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    LR-正則Clifford半環(huán)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)

    2021-11-10 08:52:34唐寶杰
    關(guān)鍵詞:半格半環(huán)同態(tài)

    唐寶杰 李 剛

    (山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,250358,濟(jì)南)

    1 預(yù)備知識(shí)

    半環(huán)的概念由Dedekind于1894年首先提出,經(jīng)過(guò)Hilbert,Huntigon,Macaulay和Noether的研究與發(fā)展,Vandiver于1934年精確定義了半環(huán).半環(huán)是具有加法和乘法兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算且滿足結(jié)合律和分配律的代數(shù)系,已經(jīng)被廣泛運(yùn)用到泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)及計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域.近年來(lái),對(duì)各種半群的研究已經(jīng)得到了很多好的結(jié)果.本文擬利用研究半群的Clifford層次的方法,給出一個(gè)半環(huán)是LR-正則Clifford半環(huán)的充要條件及LR-正則Clifford半環(huán)的織積分解.

    稱半環(huán)S=(S,+,·)為冪等元半環(huán),若?a∈S,a+a=a·a=a.文獻(xiàn)[1]介紹了一類非常重要的冪等元半環(huán)—帶半環(huán),這是因?yàn)樵诤芏喾矫鎺“氕h(huán)在半環(huán)中的作用如同帶在半群中所起的作用.一個(gè)冪等元半環(huán)S=(S,+,·)稱為帶半環(huán),若對(duì)?a,b∈S,

    a+ab+a=a,

    a+ba+a=a.

    一個(gè)帶半環(huán)S=(S,+,·)稱為T半環(huán),若S的加法半群(S,+)是一個(gè)T帶,其中T可能是“矩形”、“左(右)零”、“左(右)正則”、“正則”、“LR-正則”帶等等.

    引理1[2]若S是純正群并半群,則?a,b∈S,V+(b)+V+(a)?V+(a+b).

    引理2[2]關(guān)于半群S下列條件等價(jià):

    1)S是一個(gè)左群;

    2)S是正則的且E(S)是左零半群;

    3)S?L×G,其中L是左零半群,G是群.

    引理3[3]關(guān)于半群S下列條件等價(jià):

    1)S是一個(gè)左(右)Clifford半群;

    2)S是左(右)群的半格.

    引理4[4]若S是加法半群為完全正則半群的半環(huán),則

    定義1[5]一個(gè)半環(huán)S稱為左環(huán),若S同構(gòu)于一個(gè)左零帶半環(huán)和一個(gè)環(huán)的直積.

    定理1[5]一個(gè)半環(huán)S是左環(huán)的充分必要條件為

    1)S的加法半群(S,+)是一個(gè)左交換群,即是一個(gè)左零帶和一個(gè)交換群的直積;

    2)E+(S)?E·(S),其中E+(S)(E·(S))表示S的加法(乘法)半群的冪等元的集合.

    定義2[5]一個(gè)半環(huán)S稱為左Clifford半環(huán),若S是左環(huán)的分配格.

    引理6[4]半群S是純正群并半群的充分必要條件為S是矩形群的半格.

    定義3[4]一個(gè)半環(huán)S稱為矩形環(huán),若S是一個(gè)矩形帶半環(huán)和一個(gè)環(huán)的直積.

    定理2[4]一個(gè)半環(huán)S是矩形環(huán)的充分必要條件為

    1)S的加法半群(S,+)是一個(gè)矩形交換群,即是一個(gè)矩形帶和一個(gè)交換群的直積;

    2)E+(S)?E·(S)其中E+(S)(E·(S))表示S的加法(乘法)半群的冪等元的集合.

    定義4[4]一個(gè)半環(huán)S稱為矩形Clifford半環(huán),若S是矩形環(huán)的分配格.

    定義5[6]稱帶B是一個(gè)LR-正則帶,如果對(duì)于任意e∈B,下列兩款至少有一個(gè)成立:

    1)(?f∈B)efe=ef,

    2)(?f∈B)efe=fe.

    易知,LR-正則帶總是正則帶,反之未必.

    定義6[6]純正群并半群S稱為L(zhǎng)R-正則 Clifford 半群,若冪等元集合E(S)是LR-正則帶.

    因?yàn)榧冋翰肴菏蔷匦稳旱陌敫?,所以若S是LR-正則 Clifford 半群,則S是矩形群的半格且E(S)是LR-正則帶.

    定理3[7]半群S是擬Clifford半群的充分必要條件為S同構(gòu)于織積Sl×TSr,其中Sl=[D;Lα×Tα]是左Clifford半群,Sr=[D;Tα×Rα]是右Clifford半群,且在半群同態(tài)Φ:(i,x)→x,?(i,x)∈Sl與Ψ:(x,λ)→x,?(x,λ)∈Sr下它們有相同的Clifford半群分量T=[D;Tα].

    定理4[8]半群S是LR-C半群的充分必要條件為S同構(gòu)于織積Sl×TSr其中Sl=[D;Lα×Tα]是左Clifford半群,Sr=[D;Tα×Rα]是右Clifford半群,且在半群同態(tài)Φ:(i,x)→x,?(i,x)∈Sl與Ψ:(x,λ)→x,?(x,λ)∈Sr下它們有相同的Clifford半群分量T=[D;Tα];并且使得

    E(S)?(C(E(Sl))×E(Sr))∪(E(Sl)×C(E(Sr))),

    且C(E(Si))是E(Si)的中心,i=1,2.

    推論1[8]半群S是LR-C半群當(dāng)且僅當(dāng)S同構(gòu)于織積Sl×TSr,關(guān)于Clifford 半群T,Sl=[D;Lα×Tα]是左Clifford半群,Sr=[D;Tα×Rα]是右Clifford半群;且有滿同態(tài)θ:Sl→T,和Φ:Sr→T,使得對(duì)?e∈ET或者eθ-1={x},?x∈ECSl或者eΦ-1={y},?y∈ECSr.

