基于高斯周期的幾乎最優(yōu)跳頻序列構(gòu)造

周 峽, 李 燕

(南京工程學院 經(jīng)濟與管理學院, 江蘇 南京 211167)

隨著現(xiàn)代通信的飛速發(fā)展,安全有效的通信技術(shù)已成為各行業(yè)關(guān)注的重點問題.跳頻通信由于具有抗干擾性強、頻譜利用率高、易于實現(xiàn)碼分多址等優(yōu)點,在軍事無線電通信、衛(wèi)星通信、光纖通信、水下通信、微波、雷達等多個領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用.所謂跳頻通信,是指在通信中載波頻率受偽隨機碼序列的控制而不斷跳變,從而實現(xiàn)頻譜擴展的一種通信系統(tǒng).其中的偽隨機碼序列即跳頻序列,它對跳頻通信系統(tǒng)的性能起著決定性作用.隨著信息技術(shù)的發(fā)展,以及對跳頻通信的破譯技術(shù)不斷提高,需要尋找新的理想或者比較理想的跳頻序列來提高跳頻通信系統(tǒng)的性能.具有理想性能的跳頻序列應(yīng)滿足良好的漢明自相關(guān)和互相關(guān)性、隨機性、均勻性、長周期性等特性.此外,跳頻序列的參數(shù)并不是相互獨立的,它們會受到一些理論界的限制,如Lempel-Greenberger界[1]、Peng-Fan界[2]等,因此設(shè)計達到(或逼近)這些理論界的最優(yōu)(或幾乎最優(yōu))跳頻序列(族)是跳頻系統(tǒng)研究的重要課題之一.在本文中,討論的所有(幾乎)最優(yōu)跳頻序列均是指關(guān)于Lempel-Greenberger界(幾乎)最優(yōu)的.

近年來,一些學者借助組合和代數(shù)工具陸續(xù)給出了許多最優(yōu)跳頻序列,詳見文獻[1,3-24].但是,對于給定的序列周期和頻率集大小,最優(yōu)跳頻序列并不總是存在的.比如,參數(shù)為(5,2,2)與(6,2,3)的最優(yōu)跳頻序列一定不存在[7](參數(shù)說明詳見1.1節(jié)).因此,在最優(yōu)參數(shù)不存在的情形下,幾乎最優(yōu)跳頻序列“等同是”最優(yōu)的.然而,通信學者們也只能給出一些零散的最優(yōu)參數(shù),如何確定一般最優(yōu)參數(shù)的存在性始終是未解難題.在此研究背景下,構(gòu)造出更多具有新參數(shù)的幾乎最優(yōu)跳頻序列也是有意義的.截止目前,關(guān)于幾乎最優(yōu)跳頻序列的構(gòu)造,可參考文獻[5-8,10,13,16,21,25].具體而言,2008年,Han等[25]首次提出了幾乎最優(yōu)跳頻序列的概念,并通過修改已有的m-進制互素序列得到了一類幾乎最優(yōu)跳頻序列.隨后,他們又借助有限域上的分圓及離散對數(shù)函數(shù)給出了另一類幾乎最優(yōu)跳頻序列[5].2009年,Chung等[6]利用周期為p的M-進制序列與交織技術(shù)給出了一類具有新參數(shù)的幾乎最優(yōu)跳頻序列,這里p是一個奇素數(shù).然后,Chung等[7]分別通過拼接有限域上的分圓陪集與剩余類環(huán)上的k-重分圓[8]生成了兩類幾乎最優(yōu)跳頻序列.2012年,Zeng等[10]提出了一種新的序列交織方法,并得到了五類具有新參數(shù)的幾乎最優(yōu)跳頻序列.2014年,Ren等[13]借助中國剩余定理、有限域上的分圓及離散對數(shù)函數(shù)給出了幾乎最優(yōu)跳頻序列的一類構(gòu)造.2017年,黃波等[16]基于有限域上的分圓也給出了一類具有新參數(shù)的幾乎最優(yōu)跳頻序列.最近,Xu等[21]借助中國剩余定理與Zeng-Cai-Tang-Yang廣義分圓生成了一些幾乎最優(yōu)跳頻序列.綜上所得的幾乎最優(yōu)跳頻序列,其參數(shù)比較詳見表1.借助有限域上的分圓和跡函數(shù),本文構(gòu)造了一類具有新參數(shù)的幾乎最優(yōu)跳頻序列,此外,以這類跳頻序列為基序列,更多幾乎最優(yōu)跳頻序列可通過文獻[14]中的交織技術(shù)遞歸得到.

1 基本概念

1.1 (幾乎)最優(yōu)跳頻序列對于正整數(shù)l,令F={f0,f1,…,fl-1}為一個大小為l的頻率集,X={x0,x1,…,xn-1}(xi∈F,0≤i

對于跳頻序列X={x0,x1,…,xn-1},其周期漢明自相關(guān)函數(shù)定義為：

H

(1)

其中,如果x=y時,h[x,y]=1,否則為0.(1)式中,下標的加法運算t+τ均為模n加法.

對于跳頻序列X,定義最大周期漢明自相關(guān)值H(X)為：

本文使用記號(n,l,λ)表示大小為l的頻率集上的周期為n的跳頻序列X,且滿足H(X)=λ.

早在1974年,Lempel和Greenberger給出了H(X)的一個理論下界.

