n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模和弱平坦模

宋彥輝, 郭 婷, 趙海軍

(蘭州信息科技學(xué)院 通識(shí)教育學(xué)院, 甘肅 蘭州 730300)

1 序言及預(yù)備知識(shí)

20世紀(jì)90年代,文獻(xiàn)[1-2]推廣了經(jīng)典的內(nèi)射模和平坦模,引入Gorenstein內(nèi)射模和平坦模,并討論了相關(guān)的同調(diào)性質(zhì).隨后,眾多學(xué)者對(duì)Gorenstein內(nèi)射和平坦模及其維數(shù)進(jìn)行了深入的研究和推廣[3-6].其中,文獻(xiàn)[6]中推廣了Gorenstein內(nèi)射和平坦模,引入了弱Gorenstein內(nèi)射和平坦模,并通過(guò)該模對(duì)n-FC環(huán)進(jìn)行了刻畫(huà).近年來(lái),文獻(xiàn)[7-9]引入并研究了n-強(qiáng)Gorenstein投射、內(nèi)射和平坦模,并給出了該模的許多性質(zhì).2015年,文獻(xiàn)[10]對(duì)內(nèi)射模和平坦模進(jìn)行了推廣,引入弱內(nèi)射模和弱平坦模,研究相關(guān)性質(zhì),證明了模M是弱內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)M+是弱平坦的,并給出了模的弱內(nèi)射維數(shù)和弱平坦維數(shù)的等價(jià)刻畫(huà).2020年,文獻(xiàn)[11]推廣了弱內(nèi)射模和弱平坦模的概念,引入并研究了Gorenstein弱內(nèi)射和弱平坦模,給出了相關(guān)的性質(zhì)和等價(jià)刻畫(huà).特別地,討論了模的弱余合沖與Gorenstein弱余合沖之間的關(guān)系.

受以上工作的啟發(fā),引入n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模和弱平坦模,給出其等價(jià)刻畫(huà),并證明n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模的特征模是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模,n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模的特征模是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模.

本文中R表示具有單位元的結(jié)合環(huán),所有涉及的模均是酉模,所有R-模均指左R-模,右R-?？梢暈榉喘h(huán)R°上的模.未解釋的標(biāo)記、事實(shí)和概念見(jiàn)參考文獻(xiàn)[12-14].下面回顧一些基本概念.

定義 1.2[10]設(shè)M是R-模.若對(duì)任意超有限表現(xiàn)R-模L,都有則稱M是弱內(nèi)射模.類(lèi)似地,若對(duì)任意超有限表現(xiàn)R°-模L,都有則稱F是弱平坦模.顯然內(nèi)射(平坦)模是弱內(nèi)射(弱平坦)的.將弱內(nèi)射(弱平坦)R-模的類(lèi)簡(jiǎn)記為WI(R)(WF(R)).

定義 1.3[11]設(shè)M是R-模.稱M是Gorenstein弱內(nèi)射模,若存在一個(gè)弱內(nèi)射R-模的正合列

使得M?Coker(E0→E1),并且對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R-模L,HomR(L,E)是正合的.稱M是Gorenstein弱平坦模.若存在一個(gè)弱平坦R-模的正合列

使得M?Coker(F0→F1),并且對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R°-模L,L?RF是正合的.顯然每個(gè)(弱)內(nèi)射模是Gorenstein弱內(nèi)射的,每個(gè)(弱)平坦模是Gorenstein弱平坦的.

顯然,內(nèi)射模(平坦模)是強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射的(強(qiáng)Gorenstein弱平坦的),每個(gè)強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模(強(qiáng)Gorenstein弱平坦模)是Gorenstein弱內(nèi)射的(Gorenstein弱平坦的).

2 n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模

引入并研究n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模,并給出n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模的一些等價(jià)刻畫(huà).

定義 2.1設(shè)n是正整數(shù).稱R-模M是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模,如果存在R-模的正合列

其中，對(duì)任意0≤i≤n-1,Ei是弱內(nèi)射R-模,使得對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R-模L,函子HomR(L,-)保持序列η正合.

將n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模的類(lèi)簡(jiǎn)記為n-SGWI(R).顯然,1-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模(弱內(nèi)射模)是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射的,且1-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模是強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射的.在正合列η中,對(duì)任意1≤i≤n,Imfi是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模.

命題 2.2設(shè)m和n是2個(gè)正整數(shù),則以下成立:

1) 任意強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射的;

2) 任意n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模是Gorenstein弱內(nèi)射的;

3) 若n|m,則每一個(gè)n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模是m-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模.

