.

介紹下面的引理.

引理 3.2[12]如果半環(huán)R在左k-理想和右k-理想上滿足升鏈條件,則R的任意詣零子半環(huán)是冪零的.

命題 3.3如果R是一個2-素的Noetherian半環(huán),則γ(N(R))=N(R),其中γ是R的一個自同構.

證明用N表示N(R).顯然,N和γ(N)都是R的理想.由于R是Noetherian的,所以γ(N)?N.因此,由引理3.2可知,γ(N)是R的冪零理想.令n∈N,則由γ是R的自同構可知,這里存在一個a∈R使得n=γ(a).所以

I=γ-1(N)={a∈R|γ(a)=n∈N}

是R的一個理想.顯然,I是冪零的.所以,I?γ(N),這意味著N?γ(N).所以,γ(N)=N.

引理 3.3如果R是一個對稱的k-Noetherian半環(huán),則任意極小素理想是完全素理想,且為k-理想.

證明令u∈R,用r(u)表示u的右零化子.假設任意的Pi∈MinSpec(R),由文獻[14]的定理4.1可知,在k-Noetherian半環(huán)中,存在u∈R{0},使得任意的Pi=r(u),且為k-理想.下面證明Pi是完全素的.

假設任意的ab∈Pi,則有uab=0.因為R是對稱半環(huán),所以有uba=0.所以ba∈r(u)=Pi.所以由文獻[16]的推論7.5可知,Pi是完全素的.

對于任意的Pi∈MinSpec(R),可以得到

γt(Pi)∈MinSpec(R),

其中t為任意整數(shù)且t≥1.由于MinSpec(R)在k-Noetherian半環(huán)中有限(文獻[14]命題6.7),所以

MinSpec(R)={P1,P2,…,Pn}.

顯然,這里存在某個正整數(shù)mi使得

γmi(Pi)=Pi,

其中1≤i≤n.所以,令u=m1m2…mn,則對于任意的Pi∈MinSpec(R),有γu(Pi)=Pi.因此,推廣文獻[5]的命題2到半環(huán)上,有如下命題.

命題 3.4如果R是一個對稱的k-Noetherian半環(huán),則S(N(R))=N(S(R)),其中γ是R的一個自同構.

證明顯然,有S(N(R))?N(S(R)).將證明N(S(R))?S(N(R)).令

所以,存在k>0使得fk=0.因此,由(amxm)k=0可知

am·γm(am)·γ2m(am)…γ(k-1)m(am)·xkm=0.

因此,對于任意的Pi∈MinSpec(R),

am·γm(am)·γ2m(am)…γ(k-1)m(am)=0∈Pi.

這里存在兩種情況：1)u≥m；2)m≥u.

如果u≥m,有

am·γu(am)·γ2u(am)…γ(k-1)u(am)∈Pi.

所以由引理3.3可知,存在某一正整數(shù)j(1≤j≤k),使得γ(k-j)u(am)∈Pi.所以,對于任意的

Pi∈MinSpec(R),

有am∈γ-(k-j)u(Pi)=Pi.因此,

am∈P(R)=N(R).

所以,

amxm∈S(N(R))?N(S(R)).

因為Pi是R的k-理想且

am+(-am)=0∈Pi,

所以,由am∈Pi可以推出-am∈Pi,即-am∈R.又因為amxm∈N(S(R)),所以

-amxm∈N(S(R)).

因此,

再重復上述步驟,可以得到

ai∈P(R)=N(R),

其中0≤i≤m-1.因此,f∈S(N(R)),這意味著

N(S(R))?S(N(R)).

第二種情況證明過程與第一種類似.