引理 1(Lempel-Greenberger界[1]) 設(shè)X是大小為l的頻率集上的周期為n的跳頻序列,則

(2)

其中,「a?表示大于或等于a的最小整數(shù),〈n〉l為n模l的剩余類中的最小非負整數(shù).

Lempel-Greenberger界的簡化形式如下.

引理 2[19]設(shè)X是大小為l的頻率集上的周期為n的任意跳頻序列,則

(3)

其中,?a」表示小于或等于a的最大整數(shù).

如果H(X)使得(2)或(3)式等號成立,那么稱跳頻序列X關(guān)于Lempel-Greenberger界最優(yōu);如果H(X)比(2)或(3)式右邊恰好大1,那么稱跳頻序列X關(guān)于Lempel-Greenberger界幾乎最優(yōu).

Trrq(x)=x+xq+xq2+…+xqm-1,x∈GF(r).

C(N,r)i={αNt+i:0≤t

加法特征具有如下正交性：

(4)

η(N,r)

一般情況下,高斯周期的準確值是很難決定的.本文主要用到自共軛情形下的高斯周期.

η(N,r)

(5)

2) 在其余情況時,有

η(N,r)

2 主要結(jié)果

下面將利用有限域上的分圓和跡函數(shù),構(gòu)造一類具有新參數(shù)的幾乎最優(yōu)跳頻序列.

xt=(Trq2q(αk(q-1)t))

(7)

其中g(shù)cd(d,q-1)=1.

要證明定理1,需準備以下的3個引理：

xt1=x

證明由(7)式可知

xt=(αk(q-1)t+(αk(q-1)t)q)d=

(αk(q-1)t+αkq(q-1)t)d=

(αk(q-1)t+α-k(q-1)t)d,

再由gcd(d,q-1)=1可知φ(x)=xd(x∈GF(q))

是GF(q)上的一個置換.因此,

xt1=xt2?(αk(q-1)t1+α-k(q-1)t1)d=

(αk(q-1)t2+α-k(q-1)t2)d?

αk(q-1)t1+α-k(q-1)t1=αk(q-1)t2+α-k(q-1)t2?

αk(q-1)t1-αk(q-1)t2=α-k(q-1)t2-α-k(q-1)t1?

αk(q-1)(t1+t2)=1?

α

證明

(αk(q-1)τ-1)

因此,結(jié)論得證.

η

η

借助引理4～6,下面給出定理1的具體證明.

定理1的證明首先,由引理4可知序列X的頻率集大小為

HX(τ)=

(8)

(9)

(11)

(10)式是由引理5推出;(11)式是由引理6得到.因此,H(X)=2.另外,

借助定理1與文獻[14]中定理3,利用交織技術(shù),可得到更多具有新參數(shù)的幾乎最優(yōu)跳頻序列：

注以下將給出本節(jié)構(gòu)造與已知相關(guān)構(gòu)造的跳頻序列參數(shù)比較,如表1所示,其中這些序列關(guān)于Lempel-Greenberger界都是幾乎最優(yōu)的.

表1 幾類幾乎最優(yōu)跳頻序列的比較

3 實例分析

下面給出實例分別來驗證定理1與定理2中結(jié)論.

X={32,14,10,46,23,43,6,21,63,67,25,9,69,

53,45,103,0,24,82,74,58,118,102,60,64,106,

121,84,104,81,117,113,95,113,117,81,104,84,

121,106,64,60,102,118,58,74,82,24,0,103,45,

53,69,9,25,67,63,21,6,43,23,46,10,14},

利用Magma軟件計算可得,序列X的周期漢明自相關(guān)函數(shù)

H

因此,序列X具有參數(shù)(64,33,2),且關(guān)于Lempel-Greenberger界幾乎最優(yōu),這與定理1中結(jié)論是一致的.

X={2,5,4,15,14,17,14,15,4,5},

yt=(〈t0g(t1)〉n,xt1),

(12)

則由(12)式定義的跳頻序列

Y=

{(0,2),(2,5),(1,4),(0,15),(2,14),(2,17),

(0,14),(1,15),(2,4),(0,5),(1,2),(1,5),

(0,4),(2,15),(1,14),(0,17),(1,14),(2,15),

(0,4),(1,5),(2,2),(0,5),(2,4),(1,15),

(0,14),(1,17),(2,14),(0,15),(1,4),(2,5)},

利用Magma軟件計算可得,序列Y的周期漢明自相關(guān)函數(shù)

{H

0,2,0,2,0,2,0,0,0,2,0,2,0,2,0,2,0}.

因此,序列Y具有參數(shù)(30,18,2),且關(guān)于Lempel-Greenberger界幾乎最優(yōu),這與定理2中結(jié)論是一致的.

4 結(jié)束語

本文利用有限域上的分圓和跡函數(shù)構(gòu)造了一類具有新參數(shù)的跳頻序列,并通過理論和實例證明該跳頻序列關(guān)于Lempel-Greenberger界幾乎最優(yōu).同時,通過采用合適的映射和交織技術(shù),一批具有新參數(shù)的幾乎最優(yōu)跳頻序列可被遞歸得到,這些跳頻序列在碼分多址通信系統(tǒng)中具有廣闊的應(yīng)用前景.

致謝南京工程學院校級科研基金項目(QKJ201804)對本文給予了資助，謹致謝意.