2) 設(shè)M是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模,則存在正合列

其中每個(gè)Ei是弱內(nèi)射R-模,且對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R-模L,HomR(L,η)正合.因此可得正合列使得函子HomR(L,-)保持此序列正合.故M是Gorenstein弱內(nèi)射R-模.

3) 因?yàn)閚|m,不妨設(shè)m=kn.設(shè)M是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模,則存在正合列

其中每個(gè)Ei是弱內(nèi)射R-模,且對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R-模L,HomR(L,η)正合.將k個(gè)正合列η合并可得正合列

其中,每個(gè)Ei是弱內(nèi)射R-模,且HomR(L,-)保持此序列正合.因此，M是m-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模.

推論 2.3設(shè)M是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模，則對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R-模L,及任意i≥1,有

證明由命題2.2和文獻(xiàn)[11]的命題2.5可得.

命題 2.4對(duì)任意的n≥1,n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模的類(lèi)對(duì)直積封閉.

證明設(shè){Mi}i∈I是一族n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模,則對(duì)任意i∈I,存在正合列

ηi:0MiEin-1Ei

下面給出n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模的等價(jià)刻畫(huà),其中也給出了利用n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模構(gòu)造1-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射模的方法.我們先看以下引理.

引理 2.5設(shè)M是R-模.對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R-模L,若則對(duì)任意n≥1,有

定理 2.6設(shè)n是正整數(shù).則以下等價(jià):

1)M是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模;

證明1)?2) 設(shè)M是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模.則存在正合列

其中Ei是弱內(nèi)射R-模,且對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R-模L,HomR(L,-)保持正合.因此,對(duì)任意1≤i≤n,有正合列

EImfi0.

將這些正合列疊加可得正合列

E0⊕…⊕En-2…,

其中,α=diag{α1,α2,…,αn},f=diag{fnf0,f1,…,fn-1}.注意到ImImfi,且Imfi是n強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射的.所以,對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R-模L,由推論2.3可得

Imfi)?⊕ni=1Imfi)=0,

即有正合列

2)?3) 顯然成立.

Ext1R(L,Imfi)，

故有正合列

1)?4) 由定義2.1和推論2.3可得.

因此,M是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模.

引理 2.7設(shè)m和n是正整數(shù).若WI(R)關(guān)于滿同態(tài)的核封閉,則以下成立:

1) 若n|m,則n-SGWI(R)∩m-SGWI(R)=n-SGWI(R);

2) 若m=kn+i,使得k>0且0

證明1) 由命題2.2可得.

2) 一方面,由命題2.2可知,m-SGWI(R)∩n-SGWI(R)?m-SGWI(R)∩kn-SGWI(R)顯然成立.另一方面,設(shè)M∈m-SGWI(R)∩kn-SGWI(R),則存在正合列

其中,Ei∈WI(R),使得對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R-模L,HomR(L,-)保持序列正合.令Hi=Ker(Ei→Ei-1),2≤i≤m.因?yàn)镸∈kn-SGWI(R)且WI(R)對(duì)擴(kuò)張封閉,從而由文獻(xiàn)[14]推論8.6.4知,存在W1,W2∈WI(R),使得M⊕W1?Hkn+1⊕W2.考慮拉回圖(圖1).

圖1 拉回圖

因?yàn)閃I(R)對(duì)擴(kuò)張封閉,且W1∈WI(R),所以X∈WI(R).又由于WI(R)關(guān)于滿同態(tài)的核封閉,因此Y∈WI(R).將序列ε和圖1第二個(gè)拉回圖的第二行合并可得正合列

定理 2.8m-SGWI(R)∩n-SGWI(R)=(m,n)-SGWI(R),其中(m,n)是m和n的最大公約數(shù).

證明由命題2.2知,(m,n)-SGWI(R)?m-SGWI(R)∩n-SGWI(R)顯然成立.下證反過(guò)來(lái)的包含關(guān)系也成立.事實(shí)上,若m=nq0+r0,使得0

推論 2.9n-SGWI(R)∩(n+1)-SGWI(R)=1-SGWI(R).特別地,∩n≥2n-SGWI(R)=1-SGWI(R).

3 n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模

定義 3.1設(shè)n是正整數(shù).稱R-模M是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模,如果存在R-模的正合列

F

其中,對(duì)任意0≤i≤n-1,Fi是弱平坦R-模,使得對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R°-模L,函子L?R-保持序列ε正合.