    2 LR-正則Clifford半環(huán)的定義與性質(zhì)

    定義7一個(gè)半環(huán)S稱為L(zhǎng)R-正則Clifford半環(huán),若S是矩形環(huán)的分配格,并且E+(S)是LR-正則帶.

    定理5半環(huán)S是LR-正則Clifford半環(huán)的充要條件為S的加法半群(S,+)是LR-正則Clifford半群,且其極大子群是可交換的,E+(S)?E.(S),并且S滿足以下條件:

    1)?a∈S,V+(a)+a?a(a+V+(a));

    2)?a,b∈S,V+(ab)+ab?(b+V+(b))a;

    3)?a,b∈S,V+(a)+a?a+ab+V+(ab)+V+(a).

    a2+ax+a2=a(a+x+a)=aa=a2;

    ax+a2+ax=a(x+a+x)=ax.

    所以aV+(a)?V+(a2),由引理4知

    V+(a)+a=a2+V+(a2)?a2+aV+(a)=a(a+V+(a)),

    ?a∈S,V+(a)+a?a(a+V+(a)).

    同理

    V+(ab)+ab=ba+V+(ba)?ba+V+(b)a=(b+V+(b))a,

    ?a,b∈S,V+(ab)+ab?(b+V+(b))a.

    又因?yàn)?S,+)是純正群并半群,由引理1得?a,b∈S,V+(b)+V+(a)?V+(a+b),再由引理4得

    V+(a)+a=a+ab+V+(a+ab)?(a+ab)+V+(ab)+V+(a),

    ?a,b∈S,V+(a)+a?a+ab+V+(ab)+V+(a).

    (a2+V+(a2))∩(V+(a)+a)?a(a+V+(a)),

    (a2+V+(a2))∩(V+(a)+a)≠?.

    (ba+V+(ba)∩(V+(ba)+ab)?(b+V+(b))a,

    (ba+V+(ba)∩(V+(ba)+ab)≠?.

    (a+ab+V+(a+ab))∩(V+(a)+a)?a+ab+V+(ab)+V+(a).

    注1顯然E+(S)是(S,·)上的理想.

    3 LR-正則Clifford半環(huán)的織積結(jié)構(gòu)

    E+(S)?C(E+(Sl)×E+(Sr))∪(E+(Sl)×C(E+(Sr))),

    (1)

    其中

    且C(E+(Si))是E+(Si)的中心,i=1,2.

    證充分性.由定理?xiàng)l件易知(S,+)=(Sl,+)×T(Sr,+),(S,+)是擬Clifford半群,且E+(S)?C(E+(Sl)×E+(Sr))∪(E+(Sl)×C(E+(Sr))).

    對(duì)于?e∈E+(S),設(shè)e=((i,1Tα),(1Tα,λ)),考慮下列兩種情形.

    1)若e∈C(E+(Sl)×E+(Sr)),即(i,1Tα)∈C(E+(Sl)),則?f=((j,1Tβ),(1Tβ,μ))∈E+(S),可得

    e+f+e=((i,1Tα)+(j,1Tβ)+(i,1Tα),(1Tα,λ)+(1Tβ,μ)+(1Tα,λ))

    =((i,1Tα)+(j,1Tβ),(1Tβ,μ)+(1Tα,λ))

    =((j,1Tβ)+(i,1Tα),(1Tβ,μ)+(1Tα,λ))

    =f+e

    必要性. 設(shè)半環(huán)S是LR-正則Clifford半環(huán),則易知S必是擬Clifford半環(huán).故S同構(gòu)于織積Sl×TSr,其中Sl=[D;Lα×Tα]是左Clifford半環(huán),Sr=[D;Tα×Rα]是右Clifford半環(huán),且在半環(huán)同態(tài)Φ:(i,x)→x,?(i,x)∈Sl與Ψ:(x,λ)→x,?(x,λ)∈Sr下它們有相同的Clifford半環(huán)分量T=[D;Tα].下面只需證E+(S)?C(E+(Sl)×E+(Sr))∪(E+(Sl)×C(E+(Sr))).

    因?yàn)镋+(S)是LR-正則帶,對(duì)任意的e=((i,1Tα),(1Tα,λ))∈E+(S),考慮下列兩種情況.

    1)對(duì)任意的f∈E+(S),有e+f+e=e+f,下證(1Tα,λ)∈C(E+(Sr)).

    事實(shí)上,對(duì)任意的(1Tβ,μ)∈E+(Sr),存在(j,1Tβ)∈E+(Sl),使得f=((j,1Tβ),(1Tβ,μ))∈E+(S).

    于是

    e+f+e=((i,1Tα),(1Tα,λ))+((j,1Tβ,),(1Tβ,μ))+((i,1Tα),(1Tα,λ))

    =((i,1Tα)+(j,1Tβ)+(i,1Tα),(1Tα,λ)+(1Tβ,μ)+(1Tα,λ))

    =((i,1Tα)+(j,1Tβ),(1Tβ,μ)+(1Tα,λ)).

    e+f=((i,1Tα),(1Tα,λ))+((j,1Tβ),(1Tβ,μ))

    =((i,1Tα)+(j,1Tβ),(1Tα,λ)+(1Tβ,μ))

    所以

    (1Tβ,μ)+(1Tα,λ)=(1Tα,λ)+(1Tβ,μ),

    (1Tα,λ)∈C(E+(Sr)).

    2)對(duì)任意f∈E+(S),有e+f+e=f+e,同理易證(i,1Tα)∈C(E+(Sl)).

    綜上可知(1)式成立,從而定理得證.

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