注意到,1-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模(弱平坦模)是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦的,且1-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模是強(qiáng)Gorenstein弱平坦的.在正合列ε中,對(duì)任意1≤i≤n,Imhi是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模.類(lèi)似于命題2.2的證明,可得到任意強(qiáng)Gorenstein弱平坦模是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦的,任意n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模是Gorenstein弱平坦的.

命題 3.2對(duì)任意的n≥1,n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦R-模的類(lèi)對(duì)直和與直積封閉.

證明由文獻(xiàn)[10]命題2.3和定理2.13可知,弱平坦R-模的類(lèi)對(duì)直和與直積封閉.再根據(jù)命題2.4類(lèi)似的方法即可得證.

引理 3.3設(shè)M是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦R-模，則對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R°-模L,及任意i≥1,有

證明對(duì)i進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.當(dāng)i=1時(shí),因?yàn)镸是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模,則存在正合列

其中對(duì)任意Fi是弱平坦R-模,使得對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R°-模L,函子L?R-保持正合.令K1=Imf1,則有正合列0L?RK1L?RF0L?RM0.考慮正合列

TorR1(L,F0)TorR1(L,M)L?RK1

L?RF0L?RM0.

因?yàn)镕0是弱平坦模,所以因此0.假設(shè)i≥2,且結(jié)論對(duì)i-1成立.考慮正合列…注意到K1是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模,由歸納假設(shè)知再由文獻(xiàn)[10]命題3.1得因此,0.

引理 3.4設(shè)M是R-模.對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R°-模L,若則對(duì)任意n≥1,有

證明類(lèi)似引理2.5的證明方法可得.

令R是環(huán).根據(jù)文獻(xiàn)[16]定義2.2,稱R是左GWF-封閉環(huán),如果Gorenstein弱平坦R-模的類(lèi)關(guān)于擴(kuò)張封閉.以下結(jié)論類(lèi)似于定理2.6,給出了n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模的等價(jià)刻畫(huà),并給出在左GWF-封閉環(huán)上通過(guò)n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模構(gòu)造1-強(qiáng)Gorenstein弱平坦模的方法.

定理 3.5設(shè)n是正整數(shù).考慮以下條件:

1)M是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦R-模.

一般情況下,可得到4)?1)?2)?3).如果R是左GWF-封閉環(huán),那么以上條件等價(jià).

證明由文獻(xiàn)[16]中定理2.1推論2.2可知,當(dāng)R是左GWF-封閉環(huán)時(shí),Gorenstein弱平坦R-的類(lèi)投射可解且對(duì)直和項(xiàng)封閉.再運(yùn)用定理2.6類(lèi)似的證明方法即可得證.

命題 3.6設(shè)M是R-模.則以下結(jié)論成立:

1) 若M是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦R-模,則M+是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R°-模;

2) 若M是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模,則M+是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦R°-模;

3) 若M是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦R-模,則M++是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦R-模;

4) 若M是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模,則M++是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模.

證明1) 設(shè)M是n-強(qiáng)Gorenstein弱平坦R-模,由定理3.5可得存在正合列

其中Fi是弱平坦模,且對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R°-模L,考慮R°-模的正合列其中是弱內(nèi)射R°-模[10,注記2.2].注意到再由定理3.5可得M+是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R°-模.

2) 設(shè)M是n-強(qiáng)Gorenstein弱內(nèi)射R-模,由定理2.6可得,存在正合列

其中Ei是弱內(nèi)射模,且對(duì)任意投射維數(shù)有限的超有限表現(xiàn)R-模L,考慮R°-模的正合列其中是弱內(nèi)射R°-模[10,定理2.10].因?yàn)長(zhǎng)是超有限表現(xiàn)的,所以,存在正合列其中，P是有限生成投射模,K是超有限表現(xiàn)模.考慮自然同態(tài)

φ:Hom(M,Q/Z)?RX→

則由文獻(xiàn)[13]引理3.60可知,當(dāng)X是有限表現(xiàn)模時(shí),φ是自然同構(gòu).因?yàn)镵和P是有限表現(xiàn)的,考慮以下交換圖.

0→㊣Tor??R1(M+,L)→M+?RK→M+RP→M+RL→0↓?↓?↓?↓0→㊣Ext?1R(L,M)+→㊣Hom?R(K,M)+→㊣Hom?R(P,M)+→㊣Hom?R(L,M)+→0

通過(guò)1)和2)的結(jié)論可得到3)和4).